Aproximación a la binomial mediante la normal
Una máquina fabrica $600$ piezas y el $5\,\%$ sale defectuoso: ¿cuál es la probabilidad de que haya entre $25$ y $35$ piezas defectuosas? Es una binomial $B(600,\ 0{,}05)$, pero calcular esa probabilidad sumando a mano cada caso con $\binom{600}{k}$ sería una locura. Cuando $n$ es grande, la binomial se puede aproximar por una normal, y el problema se resuelve con la tabla que ya conoces.
Por qué aproximar una binomial por una normal
Cuando $n$ crece, el histograma de una binomial $B(n,p)$ se va pareciendo cada vez más a una campana de Gauss: las barras se vuelven estrechas y su contorno dibuja la misma forma simétrica que la normal.
Un lanzador de tiros libres de baloncesto tiene una probabilidad de acierto de $p = 0,8$. Si realiza $n = 100$ lanzamientos, queremos saber si podemos aproximar la…
Un lanzador de tiros libres de baloncesto tiene una probabilidad de acierto de $p = 0,8$. Si realiza $n = 100$ lanzamientos, queremos saber si podemos aproximar la variable binomial $X$ (número de aciertos) por una distribución normal.
- a) Comprueba si se cumplen las condiciones $n \cdot p \ge 5$ y $n \cdot q \ge 5$.
- b) En caso afirmativo, indica cuáles serían los parámetros $\mu$ y $\sigma$ de la nueva distribución normal $X'$.
Condiciones y parámetros de la aproximación
No siempre se puede aproximar: si $p$ está muy cerca de $0$ o de $1$ y $n$ no es muy grande, el histograma queda muy asimétrico y la campana no se ajusta bien.
Se lanza una moneda equilibrada ($p = 0,5$) al aire $400$ veces. Calcula la probabilidad de obtener menos de $190$ caras utilizando la aproximación de la binomial a la…
Se lanza una moneda equilibrada ($p = 0,5$) al aire $400$ veces. Calcula la probabilidad de obtener menos de $190$ caras utilizando la aproximación de la binomial a la normal (sin aplicar todavía la corrección de continuidad).
Paso 1: Calcula la media $\mu$ y la desviación típica $\sigma$.
Paso 2: Tipifica el valor $X = 190$ y busca en la tabla.
La corrección de continuidad de Yates
La binomial solo toma valores enteros ($0,1,2,3,\dots$), pero la normal es continua: para un valor exacto, $P[X'=65]$ valdría $0$ en la normal (el área de una sola línea es nula). Por eso, antes de tipificar, cada valor entero $k$ se "ensancha" en un intervalo $[k-0{,}5,\ k+0{,}5]$.
En una plataforma de streaming, el $15\%$ de los usuarios cancela su suscripción antes de terminar el mes de prueba. Si este mes se han apuntado $400$ nuevos usuarios,…
En una plataforma de streaming, el $15\%$ de los usuarios cancela su suscripción antes de terminar el mes de prueba. Si este mes se han apuntado $400$ nuevos usuarios, calcula, utilizando la aproximación normal con corrección de continuidad, la probabilidad de que se den de baja exactamente $65$ usuarios.
Resolver problemas completos: "menos de", "más de", "entre"
El procedimiento completo encadena todo lo anterior: comprobar las condiciones, hallar $\mu$ y $\sigma$, aplicar la corrección de continuidad según lo que se pida, tipificar y leer la tabla.
Un estudio sobre hábitos de reciclaje afirma que el $35\%$ de los hogares de una ciudad separa correctamente el plástico. Si se selecciona una muestra aleatoria de $120$…
Un estudio sobre hábitos de reciclaje afirma que el $35\%$ de los hogares de una ciudad separa correctamente el plástico. Si se selecciona una muestra aleatoria de $120$ hogares:
- a) Justifica por qué se puede aproximar este experimento por una distribución normal.
- b) Calcula la probabilidad de que, en esa muestra, separen el plástico entre $40$ y $50$ hogares (ambos inclusive).
Un estudio sobre hábitos de lectura en adolescentes revela que el 70 % de los jóvenes de entre 15 y 16 años prefiere el formato digital sobre el papel. Si seleccionamos…
Un estudio sobre hábitos de lectura en adolescentes revela que el 70 % de los jóvenes de entre 15 y 16 años prefiere el formato digital sobre el papel. Si seleccionamos una muestra aleatoria de 400 adolescentes:
- a) Justifica si es posible aproximar la distribución de la variable "número de adolescentes que prefieren el formato digital" mediante una distribución normal.
- b) Calcula, utilizando la aproximación anterior y realizando la corrección de continuidad, la probabilidad de que prefieran el formato digital entre 270 y 290 adolescentes (ambos inclusive).
El 5 % de las piezas fabricadas por una máquina de alta precisión resultan defectuosas. Si se empaquetan en cajas de 200 unidades, calcula la probabilidad de que en una…
El 5 % de las piezas fabricadas por una máquina de alta precisión resultan defectuosas. Si se empaquetan en cajas de 200 unidades, calcula la probabilidad de que en una caja:
- a) Haya exactamente 10 piezas defectuosas.
- b) Haya más de 15 piezas defectuosas.
- c) El número de piezas defectuosas sea menor o igual a 5.
Argumenta si los resultados serían significativamente distintos si no se aplicara la corrección de continuidad.
Problemas más exigentes: extremos y percentiles
Algunos problemas combinan la aproximación con ideas de la sección anterior sobre la normal: la regla empírica $\mu\pm2\sigma$, o un percentil (hallar el valor que deja una probabilidad dada a un lado).
En un examen de tipo test con 100 preguntas, cada una con 4 opciones de respuesta (solo una correcta), un alumno contesta a todas las preguntas al azar. a) ¿Cuál es la…
En un examen de tipo test con 100 preguntas, cada una con 4 opciones de respuesta (solo una correcta), un alumno contesta a todas las preguntas al azar.
- a) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte más de 30 preguntas?
- b) Si para aprobar el examen se necesita obtener al menos 40 aciertos, ¿cuál es la probabilidad de que el alumno apruebe por puro azar?
- c) Determina el intervalo $(np - 2\sigma, np + 2\sigma)$ e interpreta su significado en este contexto.
Una cadena de gimnasios sabe que el 20 % de sus clientes inscritos no acude nunca a las instalaciones. Si en un gimnasio concreto hay 600 inscritos: a) Calcula la…
Una cadena de gimnasios sabe que el 20 % de sus clientes inscritos no acude nunca a las instalaciones. Si en un gimnasio concreto hay 600 inscritos:
- a) Calcula la probabilidad de que el número de clientes que nunca acuden esté entre 110 y 135 inclusive.
- b) Si el gimnasio decide lanzar una campaña de motivación para estos clientes si el número de "inactivos" supera los 140, ¿qué probabilidad hay de que tengan que lanzar dicha campaña?
- c) ¿Cuál es el número máximo de clientes inactivos que se espera encontrar con una probabilidad del 90 %?
Laboratorio digital: cálculo exacto frente a aproximación
En Python 3, con biblioteca estándar, compara la probabilidad exacta de entre 40 y 50 éxitos en 120 ensayos independientes de probabilidad 0,35 con su aproximación normal. Predice el orden de magnitud antes de ejecutar:
from math import comb, sqrt
from statistics import NormalDist
n, p = 120, 0.35
masa = [comb(n,k)*p**k*(1-p)**(n-k) for k in range(n+1)]
modelo = NormalDist(n*p, sqrt(n*p*(1-p)))
exacta = sum(masa[40:51])
aprox = modelo.cdf(50.5)-modelo.cdf(39.5)
print(exacta, aprox, abs(exacta-aprox))
print('Control:', sum(masa))
print('Puntual en 42:', masa[42])
print('Acumulada hasta 42:', sum(masa[:43]))
print('Percentil normal 90:', modelo.inv_cdf(0.90))
Contrasta la aproximación con la tabla del ejemplo anterior: el pequeño cambio se debe a que el programa no redondea z antes de calcular. La suma de todas las masas debe aproximarse a 1. El percentil de la normal no tiene por qué ser entero: para hallar el percentil binomial busca el menor entero k con acumulada al menos 0,90.
Registra exacta, aproximación y error absoluto; cambia p a 0,02 y vuelve a comparar. Explica por qué n grande por sí solo no basta. Para estimar una probabilidad desconocida por frecuencias, repite un experimento o simulación a 100 y 1 000 ensayos: más datos suelen estabilizar la estimación, pero no garantizan acercarse en cada paso.