Exercicis: Regla de la cadena

Donada la funció $f(x) = (3x^2 - 5)^4$, identifica la funció "externa" i la funció "interna". Un cop identificades, aplica la regla de la cadena per trobar la seva funció derivada $f'(x)$.

Calcula la derivada de la funció radical següent:

$g(x) = \sqrt{5x + 2}$

Utilitza l'estructura de la regla de la cadena per a potències, recordant que $\sqrt{u} = u^{1/2}$.

Al departament de màrqueting d'una startup de moda, han estimat que el nombre d'usuaris registrats a la seva web segueix la funció:

$U(t) = e^{0,5t + 2}$

on $t$ és el temps en mesos. Troba l'expressió de la taxa de creixement instantani dels usuaris (és a dir, la derivada $U'(t)$).

Troba la funció derivada de $h(x) = \ln(x^2 + 3x)$. Per fer-ho, recorda que si $y = \ln(u)$, aleshores $y' = \frac{u'}{u}$.

La regla de la cadena ens diu que si tenim una composició de funcions $y = f(g(x))$, la seva derivada és $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Aplica aquest concepte per derivar la funció trigonomètrica:

$f(x) = \sin(4x - 1)$

Un fabricant de components electrònics determina que el cost total (en euros) de produir $x$ unitats d'un nou sensor ve donat per:

$C(x) = (x + 10)^{3}$

Calcula el cost marginal quan es produeixen $x$ unitats (és a dir, troba $C'(x)$).

Observa l'esquema següent que representa la composició de dues funcions $u(x)$ i $v(x)$. Si sabem que $f(x) = (v \circ u)(x)$, utilitza la informació del diagrama per calcular $f'(x)$.

$u(x) = x^3 + 1 \quad \longrightarrow \quad v(u) = \sqrt{u}$

Calcula la derivada de les funcions polinòmiques compostes següents, simplificant el resultat el màxim possible:

1. a) $f(x) = (1 - x)^5$
2. b) $g(x) = (2x + 3)^2$

En Marcos està preparant la prova d'accés a la universitat i ha de derivar la funció $f(x) = \sqrt{5x^2 - 2x + 1}$. Al seu quadern escriu la resolució següent:

Argumenta que, segons la taula bàsica de derivades, «la derivada de l'arrel sempre és u dividit entre el doble de la pròpia arrel».

1. a) Identifica la funció externa $v(u)$ i la funció interna $u(x)$ que componen $f(x) = v(u(x))$.
2. b) Explica raonadament l'error conceptual comès per en Marcos en aplicar la regla de la cadena i quin és el factor que ha oblidat.
3. c) Corregeix el càlcul escrivint l'expressió simplificada de la funció derivada $f'(x)$ i calcula el valor del pendent de la recta tangent a la gràfica de $f$ en el punt d'abscissa $x = 1$.

Es vol calcular la funció derivada de $f(x) = \ln\left(\frac{2x + 1}{x + 3}\right)$ per a qualsevol valor del domini on $x > -0,5$. Per a fer-ho es proposen dos camins diferents:

• Mètode A (Regla de la cadena directa): Considerar $u(x) = \frac{2x + 1}{x + 3}$, calcular la derivada del quocient $u'(x)$ i aplicar després $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$.

• Mètode B (Propietats dels logaritmes): Aplicar prèviament la propietat $\ln\left(\frac{A}{B}\right) = \ln A - \ln B$ per a transformar la funció en una resta de dos logaritmes senzills i derivar després terme a terme.

1. a) Desenvolupa la derivada seguint tots dos mètodes i comprova que s'arriba a la mateixa expressió simplificada en els dos casos.
2. b) Compara la càrrega d'operacions algebraiques de cada procediment i justifica quin dels dos mètodes recomanaries a un company per a minimitzar el risc de cometre errors de càlcul.

Calcula la funció derivada de la funció polinòmica composta següent i troba el valor del pendent de la recta tangent a la seva gràfica en el punt d'abscissa $x = 1$:

$f(x) = (x^3 - 2x^2 + 3)^5$

Una empresa de fabricació de components electrònics ha estimat que el cost total (en milers d'euros) de produir $x$ unitats d'un nou model de processador ve donat per la funció:

$C(x) = \sqrt{2x^2 + 5x + 100}$

Obtén l'expressió del cost marginal $C'(x)$ utilitzant la regla de la cadena i calcula aquest cost quan es produeixen exactament $10$ unitats.

El nombre de seguidors d'una coneguda influencer en una xarxa social, mesurat en milers de persones, segueix un model de creixement donat per la funció:

$S(t) = 50 \cdot \ln(t^2 + 4t + 5)$

on $t$ és el temps en mesos des del llançament de la seva campanya publicitària. La gràfica mostra la funció i el punt corresponent a $t = 3$.

Calcula el ritme de creixement de seguidors (la derivada) al tercer mes ($t = 3$).

Donada la funció exponencial composta $g(x) = e^{x^2 - 4x + 1}$, determina els punts de la corba en els quals la recta tangent és horitzontal.

Troba la derivada de la funció següent, que combina la regla del quocient amb la regla de la cadena:

$h(x) = \frac{(3x - 1)^2}{x^2 + 1}$

Simplifica el resultat final tant com sigui possible.

El valor de mercat d'una acció tecnològica (en euros) ha fluctuat durant una jornada borsària de 8 hores segons la funció:

$V(t) = 10 + 2 \cdot \sqrt{(t - 4)^2 + 9}$

on $t$ és el temps en hores ($0 \le t \le 8$). Determina la taxa de variació instantània del valor de l'acció just en complir-se la sisena hora de la jornada.

Determina el valor del paràmetre constant $k$ a la funció $f(x) = \ln(kx^2 + 1)$ sabent que el pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció en el punt d'abscissa $x = 1$ és igual a $1$.

Siguin $f$ i $g$ dues funcions derivables. Es coneixen els valors següents:

• $g(2) = 5$

• $g'(2) = 3$

• $f'(5) = -4$

Utilitza la regla de la cadena per calcular el valor de la derivada de la funció composta $H(x) = (f \circ g)(x)$ en el punt $x = 2$, és a dir, troba $H'(2)$.

Una cooperativa d'oli d'oliva de Jaén modelitza el seu cost total diari d'envasament $C$ (en centenars d'euros) en funció del volum $q$ (en milers de litres envasats) mitjançant la funció:

Durant una jornada de 8 hores continuades ($0 \le t \le 8$, on $t$ es mesura en hores), el volum acumulat respon a la funció:

1. a) Justifica, a partir de la regla de la cadena, el significat econòmic de la derivada composta $\frac{dC}{dt}$ i expressa-la teòricament en funció de $C'(q)$ i $q'(t)$.
2. b) Obtén l'expressió analítica de la taxa de variació instantània del cost respecte al temps, $\frac{dC}{dt}$.
3. c) Calcula el valor exacte de $\frac{dC}{dt}$ al cap de 2 hores d'iniciar-se el torn ($t = 2$) i interpreta el resultat indicant les unitats econòmiques corresponents.

Un servei d'estudis econòmics analitza l'evolució d'un índex de confiança empresarial $I(x)$, que depèn de la taxa d'inflació interanual $x$ (expressada en tant per cent), modelitzat segons la funció:

Actualment, la taxa d'inflació a Espanya se situa en el $6\,\%$ ($x = 6$).

1. a) Estima: Sense derivar analíticament, raona quin ha de ser el signe de $I'(6)$ tenint en compte el context econòmic (augmenta o disminueix la confiança empresarial davant d'un repunt de la inflació?). A partir de la forma de la funció, estima raonadament si l'impacte negatiu sobre la confiança serà més suau o més brusc quan la inflació passi del $6\,\%$ al $7\,\%$ que quan passi de l'$1\,\%$ al $2\,\%$.
2. b) Calcula: Obtén la funció derivada $I'(x)$ mitjançant la regla de la cadena i troba el seu valor exacte a $x = 6$.
3. c) Comprova: Troba la recta tangent a la corba a $x = 6$, utilitza-la per a estimar el valor de l'índex si la inflació pugés lleugerament al $6,2\,\%$ i valora si el resultat obtingut és coherent amb la teva estimació inicial.

Calcula la funció derivada de l'expressió següent, simplificant el resultat tot el que sigui possible mitjançant l'ús d'identitats trigonomètriques o propietats dels logaritmes:

Determina els valors dels paràmetres $a, b \in \mathbb{R}$ perquè la funció següent sigui contínua i derivable en tot el seu domini, parant una atenció especial a la composició en la segona branca:

Una empresa de màrqueting digital ha determinat que el nombre d'usuaris actius en una plataforma social, $U(t)$, mesurat en milers, segueix una funció que depèn de la inversió en publicitat $x$ (en milers d'euros), la qual al seu torn varia amb el temps $t$ (en mesos). Les funcions són:

Calcula la taxa de variació instantània del nombre d'usuaris respecte al temps quan han transcorregut exactament $t = 2$ mesos. Interpreta si el creixement d'usuaris s'està accelerant o frenant en aquest instant.

Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $g(x)$ en el punt d'abscissa $x = 1$. La funció ve definida per la composició següent:

En l'estudi d'un mercat monopolístic, s'ha comprovat que el preu d'un producte $p$ (en euros) i la quantitat demandada $q$ (en unitats) estan relacionats de manera implícita per l'equació següent:

Sabent que l'ingrés total ve donat per la funció $I = p \cdot q$, utilitza la regla de la cadena i la derivació implícita per trobar la derivada de l'ingrés respecte al preu, $\frac{dI}{dp}$, quan el preu és $p = 4$ euros (considera només el valor positiu de $q$).

Estudia l'existència de punts amb tangent horitzontal en la funció $f(x) = (x^2 - 4)^2 \cdot e^{-x^2}$. Per a això, obtén la derivada primera aplicant la regla de la cadena i el producte, i iguala a zero per trobar totes les solucions possibles en el domini real.

Donada la funció $h(x) = \log_2 \left( \sqrt[3]{x^3 + 3x^2} \right)$, calcula el valor de la seva derivada en el punt d'abscissa $x = 1$. Nota: Recorda aplicar la regla de la cadena per a logaritmes en bases diferents d'$e$.

Siguin $f$ i $g$ dues funcions de les quals es coneixen les dades següents:

• $g(1) = 2$ i $g'(1) = 3$

• $f(2) = -1$ i $f'(2) = 5$

Si definim una nova funció $H(x) = \sqrt{f(g(x)) + 5}$, calcula el valor de $H'(1)$ aplicant rigorosament la regla de la cadena. Comenta què passaria amb la derivada si el valor de dins de l'arrel fos negatiu.

Es considera la funció composta $H(x) = \ln(x^2 + bx + c)$, on $b$ i $c$ són paràmetres reals. Es disposa de la informació següent sobre el seu comportament:

• La funció $H(x)$ té un extrem relatiu en el punt d'abscissa $x = 2$.

• La recta tangent a la gràfica de $H(x)$ en el punt d'abscissa $x = 1$ és paral·lela a la recta d'equació $y = -x + 4$.

1. a) Aplica la regla de la cadena per a obtenir l'expressió de $H'(x)$ en funció dels paràmetres $b$ i $c$.
2. b) Planteja un sistema d'equacions a partir de les dades anteriors i determina raonadament els valors de $b$ i $c$. Demostra a més que, amb aquests coeficients, l'argument del logaritme és estrictament positiu per a qualsevol nombre real, de manera que el domini de $H(x)$ és tot $\mathbb{R}$.
3. c) Classifica l'extrem relatiu situat a $x = 2$ (indicant si es tracta d'un màxim o d'un mínim relatiu) mitjançant l'estudi rigorós del signe de $H'(x)$ a l'esquerra i a la dreta d'aquest punt.

Una auditoria financera modelitza la rendibilitat neta de dues branques de negoci mitjançant dues funcions derivables desconegudes, $f$ i $g$. No es disposa de les fórmules algebraiques explícites de cap d'elles, però es coneixen amb exactitud les dades següents:

• La recta tangent a la gràfica de $g(x)$ en el punt d'abscissa $x = 3$ té per equació $y = -2x + 7$.

• Per a la funció $f$, s'han registrat els valors: $f(1) = 4$, $f'(1) = -3$, $f(3) = 2$ i $f'(3) = 5$.

A partir d'aquestes dades, es defineixen dos nous indicadors financers compostos:

1. a) Dedueix raonadament, a partir de la recta tangent donada, els valors numèrics de $g(3)$ i de la derivada $g'(3)$.
2. b) Aplica la regla de la cadena per a calcular l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $h(x)$ en el punt d'abscissa $x = 3$. Justifica explícitament quins valors de la informació facilitada sobre $f$ utilitzes i quins has de descartar, alertant sobre l'error habitual que es cometria en confondre $f'(g(3))$ amb $f'(3)$.
3. c) Calcula la taxa de variació instantània $k'(3)$ i interpreta si l'indicador $k(x)$ es troba en fase de creixement o de decreixement en aquest punt.

Repte del tema. A quin ritme canvia el nostre consum elèctric?

1. Recollida de dades: Entra al web de Red Eléctrica de España (REE) i anota la demanda peninsular (en MW) de sis hores diferents del dia d'ahir. Introdueix els parells hora-demanda a GeoGebra o a un full de càlcul i ajusta una funció polinòmica $D(t)$.

2. Derivació i regla de la cadena: Suposa que el cost majorista associat segueix el model $C(D) = \sqrt{2 + 0,15 \cdot D^2}$ (en milers d'euros). Aplica les regles de derivació i la regla de la cadena per trobar analíticament la funció del ritme de canvi del cost respecte al temps: $C'(t) = \frac{dC}{dD} \cdot D'(t)$.

3. Derivada puntual i interpretació: Calcula la derivada en dos moments clau: en hora vall ($t = 4\text{ h}$) i en hora punta ($t = 21\text{ h}$). Interpreta el valor i el signe de $D'(t)$ i $C'(t)$ com a taxes de variació instantània.

4. Producte final: Redacta un informe breu (una pàgina) amb la gràfica, els desenvolupaments matemàtics i una proposta raonada sobre com adaptar els hàbits de consum segons la velocitat a la qual canvia la despesa energètica.

Es valorarà:

• Obtenció i modelització adequada de les dades reals a GeoGebra o full de càlcul.

• Correcció en el càlcul de derivades aplicant adequadament la regla de la cadena.

• Interpretació matemàtica i socioeconòmica rigorosa de la derivada en un punt.

• Claredat de conclusions i qualitat en la presentació de l'informe.