Matriz inversa

Dada la matriz de coeficientes de un sistema de costes en una pequeña cafetería:

$A = \begin{pmatrix} 3 & k \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

Determina para qué valor del parámetro $k$ la matriz no tiene inversa (es decir, su determinante es nulo).

En un torneo de eSports, la eficiencia de dos equipos se mide comparando sus victorias y derrotas en dos mapas diferentes. Los datos se organizan en la siguiente matriz $M$:

$M = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

Calcula el determinante de la matriz $M$ para obtener el índice de competitividad del torneo.

Para preparar un examen de álgebra, un estudiante necesita calcular la matriz adjunta de la siguiente matriz $2 \times 2$. Halla $Adj(A)$ siendo:

$A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$

Dada la matriz $A$ que depende de un parámetro real $x$:

$$A = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 4 & 2 & x \end{pmatrix}$$

Se pide:

1. Calcular el determinante de la matriz $A$ en función de $x$.

2. Determinar para qué valores de $x$ la matriz no tiene inversa.

3. Para el caso $x = 0$, justifica si existe la matriz inversa y, en caso afirmativo, calcula únicamente el elemento $a_{21}$ de la matriz $A^{-1}$ (el elemento de la segunda fila y primera columna).

Calcula la matriz inversa $A^{-1}$ de la matriz $A$ utilizando la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (Adj(A))^t$.

$A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

Nota: No olvides comprobar primero que el determinante es distinto de cero.

Sabemos que el determinante de una matriz cuadrada $M$ de orden 3 es $|M| = -2$. Utilizando las propiedades de los determinantes, calcula de forma razonada el valor de los siguientes determinantes:

1. $|M^t \cdot M|$, donde $M^t$ es la matriz traspuesta de $M$.

2. $|3M|$.

3. El determinante de la matriz inversa, $|M^{-1}|$.

4. El determinante de una matriz $P$ que se obtiene al intercambiar la primera y la tercera fila de $M$ y multiplicar después la segunda columna por $-5$.

Resuelve la siguiente ecuación matricial despejando la incógnita $X$. Se sabe que $A \cdot X = B$, donde:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

Recuerda que para despejar $X$ debes multiplicar por la izquierda por la inversa de $A$.

Dada la matriz $M$ dependiente del parámetro real $k$:

$M = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$

1. a) Determina para qué valores de $k$ la matriz $M$ no admite matriz inversa.
2. b) Para $k = 0$, resuelve la ecuación matricial $M \cdot X + M = I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.