Exercicis: Derivada d'una funció en un punt

Un creador de contingut ha observat que el nombre de seguidors del seu canal durant la primera setmana segueix la funció $f(t) = t^2 + 2t + 100$, on $t$ és el temps en dies.

Calcula la Taxa de Variació Mitjana (T.V.M.) del nombre de seguidors entre el segon dia ($t = 2$) i el cinquè dia ($t = 5$). Quin significat té aquest valor en el context del problema?

Observa la gràfica següent de la funció $f(x)$ i la recta tangent a aquesta en el punt $P$.

A partir de la informació visual, indica raonadament quin és el valor de la derivada de la funció en el punt d'abscissa $x = 2$, és a dir, troba $f'(2)$.

Dada la funció polinòmica $f(x) = x^2 - 4x + 5$, calcula el valor de la seva derivada en el punt $x = 3$ utilitzant la definició de derivada mitjançant el límit:

Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $f(x) = 3x^2 - 5$ en el punt d'abscissa $x = 1$.

Nota: Recorda que l'equació de la recta tangent ve donada per $y - f(a) = f'(a)(x - a)$.

El nombre de descàrregues d'una nova aplicació de moda, en milers, ve donat per la funció $D(t) = 2t^2 - t$, on $t$ és el temps en hores des del seu llançament.

Calcula la velocitat instantània de descàrrega (la derivada) en l'instant $t = 4$ hores utilitzant el límit:

Dada la funció racional $f(x) = \frac{2}{x}$, calcula $f'(2)$ aplicant la definició de derivada en un punt. Explica si la funció està creixent o decreixent en aquest punt basant-te en el signe del resultat.

Determina els punts de la gràfica de la funció $f(x) = x^2 - 6x$ en els quals la recta tangent és horitzontal.

Ajuda: Una recta és horitzontal quan el seu pendent és igual a zero.

Es considera la funció definida a trossos:

Estudia la derivabilitat de la funció en el punt $x = 2$ comprovant si les derivades laterals existeixen i són iguals. És la funció contínua en aquest punt?

En un examen de Matemàtiques Aplicades a les CC. SS. II, Sergio ha de calcular l'equació de la recta normal a la gràfica de la funció $f(x) = 2x^2 - 6x + 5$ en el punt d'abscissa $x = 2$. El seu desenvolupament sobre el paper és el següent:

1. Calcula l'ordenada del punt: $f(2) = 2\cdot 2^2 - 6\cdot 2 + 5 = 1$. El punt de tangència és $(2, 1)$.

2. Deriva la funció: $f'(x) = 4x - 6$, d'on obté el pendent de la corba: $f'(2) = 4\cdot 2 - 6 = 2$.

3. Sergio escriu: «Com que la recta normal és perpendicular a la tangent, el seu pendent és l'oposat, és a dir, $m_n = -2$».

4. Escriu l'equació punt-pendent: $y - 1 = -2(x - 2)$, que simplificada dóna $y = -2x + 5$.

1. a) Localitza i explica raonadament l'error conceptual comès per Sergio en el pas 3, recordant la relació geomètrica que han de complir els pendents de dues rectes perpendiculars.
2. b) Corregeix l'exercici determinant l'equació correcta de la recta normal en aquest punt.
3. c) Esbrina si la recta normal que has obtingut passa pel punt $(4, 0)$.

Una cooperativa agrària de Castella-la Manxa ha estimat que el cost total diari (en euros) d'envasar $x$ garrafes d'oli d'oliva verge extra ve donat per la funció:

Actualment, la cooperativa envasa $x = 50$ garrafes al dia.

1. a) Estima: Sense utilitzar derivades, calcula el cost real d'envasar la garrafa número 51 mitjançant la diferència $C(51) - C(50)$. A partir d'aquest increment, realitza una estimació de quant hauria de valer aproximadament el cost marginal o taxa de variació instantània $C'(50)$.
2. b) Comprova: Calcula de manera exacta $C'(50)$ aplicant rigorosament la definició de derivada mitjançant el límit del quocient incremental:

1. c) Valora: Compara el cost real obtingut a l'apartat (a) amb el valor instantani calculat a (b). Explica per què en economia la derivada és una aproximació excel·lent per estimar el cost d'una unitat addicional i quina és la diferència exacta entre ambdós valors.

Utilitza la definició de derivada en un punt mitjançant el càlcul del límit:

per trobar el valor de la derivada de la funció $f(x) = \frac{3}{x-2}$ en el punt d'abscissa $x = 4$. Explica el significat geomètric del resultat obtingut en relació amb el pendent de la corba en aquest punt.

Una empresa de missatgeria ha comprovat que el cost d'enviament d'un paquet (en euros) depèn del seu pes $x$ (en kg) segons la funció $C(x) = \sqrt{4x + 9}$. Calcula, usant la definició de derivada com a límit, la taxa de variació instantània del cost per a un paquet que pesa exactament $4$ kg i interpreta el resultat en termes econòmics (cost marginal).

Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $f(x) = x^2 - 5x + 2$ en el punt on la funció talla l'eix d'ordenades (eix $Y$).

Dada la funció definida a trossos:

Calcula els valors de $a$ i $b$ perquè la funció sigui derivable en el punt $x = 2$. Recorda que perquè una funció sigui derivable en un punt, primer ha de ser contínua en ell.

El nombre d'usuaris d'una nova xarxa social (en milers) evoluciona segons la funció $U(t) = \frac{20t}{t+2}$, on $t$ és el temps en mesos des del seu llançament. Es demana:

1. Trobar la taxa de variació mitjana d'usuaris entre el mes $t=1$ i el mes $t=3$.

2. Trobar la taxa de creixement instantani (derivada) en el mes $t=2$ mitjançant les regles de derivació i comparar tots dos valors.

Determina els punts de la gràfica de la funció $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 2x + 5$ en els quals la recta tangent és paral·lela a la recta $y = 1 - 2x$.

Estudia la derivabilitat de la funció $f(x) = |x^2 - 4|$ en el punt $x = 2$ calculant les seves derivades laterals. Interpreta gràficament per què la funció no és derivable en aquest valor de l'abscissa.

Troba l'equació de la recta normal a la corba $f(x) = e^{x-1} + 2x$ en el punt d'abscissa $x = 1$. Recorda que la recta normal és perpendicular a la recta tangent en el punt de contacte.

Durant un dia assolellat de primavera, la potència elèctrica instantània (en megawatts, MW) generada per un parc solar fotovoltaic situat a Albacete es modelitza segons la funció:

on $t$ representa l'hora solar del dia, vàlida en l'interval de radiació efectiva $6 \le t \le 20$.

1. a) Calcula la taxa de variació instantània de la potència a les 10:00 ($t = 10$) i a les 16:00 ($t = 16$). Interpreta el significat físic i operatiu del signe del resultat obtingut en cada cas.
2. b) Determina l'equació de la recta tangent a la corba de potència a les 11:00 ($t = 11$). Quina informació aporta el pendent d'aquesta recta als operadors de la xarxa elèctrica sobre el ritme d'entrada d'energia en aquell moment?
3. c) Els tècnics de control de Red Eléctrica de España necessiten programar els sistemes d'emmagatzematge per a l'instant en què la potència deixa de créixer i comença a disminuir, és a dir, quan la taxa de variació instantània s'anul·la ($P'(t) = 0$). Troba a quina hora exacta passa aquest fet i calcula la potència màxima generada.

Es considera la funció econòmica $f(x) = \dfrac{a}{x} + bx$, definida per a tot $x \ne 0$, on $a$ i $b$ són paràmetres reals constants. Se sap que en el punt d'abscissa $x = 1$, la recta tangent a la gràfica de $f$ és paral·lela a la recta $r: 5x - y + 3 = 0$, i que a més la gràfica de $f$ passa pel punt $P(1, 7)$.

1. a) Planteja el sistema d'equacions adequat a partir de la informació de l'enunciat i determina de manera justificada els valors de $a$ i $b$.
2. b) Escriu l'equació de la recta normal a la gràfica de $f$ en aquest punt d'abscissa $x = 1$.
3. c) Hi ha algun altre punt a la gràfica de $f$ on la recta tangent sigui també paral·lela a la recta $r$? En cas afirmatiu, calcula les seves coordenades i l'equació d'aquesta tangent; en cas negatiu, justifica matemàticament per què no és possible.

Una empresa de logística ha modelitzat el cost de manteniment de la seva flota de furgonetes elèctriques mitjançant una funció $f(x)$ definida a trossos. Per assegurar que no existeixin canvis bruscos en els costos operatius, la funció ha de ser derivable en tot el seu domini. Determina els valors de $a$ i $b$ perquè la funció sigui derivable a $x = 1$:

Calcula, utilitzant exclusivament la definició de derivada mitjançant el límit del quocient incremental ($h \to 0$), el valor de $f'(4)$ per a la funció:

Justifica cada pas del procés, especialment l'eliminació de la indeterminació.

La trajectòria d'un dron de repartiment segueix la corba $f(x) = x^2 - 6x + 8$ (en hectòmetres). L'operador del dron vol programar una maniobra d'aproximació en línia recta des d'un punt $P(a, f(a))$ de la trajectòria, de tal manera que la recta tangent a la corba en aquest punt passi exactament per l'estació de càrrega, situada a l'origen de coordenades $(0,0)$.

Troba les coordenades dels possibles punts de tangència i les equacions d'aquestes rectes.

Estudia la derivabilitat de la funció $f(x) = x \cdot |x - 2|$ en el punt $x = 2$. Per a fer-ho:

1. Expressa la funció com una funció definida a trossos.

2. Calcula les derivades laterals a $x = 2$ usant la definició de derivada.

3. Interpreta gràficament si el punt $(2, f(2))$ és un "punt angulós" o un punt de "transició suau".

La funció d'ingressos d'una empresa emergent (startup) tecnològica ve donada per $I(x) = \frac{400x}{x+2}$, on $x$ és la inversió en màrqueting en milers d'euros i $I(x)$ els ingressos en milers d'euros.

1. Calcula la taxa de variació mitjana (TVM) en l'interval $[2; 2,5]$.

2. Calcula la taxa de variació instantània (derivada) a $x = 2$.

3. Quin error es comet si fem servir la derivada a $x=2$ per estimar l'increment d'ingressos en passar de 2 a 2,5 milers d'euros d'inversió?

Troba l'equació de la recta normal a la gràfica de la funció $f(x) = e^{2x-4}$ en el punt on la gràfica talla la recta horitzontal $y = 1$. Recorda que la recta normal és perpendicular a la tangent en el punt de contacte.

Es considera la funció $f(x) = \frac{k}{x^2+1}$. Determina el valor del paràmetre $k \neq 0$ perquè la recta tangent a la corba en el punt d'abscissa $x = 1$ formi un angle de $135^\circ$ amb el sentit positiu de l'eix $OX$. Una vegada trobat $k$, escriu l'equació d'aquesta recta tangent.

Dada la funció $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$, determina els valors dels paràmetres $a, b$ i $c$ sabent que:

1. La gràfica de $f(x)$ passa pel punt $(0, 5)$.

2. El pendent de la recta tangent a $x = 0$ és mínim.

3. Existeix un punt singular (derivada nul·la) a $x = 2$.

Dos estudiants de 2n de Batxillerat debaten sobre com analitzar si la funció $f(x) = |x - 2| + x^2 - 3x$ és derivable en el punt $x = 2$:

• Elena proposa el Mètode A (Definició formal mitjançant límits del quocient incremental): calcular directament les derivades laterals mitjançant:

• Carlos proposa el Mètode B (Descomposició en branques i derivació funcional): expressar $f(x)$ com una funció definida a trossos eliminant el valor absolut, comprovar la continuïtat en $x = 2$, derivar cada branca amb les regles de derivació i calcular els límits laterals $\lim_{x\to 2^-} f'(x)$ i $\lim_{x\to 2^+} f'(x)$.

1. a) Aplica amb detall el Mètode A calculant ambdós límits laterals per determinar si $f$ és derivable en $x = 2$.
2. b) Aplica amb detall el Mètode B, comprovant primer la continuïtat i trobant després les derivades laterals mitjançant les regles pràctiques. Comprova que s'arriba a la mateixa conclusió.
3. c) Tria i justifica el mètode: Compara críticament ambdós camins. Per què en el Mètode B és un requisit lògic indispensable comprovar la continuïtat de $f(x)$ abans d'igualar les derivades de les branques? Explica quin error es cometria en aplicar directament les regles de derivació si la funció presentés una discontinuïtat de salt en $x = 2$.
4. d) A la vista del resultat, explica si la corba admet una única recta tangent a $(2, f(2))$ i raona geomètricament quina figura formen les semirrectes tangents en aquest punt.

En el pla estratègic de llançament d'una aplicació de serveis financers a Espanya, el benefici net acumulat estimat (en milers d'euros) segueix la corba:

on $x$ és la despesa assignada a captació digital (en desenes de milers d'euros), amb un rang de viabilitat pressupostària $x \in [1, 7]$.

Un fons d'inversió ofereix un contracte de finançament estructurat l'aportació del qual respon a una relació lineal. Aquest finançament parteix d'un saldo inicial garantit de $20\,000$ euros quan la inversió en captació és nul·la (és a dir, la recta passa pel punt $(0, 2)$ en les unitats del model). Per garantir que la integració del capital no generi tensions financeres ni salts de rendibilitat, s'exigeix que la recta de finançament sigui estrictament tangent a la corba de beneficis en algun punt d'abscissa desconeguda $x = a \in [1, 7]$.

1. a) Escriu l'equació del feix de rectes que passen pel punt exterior $(0, 2)$ en funció del seu pendent $m$.
2. b) Formula el sistema d'equacions que relaciona l'abscissa de tangència $a$, el valor de la funció $B(a)$ i la derivada instantània $B'(a)$ per assegurar que la recta és tangent a la corba a $(a, B(a))$.
3. c) Resol el sistema anterior. Raona quina de les solucions matemàtiques obtingudes és l'única econòmicament admissible dins de l'interval de viabilitat $[1, 7]$, i determina les coordenades exactes del punt de tangència i l'equació explícita de la recta de finançament.
4. d) Troba l'equació de la recta normal a la corba de beneficis en aquest punt de tangència i explica el significat geomètric del seu pendent respecte a la trajectòria de finançament fixada.