Concepto de derivada

Un creador de contenido analiza la evolución de sus seguidores en una red social durante la última semana. El número de seguidores $S$ en función del día $t$ viene dado por la expresión $S(t) = t^2 + 10t + 500$. Calcula la Tasa de Variación Media (TVM) de sus seguidores entre el día $t=1$ y el día $t=4$. Explica con tus palabras qué significa el resultado obtenido en el contexto del problema.

La velocidad de un patinete eléctrico durante los primeros segundos de un trayecto sigue la función $v(t) = 0,5t^2 + 2$, donde $v$ es la velocidad en m/s y $t$ el tiempo en segundos.

1. a) Calcula la TVM en los intervalos $[2, 3]$ y $[2, 2,1]$.
2. b) ¿A qué valor crees que se aproxima la variación cuando el intervalo es cada vez más pequeño alrededor de $t=2$?

Dada la función lineal $f(x) = 4x - 3$, utiliza la definición de derivada en un punto mediante el límite:

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

para calcular el valor de la derivada en el punto $x=2$. Comprueba si el resultado coincide con la pendiente de la recta.

Calcula, utilizando estrictamente la definición de derivada en un punto (mediante el límite cuando $h \to 0$), el valor de $f'(3)$ para la función:

$$f(x) = 2x^2 - 5x + 1$$

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = x^2 + 1$ en el punto de abscisa $x=1$, sabiendo que el valor de la derivada en ese punto es $f'(1) = 2$.

(Recuerda que la ecuación de la recta tangente es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$).

El concepto de derivada permite aproximar el valor de una función cerca de un punto conocido. Observa el siguiente esquema donde se muestra una función y su recta tangente en el punto $P(1, 2)$.

Si sabemos que la ecuación de la recta tangente naranja es $y = 3x - 1$:

1. a) ¿Cuál es el valor de la derivada de la función en $x = 1$? Justifica tu respuesta.
2. b) Si quisiéramos saber el valor de la función en $x = 1,1$, ¿qué valor obtendríamos si usáramos la recta tangente para aproximarlo?
3. c) ¿Crees que para $x = 5$ la recta tangente seguiría siendo una buena aproximación de la función? Explica por qué.

Se dice que una función es "derivable" en un punto si su gráfica no presenta saltos ni picos angulosos en ese lugar. Analiza la siguiente función definida a trozos:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + x & \text{si } x \le 1 \\ 3x - 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

1. a) Comprueba si la función es continua en $x = 1$.
2. b) Calcula las derivadas laterales en $x = 1$ (es decir, la derivada de cada tramo en ese punto).
3. c) A partir de los resultados anteriores, ¿es la función derivable en $x = 1$? Justifica tu respuesta relacionando la continuidad y la existencia de las derivadas laterales.

Asocia cada uno de los puntos marcados en la gráfica ($A$, $B$ y $C$) con el signo de la derivada de la función en ese punto (positiva, negativa o cero). Justifica tu respuesta dibujando mentalmente la recta tangente en cada punto.

La siguiente gráfica muestra el perfil de una montaña rusa en un tramo específico. Se sabe que la pendiente de la vía en un punto determina la sensación de aceleración de los pasajeros.

Basándote en el concepto geométrico de la derivada:

1. a) ¿En cuál de los tres puntos señalados ($A$, $B$ o $C$) la derivada es nula? ¿Qué significa esto respecto a la inclinación de la vía?
2. b) Indica si la derivada en el punto $B$ es positiva o negativa. Justifica si la vagoneta está subiendo o bajando en ese instante.
3. c) Ordena de menor a mayor los valores de las derivadas en los puntos $A, B$ y $C$.