Exercicis: Matriu inversa

En un torneig d'eSports, l'eficiència de dos equips es mesura comparant els seus resultats en dos mapes diferents. Les dades s'organitzen en la matriu següent $M$, on cada fila correspon a un equip (A i B) i cada columna a un mapa (1 i 2):

$M = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

Calcula el determinant de la matriu $M$ per obtenir l'índex de competitivitat del torneig.

Una empresa de missatgeria utilitza tres tipus de furgonetes per repartir paquets en tres zones de la ciutat. La quantitat de paquets transportats per dia es resumeix en la matriu $A$. Calcula el determinant de $A$ utilitzant la regla de Sarrus.

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

Observa les matrius següents sense fer càlculs extensos. Indica, justificant la teva resposta mitjançant les propietats dels determinants, quines tenen un determinant igual a zero:

1. a) $B = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 10 \end{pmatrix}$

1. b) $C = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 7 \end{pmatrix}$

1. c) $D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

Donada la matriu de coeficients d'un sistema de costos en una petita cafeteria:

$A = \begin{pmatrix} 3 & k \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

Determina per a quin valor del paràmetre $k$ la matriu no té inversa (és a dir, el seu determinant és nul).

Per preparar un examen d'àlgebra, un estudiant necessita calcular la matriu adjunta de la següent matriu $2 \times 2$. Recorda que $Adj(A)$ és la transposada de la matriu de cofactors de $A$, on cada cofactor és el signe $(-1)^{i+j}$ multiplicat pel menor de l'element corresponent. Troba $Adj(A)$ essent:

$A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$

La figura mostra la matriu $A$ i l'esquema de signes $(-1)^{i+j}$ per a una matriu $2 \times 2$.

Calcula la matriu inversa $A^{-1}$ de la matriu $A$ utilitzant la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (Adj(A))^t$.

$A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

Nota: No oblidis comprovar primer que el determinant és diferent de zero.

Resol la equació matricial següent aïllant la incògnita $X$. Se sap que $A \cdot X = B$, on:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

Recorda que per aïllar $X$ has de multiplicar per l'esquerra per la inversa de $A$.

En un joc de criptografia bàsica, s'ha utilitzat la matriu $C$ per codificar un missatge de dos nombres. Per descodificar-lo, necessitem trobar la matriu inversa $C^{-1}$.

$C = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$

Troba $C^{-1}$ i verifica el resultat realitzant el producte $C \cdot C^{-1}$, que ha de donar com a resultat la matriu identitat $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

En resoldre l'equació matricial $X \cdot A = B$, amb $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$, en Carlos escriu al seu examen:

«Com que $|A| = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5 = 1 \ne 0$, la matriu $A$ es pot passar dividint a l'altre membre. Per tant, $X = A^{-1} \cdot B$».

Fes les tasques següents:

1. a) Identifica els dos errors conceptuals comesos per en Carlos: un de relatiu al llenguatge i a les operacions formals vàlides amb matrius (el concepte erroni de «dividir matrius») i un altre de relatiu a l'ordre en el producte matricial.
2. b) Escriu l'aïllament algebraic rigorós de la matriu $X$, indicant per quin membre i per quin costat s'ha de multiplicar per la matriu inversa.
3. c) Calcula la matriu inversa $A^{-1}$ mitjançant la fórmula dels adjunts i obtén la matriu solució $X$.

Una matriu regular $A$ d'ordre 2 té coeficients desconeguts, però se'n coneix amb exactitud la matriu inversa:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

1. a) Sense trobar prèviament els elements individuals d'$A$, dedueix raonadament el valor numèric del seu determinant $|A|$ aplicant les propietats dels determinants.
2. b) Utilitzant la propietat $(A^{-1})^{-1} = A$, reconstrueix els elements de la matriu original $A$ mitjançant el mètode de la matriu adjunta aplicat a $A^{-1}$.
3. c) Comprova que el determinant de la matriu $A$ que has obtingut a l'apartat b coincideix exactament amb el valor deduït a l'apartat a.

Donada la matriu $A$ que depèn d'un paràmetre real $x$:

Es demana:

1. Calcular el determinant de la matriu $A$ en funció de $x$.

2. Determinar per a quins valors de $x$ la matriu no té inversa.

3. Per al cas $x = 0$, justifica si existeix la matriu inversa i, en cas afirmatiu, calcula únicament l'element $a_{21}$ de la matriu $A^{-1}$ (l'element de la segona fila i primera columna).

Sabem que el determinant d'una matriu quadrada $M$ d'ordre 3 és $|M| = -2$. Utilitzant les propietats dels determinants, calcula de manera raonada el valor dels determinants següents:

1. $|M^t \cdot M|$, on $M^t$ és la matriu transposada de $M$.

2. $|3M|$.

3. El determinant de la matriu inversa, $|M^{-1}|$.

4. El determinant d'una matriu $P$ que s'obté en intercanviar la primera i la tercera fila de $M$ i multiplicar després la segona columna per $-5$.

Una empresa de desenvolupament d'aplicacions mòbils utilitza una matriu de "costos de servidor" $C$ per organitzar les seves despeses mensuals en tres regions (Europa, Àsia i Amèrica). La matriu ve donada per:

Per ajustar els pressupostos del pròxim trimestre, necessiten resoldre l'equació matricial $C \cdot X = B$, on $B$ és la matriu de beneficis bruts:

Calcula la matriu $X$ utilitzant el mètode de la matriu inversa.

En un sistema de xifratge per blocs, s'utilitza la matriu $K$ com a clau de seguretat per codificar missatges de tres nombres:

Perquè el receptor pugui descodificar el missatge, necessita obtenir la matriu inversa $K^{-1}$.

1. Demostra que la matriu $K$ és regular (inversible).

2. Calcula pas a pas la matriu inversa $K^{-1}$ mitjançant el mètode dels adjunts.

Troba els valors del paràmetre $a$ per als quals la matriu $B$ no té inversa:

Per al valor $a = 1$, resol l'equació matricial $X \cdot B = I$, on $I$ és la matriu identitat d'ordre 3.

Donades les matrius $A$ i $B$:

Resol l'equació matricial $A \cdot X + A = B$. Per fer-ho:

1. Aïlla la matriu $X$ en l'equació (quedando de la forma $X = \dots$).

2. Calcula el determinant de $A$ per assegurar que pots realitzar l'operació.

3. Obté la matriu final $X$.

Considera la matriu quadrada $A$ d'ordre 2:

1. a) Comprova que es compleix la igualtat $A^2 - I = O$, on $I$ és la matriu identitat i $O$ és la matriu nul·la (ambdues d'ordre 2).

1. b) Utilitza el resultat anterior per expressar la matriu inversa $A^{-1}$ en funció de la mateixa matriu $A$.

1. c) Calcula $A^{-1}$ pel mètode habitual (amb el determinant i la matriu adjunta) i comprova que el resultat coincideix amb el que has obtingut a l'apartat anterior.

Tres amics, Alba, Bruno i Carlos, van a una cafeteria. La primera vegada, l'Alba pren 2 cafès i 1 refresc; en Bruno pren 1 cafè i 2 refrescos; i en Carlos pren 3 cafès. El compte total per persona es pot representar mitjançant una matriu de consum $A$ i una matriu de preus $P$.

Si la matriu de preus unitaris dels productes (cafè i refresc) és desconeguda $X = \begin{pmatrix} p_c \\ p_r \end{pmatrix}$ i sabem que la despesa total de l'Alba va ser de $4,50€$ i la d'en Bruno de $5,40€$:

1. Escriu el sistema d'equacions en forma matricial $A \cdot X = B$.

2. Calcula el determinant de la matriu de coeficients $A$.

3. Troba la matriu inversa $A^{-1}$ i utilitza-la per calcular el preu d'un cafè i d'un refresc.

Per resoldre l'equació matricial $A \cdot X = B$, on $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix}$, dues estudiants proposen estratègies diferents:

• La Lucía proposa calcular la matriu inversa $A^{-1}$ mitjançant la matriu d'adjunts i després fer el producte matricial $X = A^{-1} \cdot B$.

• La Marta sosté que és preferible plantejar un sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites amb $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ i resoldre'l mitjançant el mètode de Gauss.

1. a) Compara els dos camins i justifica quin dels dos requereix menys operacions aritmètiques si únicament es vol resoldre aquesta equació concreta.
2. b) Explica en quin context econòmic o empresarial (per exemple, en un estudi de mercat on la matriu tècnica $A$ roman fixa però el vector de demandes $B$ canvia periòdicament per a 50 escenaris diferents) el mètode de la Lucía resultaria indiscutiblement més eficient que el de la Marta.
3. c) Troba la matriu inversa $A^{-1}$ mitjançant la fórmula de l'adjunta i resol l'equació donada calculant el vector $X$.

Una agència de viatges receptiva a Andalusia dissenya tres paquets promocionals que combinen tres serveis: nits d'hotel ($x$), visites a monuments amb guia ($y$) i bitllets de tren d'alta velocitat ($z$). El nombre de serveis contractats per tres grups turístics i l'import total facturat en euros a cada grup es descriu mitjançant la relació matricial $M \cdot P = T$, on:

$M = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, $P = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ i $T = \begin{pmatrix} 370 \\ 270 \\ 150 \end{pmatrix}$

1. a) Justifica que l'estructura de preus està unívocament determinada calculant el determinant de la matriu de coeficients $M$.
2. b) Calcula la matriu inversa $M^{-1}$ emprant el càlcul d'adjunts i la transposició.
3. c) Aïlla el vector $P$ mitjançant l'ús explícit de $M^{-1}$, calcula el seu valor numèric i interpreta en el context de la situació quin preu unitari té cada nit d'hotel, cada visita guiada i cada bitllet de tren.

Sabent que el determinant d'una matriu quadrada $A$ d'ordre 3 és $|A| = -2$, utilitza exclusivament les propietats dels determinants per calcular raonadament el valor de:

$| (3A)^{-1} \cdot A^t \cdot (-A) |$

Per visualitzar el concepte de la regla dels signes en els adjunts, recorda el patró del "tauler d'escacs":

Donada la matriu $M$ dependent del paràmetre real $k$:

$M = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$

1. a) Determina per a quins valors de $k$ la matriu $M$ no admet matriu inversa.
2. b) Per a $k = 0$, resol l'equació matricial $M \cdot X + M = I$, on $I$ és la matriu identitat d'ordre 3.

Una empresa de logística utilitza un codi de seguretat basat en matrius. La matriu clau és $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Per desencriptar un missatge rebut en forma de matriu $B$, han de calcular la matriu $X$ tal que:

$A \cdot X \cdot A^{-1} = B - 2I$

Si se sap que $B = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$, troba la matriu $X$ realitzant tots els passos intermedis.

Considera la matriu $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ tal que el seu determinant és $|A| = 1$. Demostra que si es compleix la relació $A^2 - 5A + I = O$ (on $I$ és la identitat i $O$ la matriu nul·la), aleshores la matriu inversa $A^{-1}$ es pot expressar com una combinació lineal de $A$ i $I$. Determina aquesta expressió i utilitza-la per trobar la inversa de $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$ sense fer servir el mètode dels adjunts.

En un estudi de mercat sobre la mobilitat de clients entre tres operadores de telefonia ($P$, $Q$ i $R$), s'ha determinat que la matriu de transició d'un mes a un altre és $T$. Si la distribució actual de clients és la matriu columna $C_{actual}$, i se sap que $T \cdot C_{anterior} = C_{actual}$, troba la distribució del mes anterior sabent que:

$T = \begin{pmatrix} 0,8 & 0,1 & 0,1 \\ 0,1 & 0,7 & 0,2 \\ 0 & 0,2 & 0,8 \end{pmatrix}$ i $C_{actual} = \begin{pmatrix} 4000 \\ 3500 \\ 2500 \end{pmatrix}$

Nota: Has de calcular la inversa de $T$ per retrocedir en el temps.

Estudia el rang de la matriu següent $B$ en funció dels valors dels paràmetres reals $a$ i $b$:

$B = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & b \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Per a quins valors de $a$ i $b$ la matriu $B$ és singular (no té inversa)? Il·lustra el concepte de dependència lineal que té lloc quan el determinant és nul.

Es considera la matriu $A = \begin{pmatrix} x & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & x \end{pmatrix}$.

1. a) Troba els valors de $x$ per als quals la matriu $A + A^t$ no té inversa.
2. b) Per a $x = 1$, troba una matriu $X$ que verifiqui l'equació $X \cdot A = A^2$.

Sense desenvolupar el determinant, utilitza les propietats per demostrar la igualtat següent:

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b)$

Aquest és el famós determinant de Vandermonde. Aplica el resultat obtingut per calcular el valor del determinant de la matriu:

$V = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 10 & 20 & 30 \\ 100 & 400 & 900 \end{pmatrix}$

Es considera una matriu quadrada $A$ d'ordre 3 el determinant de la qual és $|A| = -0,5$.

1. a) Abans de calcular cap valor definitiu, fes una estimació raonada: prediu quin signe tindran i si el seu valor absolut serà més gran o més petit que 1 per als determinants $|A^{-1}|$ i $|\operatorname{Adj}(A)|$. Basa la teva predicció en les relacions teòriques entre determinants.
2. b) Utilitzant exclusivament les propietats dels determinants (determinant del producte, de la inversa, de l'adjunta, de la transposada i de la multiplicació per un escalar), calcula el valor exacte de:
3. i) $|M_1|$, essent $M_1 = 2 \cdot A^{-1}$

ii) $|M_2|$, essent $M_2 = \operatorname{Adj}(A) \cdot (A^t)^{-1}$

1. c) Comprova si els resultats numèrics exactes obtinguts a l'apartat b confirmen les estimacions qualitatives de signe i ordre de magnitud que has formulat a l'apartat a.

Considera la matriu paramètrica $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & k \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, on $k \in \mathbb{R}$.

1. a) Determina raonadament per a quins valors del paràmetre $k$ la matriu $A$ és regular i, en conseqüència, posseeix matriu inversa $A^{-1}$.
2. b) Sense necessitat de calcular tots els termes de la matriu inversa, dedueix l'expressió algebraica en funció de $k$ corresponent a l'element de la primera fila i tercera columna d'$A^{-1}$, és a dir, $(A^{-1})_{13}$, recolzant-te en la definició de la inversa mitjançant la matriu adjunta transposada. A partir d'aquesta expressió, troba el valor de $k$ per al qual $(A^{-1})_{13} = 1$.
3. c) Per al valor de $k$ trobat a l'apartat b, resol de manera justificada l'equació matricial $A \cdot X - 2 \cdot I_3 = A^t$, detallant cada pas de l'aïllament de la incògnita $X$ i calculant la seva matriu resultant.