Límites infinitos y límites en el infinito
Hay dos formas de que una función "se vaya a infinito": que lo haga al acercarse a un punto concreto (la curva se dispara verticalmente) o que lo haga cuando $x$ crece o decrece sin límite (la curva se extiende horizontalmente). Distinguir ambas situaciones —y calcular lo que ocurre en cada una— es el objetivo de este apartado.
Límite infinito en un punto: asíntota vertical
Cuando el denominador de una función racional se anula en $x_0$ sin que lo haga el numerador, la función "se dispara" cerca de $x_0$.
Dada la función $f(x) = \frac{4}{x - 3}$, estudia su comportamiento cuando $x$ se acerca a $3$ por ambos lados. Para ello, calcula: a) $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ b)…
Dada la función $f(x) = \frac{4}{x - 3}$, estudia su comportamiento cuando $x$ se acerca a $3$ por ambos lados. Para ello, calcula:
- a) $\lim_{x \to 3^-} f(x)$
- b) $\lim_{x \to 3^+} f(x)$
Indica si la función presenta alguna asíntota vertical y escribe su ecuación.
Completa la siguiente tabla de valores para la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ y estima de forma intuitiva el valor del límite $\lim_{x \to 1} f(x)$. Explica por…
Completa la siguiente tabla de valores para la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ y estima de forma intuitiva el valor del límite $\lim_{x \to 1} f(x)$. Explica por qué, aunque la función no esté definida en $x = 1$, sí podemos hablar de su límite en ese punto.
| $x$ | 0,9 | 0,99 | 0,999 | 1,001 | 1,01 | 1,1 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ |
Límites en el infinito de funciones racionales
Cuando $x\to\pm\infty$, lo único que importa en una fracción de polinomios es comparar el grado del numerador con el del denominador.
Un estudio de mercado analiza la evolución del número de usuarios de una nueva aplicación de mensajería, medido en miles, mediante la función…
Un estudio de mercado analiza la evolución del número de usuarios de una nueva aplicación de mensajería, medido en miles, mediante la función $U(t) = \dfrac{40t + 10}{2t + 5}$, donde $t$ representa el tiempo en meses desde su lanzamiento.
- a) Analiza qué ocurre con el número de usuarios en las proximidades del tercer mes. Para ello, calcula razonadamente el límite:
- b) Determina el comportamiento de la aplicación a largo plazo. ¿Existe algún valor máximo al que se aproxime el número de usuarios? Interpreta el resultado en términos de asíntotas horizontales.
Calcula los siguientes límites en el infinito utilizando la comparación de los términos dominantes y explica su significado gráfico (si tienden a un valor concreto o si…
Calcula los siguientes límites en el infinito utilizando la comparación de los términos dominantes y explica su significado gráfico (si tienden a un valor concreto o si presentan ramas parabólicas):
- a) $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^3 - 5x + 2}{1 - 2x^3}$
- b) $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 + 10}{x - 5}$
- c) $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^4 + 3x}}{5x^2 - 1}$
Indeterminación $\infty-\infty$ con raíces: el conjugado
Cuando una resta de términos tiende a $\infty-\infty$ y aparece una raíz, sustituir no funciona: hay que multiplicar y dividir por el conjugado para convertir la raíz en un cuadrado.
Un dron de vigilancia forestal sigue una trayectoria cuya altura en metros respecto al nivel del mar viene dada por la expresión $H(t) = \sqrt{t^2 + 8t} - t$, donde $t$…
Un dron de vigilancia forestal sigue una trayectoria cuya altura en metros respecto al nivel del mar viene dada por la expresión $H(t) = \sqrt{t^2 + 8t} - t$, donde $t$ es el tiempo en minutos desde que inicia su patrulla.
Calcula el límite de la altura cuando el tiempo tiende a infinito:
$$\lim_{t \to +\infty} (\sqrt{t^2 + 8t} - t)$$¿A qué altura estabiliza el dron su vuelo a largo plazo? Resuelve la indeterminación multiplicando por el conjugado.
Jerarquía de crecimiento: exponencial, potencia y logaritmo
Cuando compiten en un mismo límite una exponencial, una potencia de $x$ y un logaritmo, no hace falta ningún cálculo algebraico: una jerarquía fija decide quién "gana".
Calcula el valor del siguiente límite que involucra una diferencia de funciones irracionales en el infinito:…
Calcula el valor del siguiente límite que involucra una diferencia de funciones irracionales en el infinito:
$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{4x^2 + 5x - 1} - \sqrt{4x^2 - 3x + 2} \right)$
Explica razonadamente por qué no podemos decir simplemente que el resultado es $0$ al restar dos infinitos del mismo orden.