Exercicis: Determinants d'ordre 3

Calcula el valor del determinant següent utilitzant la regla de Sarrus. Assegura't de fer els productes de les diagonals principals i secundàries amb compte amb els signes:

$$ \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 2 \\ 4 & -1 & 1 \end{array} \right| $$

Troba el valor de la incògnita $x$ perquè el determinant de la matriu següent sigui nul:

$$ \left| \begin{array}{ccc} x & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right| = 0 $$

En una matriu triangular (superior o inferior), el determinant és simplement el producte dels elements de la seva diagonal principal. Calcula el determinant de la matriu següent de costos de producció d'una empresa:

$$ \left| \begin{array}{ccc} 5 & 8 & 12 \\ 0 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right| $$

Calcula el determinant de la matriu següent, que representa la quantitat de tres tipus d'accions (Tecnologia, Energia, Banca) en tres carteres d'inversió diferents:

$$ \left| \begin{array}{ccc} 10 & 10 & 10 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right| $$

(Pista: Intenta treure factor comú de la primera fila abans d'aplicar Sarrus per simplificar els nombres).

Carlos està resolent un exercici de classe en què ha de calcular el determinant de la matriu $M = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 5 & -1 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}$ aplicant la regla de Sarrus. En la seva llibreta escriu el desenvolupament següent:

$$|M| = 1 \cdot 5 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 \cdot 1 - 3 \cdot 5 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) \cdot 1 + (-2) \cdot 0 \cdot 4 = 20 + 4 + 0 - 30 - 1 + 0 = -7$$

1. a) Localitza l'error conceptual que ha comès Carlos en aplicar la fórmula de Sarrus i explica amb claredat per què el seu plantejament de signes és incorrecte.
2. b) Corregeix el càlcul fent els passos adequats i determina si la matriu $M$ té inversa a partir del valor obtingut.

Un equip de topògrafs delimita una petita parcel·la d'esbarjo triangular al terme municipal de Teruel. En el pla cadastral, les coordenades dels tres vèrtexs (mesurades en decàmetres) són $A(1, 2)$, $B(7, 2)$ i $C(5, 8)$.

1. a) Abans de fer cap càlcul matricial, fes una estimació geomètrica directa de l'àrea raonant a partir de la longitud del segment horitzontal $AB$ com a base i la distància vertical de $C$ a aquesta base com a altura.
2. b) Planteja i calcula l'àrea exacta utilitzant la fórmula del determinant d'ordre 3 amb la columna d'uns.
3. c) Comprova si el resultat coincideix amb la teva estimació inicial i raona què passaria amb el valor del determinant si a la matriu haguessis col·locat les coordenades del vèrtex $B$ a la primera fila i les del vèrtex $A$ a la segona.

Una empresa de desenvolupament d'aplicacions mòbils analitza l'impacte de tres de les seves funcions estrella (A, B i C) en tres mercats diferents. Les dades de rendiment es recullen en la matriu següent $M$:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Calcula el determinant de la matriu $M$ utilitzant la regla de Sarrus (escriu els tres productes de les diagonals positives i els tres de les negatives) per determinar si el model d'anàlisi és consistent (és a dir, si el seu determinant és diferent de zero).

Perquè un sistema de seguretat digital sigui vàlid, la "matriu de signatura" $S$ no ha de ser singular (el seu determinant ha de ser diferent de zero). Donada la matriu:

$S = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ a & 0 & -1 \end{pmatrix}$

Determina els valors del paràmetre real $a$ per als quals el sistema de seguretat no seria vàlid.

Resol la següent equació de segon grau plantejada a través d'un determinant:

$\begin{vmatrix} x & 0 & 1 \\ 1 & x & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 5$

Un mapa digital situa tres punts logístics en un pla de coordenades. L'àrea d'un triangle els vèrtexs del qual són $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ i $(x_3, y_3)$ es pot calcular mitjançant la fórmula:

$Área = \frac{1}{2} \cdot | \det(A) |$, on $A = \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix}$.

Calcula l'àrea del triangle format pels punts $P_1(1, 2)$, $P_2(4, 5)$ i $P_3(2, 8)$ representats en el gràfic següent:

Per esbrinar per a quins valors del paràmetre real $m$ la matriu $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ m & 2 & 3 \\ m^2 & 4 & 9 \end{pmatrix}$ no admet matriu inversa, dos estudiants proposen dues estratègies diferents:

• Camí 1 (mecànic): Aplicar la regla de Sarrus terme a terme, agrupar les potències de $m$ per obtenir una equació de segon grau i resoldre $|M| = 0$.

• Camí 2 (estructural): Observar les columnes de la matriu i deduir directament quins valors de $m$ farien que dues columnes fossin idèntiques, aplicant la propietat que un determinant amb dues columnes iguals s'anul·la.

1. a) Desenvolupa el determinant seguint el Camí 1 i calcula les solucions de $|M| = 0$.
2. b) Explica raonadament com permet el Camí 2 anticipar amb exactitud ambdues solucions sense necessitat d'operar cap polinomi.
3. c) Justifica quin dels dos mètodes consideres més segur en aquest cas i conclou per a quins valors de $m$ la matriu $M$ és regular.

En una comarca forestal gallega, els agents mediambientals supervisen una zona d'especial vigilància contra incendis delimitada per tres llocs d'observació. Al mapa cartogràfic (amb escala en quilòmetres), els llocs se situen en les posicions $N(2, 8)$, $E(7, 5)$ i $S(3, 1)$.

1. a) Modela la superfície triangular delimitada pels tres llocs mitjançant un determinant d'ordre 3 i calcula l'àrea de la zona protegida (en $\text{km}^2$).
2. b) Es projecta instal·lar una caseta de telecomunicacions en un punt de coordenades $P(x, y)$ que ha d'estar situat exactament sobre la línia recta que uneix el lloc Sud $S$ amb el lloc Nord $N$. Utilitza la condició de determinant nul (àrea zero o alineació) per obtenir l'equació lineal que han de satisfer les coordenades $(x, y)$ d'aquesta caseta.

En el disseny d'un nou mapa per a un videojoc d'estratègia, els vèrtexs d'una regió triangular protegida vénen donats per les coordenades dels punts $P(1, 1)$, $Q(3, 5)$ i $R(k, 7)$. El punt $R$ pot estar en qualsevol lloc de la recta $y = 7$, segons el valor de $k$. El motor del joc exigeix que la superfície d'aquesta regió sigui exactament de $10$ unitats quadrades per equilibrar les faccions.

Utilitza la fórmula de l'àrea mitjançant determinants d'ordre 3 per trobar els possibles valors del paràmetre $k$ que compleixen aquesta condició.

Una empresa de logística analitza la viabilitat de tres rutes de repartiment. La matriu de costos associats $M$ depèn d'un factor de fluctuació del preu del combustible $t$:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & t & 0 \\ t & 1 & t \\ 1 & t & t \end{pmatrix}$$

Es sap que el sistema logístic es bloqueja (la matriu no és invertible) quan el determinant de $M$ és nul. Determina per a quins valors de $t$ l'empresa tindrà problemes de bloqueig en les seves rutes.

Resol la següent equació de tercer grau plantejada mitjançant el determinant d'una matriu que conté funcions logarítmiques. Troba el valor de $x$ sabent que $x > 0$:

$$\begin{vmatrix} \log(x) & 0 & 0 \\ 1 & \log(x) & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 6$$

(Pista: Desenvolupa el determinant i resol l'equació resultant per a la variable $\log(x)$).

Demostra, utilitzant les propietats dels determinants, que el determinant següent és nul per a qualsevol valor de les variables $a, b, c$, sense necessitat d'aplicar la regla de Sarrus:

$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ b+c & a+c & a+b \end{vmatrix}$$

(Suggeriment: Intenta fer operacions elementals entre files perquè apareguin elements proporcionals).

Dissenya una matriu quadrada $A$ d'ordre $3$ que compleixi simultàniament les quatre condicions següents:

1. Tots els seus elements pertanyen al conjunt de nombres enters $\{-1, 0, 1, 2\}$.

2. Cap dels elements de la seva diagonal principal és nul ($a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} \neq 0$).

3. En desenvolupar el seu determinant mitjançant la regla de Sarrus, exactament dos dels sis productes elementals resulten diferents de zero.

4. El determinant resultant és $|A| = -5$.

1. a) Escriu la matriu que has construït, mostra el desenvolupament explícit dels sis productes de Sarrus identificant quins s'anul·len i verifica que el determinant és $-5$.
2. b) Raona matemàticament per què seria IMPOSSIBLE construir una matriu que compleixi les condicions 1, 2 i 3 però el determinant de la qual sigui $|A| = 11$, analitzant els possibles valors numèrics que pot prendre un producte de tres factors extrets del conjunt permès.

Una plataforma logística de distribució al corredor de Zaragoza analitza la capacitat operativa de tres prototips de furgonetes elèctriques (A, B i C). La capacitat de cada vehicle es descriu mitjançant un vector tridimensional que recull: volum útil en $\text{m}^3$, càrrega màxima en centenars de quilograms i nombre de contenidors estandarditzats:

• Prototip A: $\vec{u} = (4, 3, 2)$

• Prototip B: $\vec{v} = (2, 5, 1)$

• Prototip C: $\vec{w} = (k, 1, 3)$, on $k$ és el volum útil en $\text{m}^3$ d'aquest prototip en fase de disseny.

1. a) Escriu la matriu les files de la qual són els tres vectors de càrrega i obtén l'expressió del seu determinant en funció de $k$ aplicant la regla de Sarrus.
2. b) Perquè la flota sigui eficient, la direcció logística exigeix que el prototip C aporti una capacitat veritablement independent (és a dir, que els tres vectors no siguin coplanaris i la matriu sigui regular, evitant que un dels models sigui combinació lineal redundant dels altres dos). Troba el valor de $k$ que faria redundant el prototip C i interpreta què significa aquest cas respecte al volum del paral·lelepípede de capacitats.
3. c) Si finalment s'homologa el vehicle C amb $k = 8$, calcula el determinant resultant, interpreta geomètricament el seu valor absolut i justifica si l'empresa podrà atendre de manera única i sense ambigüitat qualsevol comanda tridimensional de transport que li sigui sol·licitada.