Exercicis: Intervals de confiança

Un analista de xarxes socials vol estudiar el temps diari que passen els adolescents espanyols d'entre 15 i 18 anys a TikTok. Per fer-ho, selecciona a l'atzar 400 usuaris d'aquesta franja d'edat a tot el país i registra els seus temps de connexió.

Identifica de manera clara els elements següents de l'estudi estadístic:

1. a) La població objecte d'estudi.

1. b) La mostra seleccionada.

1. c) La mida mostral.

1. d) L'estadístic que es calcularia per resumir la informació de la mostra.

Se sap que el temps d'espera a la cua d'una atracció popular d'un parc temàtic segueix una distribució normal amb una mitjana de $\mu = 45$ minuts i una desviació típica de $\sigma = 12$ minuts.

Si triem una mostra aleatòria de $n = 36$ visitants que han passat per l'atracció:

1. Quina és la distribució que segueix la mitjana mostral $\bar{X}$? Indica la seva mitjana i la seva desviació típica (error estàndard).

2. Calcula la probabilitat que el temps mitjà d'espera d'aquesta mostra sigui superior a $48$ minuts.

En inferència estadística, el valor crític $z_{\alpha/2}$ és fonamental per determinar l'amplitud d'un interval de confiança. És el valor de la distribució normal estàndard $N(0, 1)$ que deixa a la seva dreta una àrea $\alpha/2$, essent $1-\alpha$ el nivell de confiança (a la figura, l'àrea central és $1-\alpha$ i cada cua val $\alpha/2$).

Utilitzant la taula de la distribució normal estàndard $N(0, 1)$, obtén els valors crítics $z_{\alpha/2}$ corresponents als nivells de confiança següents:

1. a) Un nivell de confiança del $90\,\%$.

1. b) Un nivell de confiança del $95\,\%$.

1. c) Un nivell de confiança del $99\,\%$.

Una empresa de missatgeria està estudiant el pes dels paquets que lliura en una ciutat. Es suposa que la població segueix una distribució normal amb una desviació típica de $\sigma = 0,8$ kg. Es pren una mostra aleatòria de $n = 64$ paquets i s'obté una mitjana mostral de $\bar{x} = 4,2$ kg.

Calcula un interval de confiança per al pes mitjà de tots els paquets lliurats per l'empresa, utilitzant un nivell de confiança del $95\%$.

Després de fer un estudi sobre la despesa mensual en plataformes de streaming dels joves d'un barri, s'ha obtingut que l'interval de confiança per a la mitjana poblacional, amb un nivell de confiança determinat, és $(14,20 \text{ €}, 17,80 \text{ €})$.

A partir d'aquest interval, determina:

1. El valor de la mitjana mostral $\bar{x}$ que es va utilitzar per al càlcul.

2. L'error màxim admissible $E$ comès en l'estimació.

En un institut d'educació secundària, es sospita que el $15\%$ dels alumnes són esquerrans. Es selecciona una mostra aleatòria de $n = 100$ alumnes per comprovar-ho.

1. Quina distribució segueix la proporció mostral $\hat{p}$ d'alumnes esquerrans? Indica la seva mitjana i la seva desviació típica.

2. Calcula la probabilitat que en la mostra seleccionada la proporció d'alumnes esquerrans sigui inferior al $18\%$.

Es vol estimar la proporció de llars d'una ciutat que separen els residus orgànics per reciclar. Per fer-ho, s'enquesta una mostra aleatòria de $n = 400$ llars, de les quals $160$ afirmen fer aquesta separació.

Determina l'interval de confiança per a la proporció de llars que reciclen matèria orgànica a tota la ciutat, utilitzant un nivell de confiança del $90\%$.

Una fàbrica de bombetes LED vol estimar la durada mitjana dels seus productes. Es sap per estudis previs que la desviació típica de la durada és de $\sigma = 500$ hores.

Si l'equip de control de qualitat vol fer una estimació amb un nivell de confiança del $95\%$, quina mida mínima de la mostra $n$ ha de triar perquè l'error màxim comès sigui menor de $100$ hores?

L'Hugo està fent un treball per a l'assignatura d'Economia sobre la despesa mensual en transport públic dels estudiants del seu campus. Sap que la variable segueix una distribució normal amb desviació típica $\sigma = 15\text{ €}$. A partir d'una mostra aleatòria de $100$ estudiants i fixant un nivell de confiança del $95\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$), calcula el marge d'error i obté $E = 1,96 \cdot \frac{15}{\sqrt{100}} = 2,94\text{ €}$. A continuació, l'Hugo afirma en les seves conclusions: «Per reduir el marge d'error a la meitat ($1,47\text{ €}$) mantenint el mateix nivell de confiança del $95\%$, n'hi haurà prou de duplicar l'esforç i enquestar $200$ estudiants». a) Identifica l'error en l'afirmació de l'Hugo i explica de manera raonada per què duplicar la mida mostral no divideix l'error entre dos. b) Corregeix el càlcul determinant quants estudiants ha d'enquestar realment perquè el marge d'error sigui d'$1,47\text{ €}$.

En un estudi sobre el temps diari (en minuts) que dediquen els estudiants de 2n de Batxillerat a la lectura en format digital, s'assumeix que la variable segueix una distribució normal amb desviació típica poblacional coneguda $\sigma = 18\text{ minuts}$. Un informe oficial publica únicament l'interval de confiança obtingut per a la mitjana poblacional al $90\%$ de confiança ($z_{\alpha/2} = 1,645$), que és $(42,04;\ 47,96)$, però no indica la mida de la mostra ni la mitjana mostral observada. a) Reconstrueix, justificant algebraicament cada pas a partir de les propietats de simetria de l'interval, la mitjana mostral $\bar{x}$ i el marge d'error $E$. b) Planteja i resol l'equació que permet deduir la mida de la mostra $n$ que van utilitzar els investigadors.

Per a un estudi sobre els hàbits de lectura digital en joves, es vol construir un interval de confiança. Calcula, de manera raonada, els valors crítics $z_{\alpha/2}$ corresponents als nivells de confiança següents:

1. a) $94 \%$
2. b) $98 \%$

Il·lustra gràficament la posició del valor crític en una distribució normal estàndard per al cas del $94 \%$.

Un equip d'e-sports vol conèixer el temps mitjà que els seus jugadors dediquen diàriament a l'entrenament. Se sap que el temps de joc segueix una distribució normal amb una desviació típica de $45$ minuts. S'ha pres una mostra aleatòria de $36$ jugadors de la lliga nacional, i s'ha obtingut una mitjana de $210$ minuts diaris.

1. a) Determina l'interval de confiança al $95 \%$ per al temps mitjà diari d'entrenament de tots els jugadors de la lliga.
2. b) Quin és l'error màxim comès en aquesta estimació?

Una empresa tecnològica està provant la durada de la bateria d'un nou model de smartphone. S'assumeix que la durada segueix una distribució normal amb una desviació típica de $2,4$ hores.

Quina ha de ser la mida mínima de la mostra perquè l'error màxim comès en estimar la mitjana poblacional sigui inferior a $30$ minuts, amb un nivell de confiança del $99 \%$?

En una enquesta realitzada a $400$ estudiants d'un institut sobre l'ús de plataformes de streaming, $260$ van afirmar que prefereixen veure sèries abans que pel·lícules.

1. a) Troba l'estimació puntual de la proporció d'alumnes que prefereixen les sèries.

1. b) Obtén un interval de confiança al $97\,\%$ per a la proporció real d'estudiants que prefereixen les sèries en aquest institut.

El preu de les entrades per a un festival de música d'estiu segueix una distribució normal amb desviació típica de $12$ euros. S'ha extret una mostra aleatòria de preus i s'ha obtingut el següent interval de confiança per a la mitjana: $(72,15; 77,85)$.

1. a) Quin ha estat el preu mitjà de la mostra seleccionada?
2. b) Si el nivell de confiança utilitzat per a aquest interval ha estat del $95 \%$, quina ha estat la mida de la mostra analitzada?

Es vol realitzar una estimació de la proporció de ciutadans que estarien disposats a utilitzar el transport públic si aquest fos gratuït. En un estudi previ es desconeix la proporció esperada, per la qual cosa s'assumeix el cas de màxima variància ($p = q = 0,5$).

Determina la mida mínima de la mostra necessària per estimar aquesta proporció amb un error màxim del $4 \%$ i un nivell de confiança del $95,44 \%$ (que correspon a un valor crític $z_{\alpha/2} = 2$).

Dos instituts, A i B, mesuren el temps mitjà que els seus alumnes de 2n de Batxillerat dediquen a estudiar matemàtiques a la setmana. En tots dos se sap que la desviació típica poblacional és de $1,5$ hores.

Es pren una mostra de $100$ alumnes a cada institut. A l'institut A, l'interval de confiança obtingut per a la mitjana té una amplitud de $0,588$ hores. A l'institut B, l'interval de confiança obtingut per a la mitjana és $(6,2; 7,2)$.

1. a) Determina el nivell de confiança utilitzat a l'institut A.
2. b) Determina el nivell de confiança utilitzat a l'institut B.
3. c) Quin dels dos centres ha realitzat una estimació més precisa? Justifica la teva resposta.

Una marca de roba "eco-friendly" afirma que el $30\,\%$ dels seus clients són menors de $20$ anys. Per verificar-ho, es pren una mostra aleatòria de $500$ clients i s'observa que $135$ d'ells tenen menys de $20$ anys.

1. a) Construeix un interval de confiança al $99\,\%$ per a la proporció de clients menors de $20$ anys basant-te en les dades de la mostra.

1. b) A la vista del resultat, podem considerar que l'afirmació de la marca és coherent amb les dades obtingudes amb un nivell de confiança del $99\,\%$? Explica per què.

La Direcció General de Trànsit (DGT) vol estimar la proporció de conductors d'una comunitat autònoma que utilitza habitualment el telèfon mòbil al volant sense mans lliures. En una enquesta pilot prèvia sobre $200$ conductors, $32$ van afirmar cometre aquesta infracció. Es vol fer l'estudi definitiu amb un nivell de confiança del $95\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$) i un marge d'error màxim del $2\%$ ($E = 0,02$). a) Abans d'operar amb la fórmula exacta, fes una estimació qualitativa raonada: sabent que la variància d'una proporció és $\hat{p}(1-\hat{p})$, caldran més o menys de $1000$ conductors per assolir aquesta precisió? Justifica la teva intuïció comparant la variabilitat d'aquest cas amb el cas més desfavorable ($\hat{p} = 0,5$). b) Calcula la mida mostral mínima $n$ necessària utilitzant la proporció de la mostra pilot. c) Comprova si amb la mida mostral obtinguda se satisfan els requisits de validesa de l'interval de Wald per a proporcions ($n\hat{p} \ge 10$ i $n(1-\hat{p}) \ge 10$) i reflexiona sobre si el resultat final confirma la teva estimació de l'apartat a).

A partir de les microdades de l'Institut Nacional d'Estadística (INE) sobre habitatge, una analista modelitza el preu del metre quadrat de lloguer en una capital espanyola. S'assumeix que el preu per metre quadrat segueix una distribució normal amb desviació típica poblacional coneguda $\sigma = 3,50\text{ €/m}^2$. A partir d'una mostra aleatòria de $49$ habitatges, s'obté una mitjana mostral de $\bar{x} = 12,80\text{ €/m}^2$. a) Modela la situació construint l'interval de confiança al $95\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$) per al preu mitjà poblacional del lloguer per metre quadrat. b) Un representant d'una associació veïnal afirma: «Hi ha una probabilitat del $95\%$ que el veritable preu mitjà del lloguer a la ciutat estigui dins d'aquest interval numèric que has calculat». Explica per què aquesta interpretació és conceptualment errònia des de la perspectiva de la inferència freqüentista i redacta la interpretació correcta. c) Si el Ministeri d'Habitatge assegurava que el preu mitjà en aquesta zona és d'$11,50\text{ €/m}^2$, justifica si aquest valor resulta creïble a la llum de l'interval obtingut.

Un conegut creador de contingut està analitzant el temps de permanència dels seus seguidors en les seves transmissions en directe d'e-sports. Se sap que el temps de connexió segueix una distribució normal amb una desviació típica de $12$ minuts. Després d'analitzar una mostra aleatòria de $144$ usuaris, s'ha obtingut un interval de confiança per a la mitjana poblacional de $(32,35; 36,25)$.

1. a) Determina el valor de la mitjana mostral obtinguda i el nivell de confiança utilitzat per construir aquest interval.

1. b) Si el streamer vol reduir l'amplitud d'aquest interval a la quarta part mantenint el mateix nivell de confiança, quin hauria de ser la mida mínima de la mostra?

1. c) Explica, sense fer càlculs addicionals, què passaria amb la precisió de l'estimació si augmentéssim la mida de la mostra però també volguéssim treballar amb un nivell de confiança superior al calculat a l'apartat a).

Una empresa de telefonia mòbil vol estimar la proporció d'adolescents que utilitzen el "mode fosc" en els seus dispositius durant la nit. En una mostra inicial de $100$ usuaris, el $60\%$ va confirmar que l'utilitzava.

1. a) Calcula l'interval de confiança al $98\%$ per a la proporció poblacional d'usuaris d'aquest mode.

1. b) Suposem que no es té cap informació prèvia sobre la proporció (situació de màxima incertesa). Determina la mida de la mostra necessària perquè l'error màxim admissible sigui de $0,02$ amb un nivell de confiança del $95\%$.

1. c) Si s'utilitza la proporció obtinguda en la mostra inicial ($0,6$) per al càlcul de la mida mostral sota les mateixes condicions de l'apartat b) (error $0,02$ i confiança $95\%$), quants usuaris menys caldria enquestar respecte al cas de màxima incertesa?

El temps de reacció dels pilots d'un simulador de vol d'última generació segueix una distribució normal amb mitjana desconeguda i desviació típica de $0,05$ segons. En prendre una mostra de $64$ pilots, s'observa una mitjana de $0,42$ segons.

1. a) Obtén l'interval de confiança per a la mitjana poblacional a un nivell de confiança del $97\%$.

1. b) El fabricant del simulador afirma que el temps mitjà de reacció és de $0,40$ segons. És aquesta afirmació compatible amb l'interval obtingut en l'apartat anterior? Justifica la teva resposta basant-te en la relació entre intervals de confiança i paràmetres poblacionals.

1. c) Si es decideix duplicar la mida de la mostra i reduir el nivell de confiança al $90\%$, com afectarà això a l'amplitud de l'interval? Calcula el factor de reducció o augment de l'amplitud.

Un estudi sobre hàbits sostenibles revela que el $15\%$ dels joves d'una ciutat es desplaça exclusivament en patinet elèctric. Es selecciona una mostra aleatòria de $n$ joves per fer-ne un seguiment.

1. a) Si l'interval de confiança obtingut per a la proporció poblacional a un nivell de confiança del $95\%$ té una amplitud de $0,06$, quina ha estat la mida de la mostra utilitzada? (Utilitza la proporció del $15\%$ com a estimació).

1. b) Si volguéssim que el marge d'error fos de tan sols $0,01$ mantenint la confiança del $95\%$, però sospitem que la proporció real podria estar més a prop del $50\%$, quina seria la nova mida mostral requerida?

El pes de les motxilles dels estudiants de 2n de Batxillerat segueix una distribució normal amb una desviació típica de $1,2$ kg. S'ha pres una mostra aleatòria de $100$ estudiants i s'ha construït un interval de confiança per al pes mitjà. El límit superior d'aquest interval és de $6,235$ kg i la seva amplitud és de $0,47$ kg.

1. a) Quin és el pes mitjà mostral de les motxilles en aquest estudi?

1. b) Determina el nivell de confiança amb què s'ha construït l'interval.

1. c) Si es vol que l'error màxim sigui de $0,1$ kg amb una confiança del $99,73\%$ (corresponent a $3\sigma$), quants estudiants addicionals s'haurien d'incloure en la mostra original?

S'ha realitzat una enquesta a $400$ usuaris d'una plataforma de música en streaming per conèixer quin percentatge prefereix el gènere urbà. L'interval de confiança obtingut per a la proporció d'usuaris és $(0,312; 0,388)$.

1. a) Determina el valor de la proporció mostral i el nivell de confiança utilitzat en l'estudi.

1. b) Si es decideix realitzar un nou estudi amb una mostra de $1600$ usuaris i es manté la mateixa proporció mostral, quina serà l'amplitud del nou interval si es treballa amb el mateix nivell de confiança?

1. c) Justifica matemàticament com varia l'amplitud de l'interval si quadrupliquem la mida de la mostra i dupliquem el valor crític $z_{\alpha/2}$.

Un centre tecnològic investiga la durada de la bateria d'un nou model de smartphone sota un ús intensiu. S'assumeix que la durada segueix una distribució normal amb $\sigma = 0,8$ hores. Es vol estimar la mitjana de durada amb una confiança del $96\%$.

1. a) Si es vol que l'interval de confiança tingui una longitud màxima de $20$ minuts, calcula la mida mínima de la mostra necessària.

1. b) Després de realitzar l'experiment amb la mida de mostra obtinguda en l'apartat anterior, s'observa que la mitjana mostral és de $9,5$ hores. Escriu l'interval de confiança resultant en hores.

1. c) Si per motius de pressupost només es poguessin analitzar $50$ dispositius, quin seria l'error màxim que cometríem si volguéssim mantenir la confiança del $96\%$? Expressa el resultat en minuts.

En un examen de selectivitat, la qualificació obtinguda pels alumnes en l'assignatura de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II segueix una distribució normal amb desviació típica de $1,5$ punts. Es seleccionen dues mostres independents de diferents instituts, totes dues de mida $n$.

• Per a la Mostra A, s'utilitza un nivell de confiança del $90\%$, i s'obté un error de $0,25$ punts.

• Per a la Mostra B, es vol una confiança del $99\%$.

1. a) Calcula la mida de la mostra $n$ utilitzada en la Mostra A.

1. b) Utilitzant el valor de $n$ trobat en l'apartat anterior, determina l'error màxim admissible per a la Mostra B.

1. c) Si es decidís unir totes dues mostres en una de sola de mida $2n$, calcula el nou error per a un nivell de confiança del $95\%$. És aquest error menor que el de la Mostra A? Raona si la precisió sempre millora en augmentar la mida de la mostra independentment dels canvis en el nivell de confiança.

Una consultora sociològica ha de dissenyar una enquesta per estimar la proporció de joves d'entre 18 i 25 anys que pateixen ludopatia digital en una comunitat autònoma. Per sondejos previs a escala estatal, se sospita que la proporció real és reduïda, al voltant de $p \approx 0,02$ ($2\%$). L'equip tècnic debat entre dues opcions metodològiques: Proposta A, prendre una mostra de $n_A = 150$ joves amb un nivell de confiança del $99\%$ ($z_{\alpha/2} = 2,575$); Proposta B, prendre una mostra de $n_B = 600$ joves amb un nivell de confiança del $90\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,645$). a) Avalua les condicions tècniques d'aproximació normal de l'interval de Wald ($n\hat{p} \ge 10$ i $n(1-\hat{p}) \ge 10$) en ambdues propostes sota la hipòtesi que la mostra reflecteixi el valor esperat. Quin resultat numèricament absurd es produeix a l'extrem inferior de l'interval si s'aplica mecànicament la fórmula a la Proposta A? b) Calcula el marge d'error teòric per a cada proposta. c) Justifica raonadament quin dels dos mètodes ha de triar la consultora si prioritza la validesa inferencial i la utilitat pràctica de l'interval resultant.

Dos investigadors, la Clara i el Mateo, analitzen de manera independent el consum elèctric bimestral (en kWh) de les llars d'una comarca, la distribució del qual és normal amb desviació típica coneguda $\sigma = 60\text{ kWh}$. Tots dos utilitzen exactament la mateixa mostra aleatòria de $n$ llars. La Clara construeix un interval de confiança al $95\%$ ($z_{\alpha/2} = 1,96$) i obté una amplitud total de $23,52\text{ kWh}$. El Mateo decideix recalcular l'interval amb la mateixa mostra però apujant la confiança al $99\%$ ($z_{\alpha/2} = 2,575$), i assegura: «En pujar al $99\%$ de confiança, el nostre estudi guanya fiabilitat i precisió, per la qual cosa l'amplitud de l'interval serà menor que la de la Clara». a) Identifica i rebat amb arguments matemàtics l'error del Mateo sobre la relació entre confiança i amplitud d'un interval. b) Planteja el problema invers: a partir de l'amplitud de l'interval de la Clara ($23,52\text{ kWh}$), calcula la mida mostral $n$ que tots dos van emprar. c) Si el Mateo vol mantenir el seu nivell de confiança del $99\%$, però exigeix que l'amplitud del seu interval es redueixi fins a igualar els $23,52\text{ kWh}$ de la Clara, calcula quantes llars addicionals a les ja enquestades necessitarà recopilar.