Exercicis: Límits infinits i límits a l'infinit

Observa la gràfica de la funció $f(x)$ i determina el valor dels límits laterals quan la variable $x$ s'apropa a $x = 2$, és a dir, $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ i $\lim_{x \to 2^+} f(x)$. A partir de la teva observació, raona si existeix el límit global $\lim_{x \to 2} f(x)$.

A la gràfica, el cercle buit indica que aquest punt no pertany a la funció, i el punt ple sí que hi pertany.

Completa la taula de valors següent per a la funció $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ i estima de forma intuïtiva el valor del límit $\lim_{x \to 1} f(x)$. Explica per què, encara que la funció no estigui definida a $x = 1$, sí que podem parlar del seu límit en aquest punt.

Donada la funció $f(x) = \frac{4}{x - 3}$, estudia el seu comportament quan $x$ s'acosta a $3$ per tots dos costats. Per a fer-ho, calcula:

1. a) $\lim_{x \to 3^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 3^+} f(x)$

Indica si la funció presenta alguna asímptota vertical i escriu la seva equació.

Imagina que el benefici diari d'una nova cafeteria d'especialitat, en euros, segueix la funció $B(t) = 2t^2 - 10t + 50$, on $t$ és el temps en mesos des de la seva obertura. Què passarà amb el benefici si la cafeteria continua funcionant indefinidament? Calcula $\lim_{t \to +\infty} B(t)$ i interpreta el resultat en el context del problema.

Calcula els límits següents a l'infinit per a les funcions polinòmiques donades. Recorda que el terme de grau més alt és el que determina el comportament final de la funció:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} (-x^3 + 5x^2 + 2)$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} (2x^4 - 3x + 1)$
3. c) $\lim_{x \to -\infty} (x^5 + x^2)$

El nombre d'usuaris que visiten una pàgina web de venda de roba de segona mà després de $x$ dies d'una campanya publicitària ve donat per la funció $N(x) = \frac{3000x + 100}{x + 2}$.

1. a) Quants usuaris van visitar la web el dia del llançament ($x=0$)?
2. b) Si la campanya es manté durant molt de temps, a quin valor constant tendirà el nombre de visitants diaris? Calcula $\lim_{x \to +\infty} N(x)$.

Analitza el grau del numerador i del denominador per determinar el valor dels límits següents a l'infinit sense fer operacions complexes:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x}{2x^2 + 1}$
2. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 7}{x^2 - 4}$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 1}{100x^2 + 5}$

Associa cadascuna de les funcions següents amb el seu comportament a l'infinit (asímptota horitzontal). Justifica la teva resposta calculant el límit corresponent quan $x \to +\infty$:

1. $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3}$

2. $g(x) = \dfrac{10}{x + 1}$

3. $h(x) = \dfrac{6x^2}{3x^2 - 5}$

Comportaments possibles (una mateixa opció pot correspondre a més d'una funció):

A) Asímptota horitzontal $y = 0$

B) Asímptota horitzontal $y = 2$

C) Asímptota horitzontal $y = 3$

D) No té asímptota horitzontal

En un examen de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II, en Sergio es troba amb el càlcul del límit:

En Sergio escriu en la seva resolució:

«En substituir obtenim $\frac{3 \cdot 2 - 1}{2 - 2} = \frac{5}{0} = +\infty$. Per tant, el límit és $+\infty$ i la recta $x = 2$ és una asímptota vertical.»

1. a) Explica amb precisió l'error conceptual que comet en Sergio en afirmar directament que el límit bilateral és $+\infty$.
2. b) Fes l'estudi correcte calculant per separat els límits laterals quan $x \to 2^-$ i quan $x \to 2^+$.
3. c) A partir dels resultats dels límits laterals, conclou si existeix o no el límit global $\lim_{x \to 2} \frac{3x - 1}{x - 2}$ i raona si l'afirmació final sobre l'existència de l'asímptota vertical era correcta o incorrecta.

Una cooperativa agrícola valenciana estima que el cost mitjà per quilogram produït de cítrics (en euros), en recol·lectar $x$ tones de fruita, ve donat per la funció:

1. a) Estima: abans de fer qualsevol manipulació algebraica, observa els termes de major grau del numerador i del denominador. Cap a quin valor creus que tendirà el cost mitjà si la recol·lecció creix de manera indefinida ($x \to +\infty$)? Justifica la teva intuïció.
2. b) Avalua numèricament la funció per a $x = 100$ i $x = 10\,000$ (pots deixar les operacions plantejades o aproximar el resultat amb dos decimals). Donen suport aquests valors a l'estimació que has formulat?
3. c) Comprova: calcula formalment $\lim_{x \to +\infty} C(x)$ dividint numerador i denominador entre la màxima potència de $x$. Justifica, a partir d'aquest procediment, per què els termes de menor grau ($-12x$, $+9$, $+3x$ i $+5$) resulten matemàticament irrellevants per determinar el límit a l'infinit.

Un estudi de mercat analitza l'evolució del nombre d'usuaris d'una nova aplicació de missatgeria, mesurat en milers, mitjançant la funció $U(t) = \dfrac{40t + 10}{2t + 5}$, on $t$ representa el temps en mesos des del seu llançament. La figura mostra la gràfica d'aquesta funció.

1. a) Analitza què passa amb el nombre d'usuaris a les proximitats del tercer mes. Per a això, calcula raonadament el límit:

1. b) Determina el comportament de l'aplicació a llarg termini. Existeix algun valor màxim al qual s'aproximi el nombre d'usuaris? Interpreta el resultat en termes d'asímptotes horitzontals.

Donada la funció racional $f(x) = \dfrac{x^2 - kx}{x^2 - 4}$, es demana:

1. a) Trobar el valor del paràmetre $k \in \mathbb{R}$ perquè la funció brilli/presenti una discontinuïtat evitable a $x = 2$.

1. b) Per al valor de $k$ trobat en l'apartat anterior, estudia el comportament de la funció quan $x$ tendeix a $-2$. Quin tipus de límit obtens? Justifica si existeix una asímptota vertical calculant els límits laterals:

Calcula els límits següents a l'infinit utilitzant la comparació dels termes dominants i explica el seu significat gràfic (si tendeixen a un valor concret o si presenten branques parabòliques):

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^3 - 5x + 2}{1 - 2x^3}$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 + 10}{x - 5}$

1. c) $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^4 + 3x}}{5x^2 - 1}$

Un dron de vigilància forestal segueix una trajectòria l'altura de la qual en metres respecte al nivell del mar ve donada per l'expressió $H(t) = \sqrt{t^2 + 8t} - t$, on $t$ és el temps en minuts des que inicia la patrulla. La figura mostra la seva trajectòria durant els primers 20 minuts.

Calcula el límit de l'altura quan el temps tendeix a infinit:

A quina altura estabilitza el dron el seu vol a llarg termini? Resol la indeterminació multiplicant pel conjugat.

Considera la funció $g(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$.

1. a) Completa la taula de valors següent per analitzar la tendència de la funció quan $x$ s'acosta a $3$ per la dreta:

1. b) A partir dels resultats, dedueix el valor del límit lateral $\lim_{x \to 3^+} g(x)$.

1. c) Calcula el límit $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ i explica la diferència conceptual entre el "límit en un punt" i el "límit a l'infinit" per a aquesta funció.

Donada la gràfica de la funció $h(x)$ que es mostra a continuació, identifica raonadament el valor dels límits següents:

1. a) $\lim_{x \to -1^-} h(x)$ i $\lim_{x \to -1^+} h(x)$
2. b) $\lim_{x \to 2} h(x)$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} h(x)$
4. d) $\lim_{x \to -\infty} h(x)$

Calcula el valor de $a$ i $b$ perquè es verifiquin les següents igualtats de límits:

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ax^2 + 5x}{3x^2 - 2} = 4$

1. b) $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + bx - 3}{x - 1} = 4$ (Nota: Perquè el límit sigui finit en un punt que anul·la el denominador, el numerador també s'ha d'anul·lar).

En un laboratori de biotecnologia, la població d'una ceba de bacteris (en milions) creix segons el model:

on $t \ge 0$ és el temps en hores.

1. a) Quina és la població inicial de bacteris ($t=0$)?

1. b) Calcula $\lim_{t \to +\infty} P(t)$. Què representa aquest valor per a la colònia de bacteris?

1. c) Compara l'ordre d'infinitud del numerador i del denominador en la fracció. Si el creixement fos $100t^3$ en lloc de $100t^2$, canviaria el comportament a llarg termini? Justifica la teva resposta fent servir límits.

A partir de les sèries estadístiques de Red Eléctrica de España (REE), un equip d'analistes modelitza el percentatge de generació elèctrica peninsular procedent de fonts renovables, $P(t)$ (en tant per cent), en funció dels anys transcorreguts des de 2010 ($t = 0$ representa l'any 2010):

1. a) Troba el percentatge de renovables que dona el model per a l'any 2010 ($t = 0$) i per a l'any 2020 ($t = 10$).
2. b) Calcula $\lim_{t \to +\infty} P(t)$ i interpreta el resultat: té la funció alguna asímptota horitzontal? Des del punt de vista del sector energètic, aquest model preveu que Espanya es pugui proveir al $100\,\%$ únicament amb energies renovables a llarg termini? Raona la teva resposta.
3. c) Una directiva europea més ambiciosa planteja un model alternatiu: $Q(t) = \frac{96t^2 + 500}{t^2 + 2t + 10}$. Calcula el seu límit quan $t \to +\infty$ i compara la cota teòrica a llarg termini d'ambdues projeccions de transició energètica.

Dissenya una funció racional de la forma $f(x) = \frac{a x^2 + b x}{x^2 - c}$ sabent que ha de satisfer simultàniament tres condicions imposades per un model econòmic:

1. Presenta una asímptota horitzontal a la recta $y = 2$ quan $x \to +\infty$.

2. Té una asímptota vertical a la recta $x = 3$.

3. A $x = -3$ no té asímptota vertical, sinó una discontinuïtat evitable; és a dir, existeix i és finit el límit $\lim_{x \to -3} f(x) = L$.

1. a) Determina de manera raonada els valors dels paràmetres reals $a$, $b$ i $c$.
2. b) Amb els valors obtinguts, calcula el valor del límit finit $L = \lim_{x \to -3} f(x)$.
3. c) Explica conceptualment per què a $x = 3$ es genera una asímptota vertical mentre que a $x = -3$ es produeix una discontinuïtat evitable, relacionant-ho amb l'anul·lació simultània o no del numerador i del denominador.

Utilitza la definició formal de límit basada en entorns per demostrar que el límit de la funció $f(x) = \frac{3x - 1}{2}$ quan $x$ tendeix a $3$ és igual a $4$. Per a fer-ho, donat un $\varepsilon > 0$, troba una expressió per a $\delta$ en funció de $\varepsilon$ que satisfaci la condició:

$0 < |x - 3| < \delta \implies |f(x) - 4| < \varepsilon$

Es considera la funció racional $f(x) = \frac{ax^2 + bx + 2}{x^2 - 4}$. Determina els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ sabent que la funció presenta una asímptota horitzontal a $y = 2$ i que existeix el límit finit en el punt $x = 2$. Un cop trobats els paràmetres, calcula el valor de dit límit a $x = 2$ i discuteix el comportament de la funció quan $x$ tendeix a $-2$.

Calcula el valor del límit següent que involucra una diferència de funcions irracionals a l'infinit:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{4x^2 + 5x - 1} - \sqrt{4x^2 - 3x + 2} \right)$

Explica raonadament per què no podem dir simplement que el resultat és $0$ en restar dos infinits del mateix ordre.

En un laboratori de biotecnologia, el creixement d'una ceba bacteriana en un entorn tancat es modela mitjançant la funció $P(t) = \frac{100 \cdot e^{0,5t}}{k + e^{0,5t}}$, on $P(t)$ és la població en milions i $t$ és el temps en hores.

1. a) Si es sap que la població inicial ($t=0$) és de 20 milions, calcula el valor de la constant $k$.
2. b) Determina el límit de la població quan el temps tendeix a infinit i interpreta el significat biològic de l'asímptota horitzontal obtinguda.

Troba els valors de $k$ perquè el límit següent basat en l'estructura del nombre $e$ sigui igual a $e^6$:

$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 + kx + 1}{x^2 - 2x + 3} \right)^{2x}$

Mostra tots els passos intermedis, incloent-hi la resolució de la indeterminació $1^\infty$.

Donada la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(1+x^2)}{x} & \text{si } x < 0 \\ \frac{a \cdot \sin(x)}{x} + b & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Calcula els valors de $a$ i $b$ perquè existeixin els límits laterals a $x=0$, que el límit per l'esquerra sigui igual a $0$ i que el límit per la dreta sigui igual a $5$. És possible definir $f(0)$ perquè la funció sigui contínua en aquest punt?

Analitza el comportament asimptòtic de la funció $g(x) = \frac{2^{x+1} + 5}{2^x - 8}$. Per a això:

1. a) Calcula els límits quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$. Quines asímptotes horitzontals presenta?

1. b) Identifica el punt on s'anul·la el denominador i estudia els límits laterals en aquest punt per determinar si existeix una asímptota vertical.

Calcula el valor del límit següent, comparant ordres d'infinits i resolent la indeterminació resultant:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{100} + 3^x}{\log_2(x^5) + e^x}$

Justifica la teva resposta basant-te en la jerarquia de creixement de les funcions exponencial, potencial i logarítmica. Canviaria el resultat si el límit fos cap a $-\infty$? Raona la teva resposta.

Per calcular el límit $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 6x} - x\right)$, tres estudiants de segon de Batxillerat proposen camins diferents:

• Proposta d'Álvaro: «Com que per a valors molt grans de $x$ el terme $6x$ és menyspreable enfront de $x^2$, aproximo $\sqrt{x^2 + 6x} \approx \sqrt{x^2} = x$. Per tant, el límit és $\lim_{x \to +\infty} (x - x) = 0$.»

• Proposta de Beatriz: «Trec factor comú $x$ fora de l'arrel: $x \cdot \left(\sqrt{1 + \frac{6}{x}} - 1\right)$. En substituir obtinc $\infty \cdot (\sqrt{1} - 1) = \infty \cdot 0$, i com que qualsevol nombre multiplicat per zero és zero, el límit val $0$.»

• Proposta de Carlos: «L'expressió presenta una indeterminació del tipus $\infty - \infty$ entre termes del mateix ordre. Hem de multiplicar i dividir per l'expressió conjugada $\sqrt{x^2 + 6x} + x$ i després comparar els graus resultants.»

1. a) Analitza les propostes d'Álvaro i Beatriz. Explica amb rigor matemàtic quin error comet cadascun i per què les seves justificacions són errònies.
2. b) Resol el límit aplicant el mètode proposat per Carlos, detallant cada pas del càlcul.
3. c) Si el límit a resoldre fos $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{9x^4 + 2x} - 2x\right)$, caldria recórrer al mètode del conjugat o n'hi hauria prou amb comparar els ordres de creixement de tots dos termes? Tria el mètode més eficient i justifica la teva elecció sense necessitat de desenvolupar tot el càlcul del conjugat.

El departament de tecnologia d'una entitat bancària espanyola modelitza el cost mitjà per operació (en cèntims d'euro) en processar un volum de $x$ milions de transaccions mitjançant la funció:

Paral·lelament, el temps mitjà de resposta dels servidors davant de consultes complexes (en mil·lisegons) s'estima mitjançant la funció:

1. a) Aplica la jerarquia de creixement a l'infinit ($\log_a x \ll x^n \ll a^x$) per calcular $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ en funció dels paràmetres $a$ i $b$. Si el banc necessita que el cost mitjà a llarg termini s'estabilitzi en exactament $4$ cèntims per operació, quant ha de valer $a$? Influeix el valor del paràmetre $b$ en aquest comportament a llarg termini? Justifica la teva resposta.
2. b) Suposa que una optimització del codi anul·la el component exponencial del numerador ($a = 0$, mantenint $b > 0$). Calcula en aquest cas $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ recolzant-te en la jerarquia d'infinits i interpreta què passaria amb el cost unitari a mesura que el volum de transaccions creix indefinidament.
3. c) Determina el valor del paràmetre real $k$ perquè la funció del temps de resposta $g(x)$ tingui com a asímptota horitzontal la recta $y = 0,6$. Justifica el tractament del terme $\ln(x)$ enfront del terme polinòmic quan $x \to +\infty$.