Exercicis: Càlcul de límits. Indeterminacions

Per entendre el concepte de límit, analitzarem el comportament de la funció $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ quan els valors de $x$ s'apropen molt a $2$, però sense arribar a ser exactament $2$.

Completa la taula de valors següent utilitzant la teva calculadora i prediu quin serà el valor del $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$:

Donada la gràfica de la funció $f(x)$ que es mostra a continuació, determina de forma visual el valor dels límits següents:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to -2} f(x)$
2. b) $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)$
3. c) $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x)$

Calcula els límits immediats següents realitzant la substitució directa en l'expressió de la funció:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to 3} (x^2 - 5x + 2)$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{2x + 4}{x^2 + 1}$

1. c) $\displaystyle \lim_{x \to 0} e^{x+1}$

En l'anàlisi de costos d'una empresa, s'ha determinat que el cost mitjà de fabricar $x$ unitats d'un nou giny tecnològic ve donat per la funció:

Calcula el límit $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} C(x)$ i interpreta el resultat en el context del problema (què passa amb el cost per unitat si la producció augmenta de manera massiva?).

Resol la indeterminació de tipus $\frac{\infty}{\infty}$ en els casos següents, comparant els graus dels polinomis:

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 5}$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x + 10}{x^2 - 2}$

1. c) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 1}{100x^2 + x}$

Calcula el valor del límit següent resolent la indeterminació de tipus $\frac{0}{0}$ mitjançant la simplificació de la fracció (extraient factor comú o factoritzant):

El nombre de seguidors d'un canal de "streamer" principiant durant els primers mesos segueix la funció $S(t) = \frac{200t^2}{t^2 + 4}$, on $t$ és el temps en mesos. El gràfic mostra l'evolució de $S(t)$.

1. a) Quants seguidors té el canal en començar ($t=0$)?
2. b) Utilitza el càlcul de límits per esbrinar a quants seguidors tendirà el canal a llarg termini (quan $t \to +\infty$).

Calcula el límit a l'infinit de la funció racional següent i justifica la teva resposta:

Per calcular el límit $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 2x - 8}$, dos companys de classe raonen de la manera següent:

• L'Hugo substitueix $x = 2$ i obté $\dfrac{0}{0}$. Afirma: «Com que zero dividit entre qualsevol nombre és zero, el límit val $0$».

• En Mateo li respon: «No, Hugo, qualsevol quantitat dividida entre si mateixa dona $1$, de manera que el límit ha de ser $1$».

1. a) Explica raonadament l'error conceptual que cometen tots dos i aclareix per què l'expressió $\left[\frac{0}{0}\right]$ s'anomena «indeterminació» i no representa un valor numèric definit.
2. b) Aplica la factorització de polinomis mitjançant el teorema del residu (o Ruffini), simplifica el factor que genera la indeterminació i troba el veritable valor numèric del límit.

Donada la funció $f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 7} - 3}{x - 2}$:

1. a) Estima: Sense fer transformacions algebraiques, avalua numèricament amb la calculadora els valors de $f(1,99)$ i $f(2,01)$ amb almenys quatre xifres decimals. A partir dels resultats obtinguts, proposa una conjectura raonada sobre quin hauria de ser el valor exacte de $\lim_{x \to 2} f(x)$ expressat en forma de fracció irreductible.
2. b) Comprova: Calcula analíticament $\lim_{x \to 2} f(x)$ multiplicant numerador i denominador per l'expressió conjugada de l'arrel per resoldre la indeterminació $\left[\frac{0}{0}\right]$. Comprova si el valor teòric obtingut coincideix exactament amb la teva estimació inicial.

Donada la gràfica de la funció $f(x)$ que es mostra a continuació, analitza el seu comportament en els punts crítics i determina els valors següents:

1. a) $\lim_{x \to -2^-} f(x)$ i $\lim_{x \to -2^+} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 1} f(x)$
3. c) $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ i $\lim_{x \to 3^+} f(x)$
4. d) Existeix el límit global a $x = 3$? Justifica la teva resposta basant-te en els límits laterals.

Calcula el valor del límit següent resolent la indeterminació de tipus $\frac{0}{0}$ mitjançant la factorització de polinomis (pots utilitzar la regla de Ruffini si cal):

Una empresa de missatgeria ha determinat que els seus costos diaris en euros venen donats per la funció $C(x) = \sqrt{9x^2 + 5x} - 3x$, on $x$ representa el nombre d'enviaments realitzats en centenars.

Calcula el límit dels costos quan el volum d'enviaments augmenta indefinidament ($\lim_{x \to +\infty} C(x)$). Interpreta el resultat obtingut en el context del problema.

Calcula els límits següents analitzant el grau dels polinomis i les potències de major ordre (indeterminació $\frac{\infty}{\infty}$):

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - 5x + 1}{\sqrt{x^4 + 3x^2}}$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 + 2}{x^2 + 10}$

Determina el valor del paràmetre $k \in \mathbb{R}$ perquè existeixi el límit de la funció $f(x)$ en el punt $x = 1$, essent la funció:

Per a aquest valor de $k$, quant val el límit?

Resol el límit següent que dona lloc a una indeterminació del tipus $1^\infty$ utilitzant la fórmula relacionada amb el nombre $e$:

El nombre de seguidors d'un nou "influencer" en una xarxa social segueix el model donat per la funció $S(t) = 500 \cdot \left( 1 + \frac{2}{t+1} \right)^t$, on $t$ és el temps en mesos des que va obrir el seu compte.

1. a) Calcula $\lim_{t\to+\infty} S(t)$ i, a partir d'aquest, indica quina és la tendència del nombre de seguidors quan el temps creix indefinidament. Justifica la teva resposta amb el càlcul de límits.

1. b) Escriu l'equació de l'asímptota horitzontal de $S(t)$ quan $t\to+\infty$ i interpreta'n el significat en el context del problema.

Calcula el valor del límit de la funció racional següent en el punt $x = 1$. Tingues en compte que si obtens la forma $\frac{k}{0}$, hauràs d'estudiar els límits laterals per decidir si el límit és $+\infty$, $-\infty$ o no existeix:

Per calcular el límit a l'infinit $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{4x^2 + 3x - 1} - 2x \right)$, es proposen dues estratègies diferents a l'aula:

• Mètode A (drecera per terme dominant): «Dins del radical, quan $x \to +\infty$, el terme dominant és $4x^2$. Per tant, $\sqrt{4x^2 + 3x - 1} \approx \sqrt{4x^2} = 2x$. En restar $2x - 2x$, el límit és directament $0$».

• Mètode B (multiplicació pel conjugat): «Com que és una indeterminació $\infty - \infty$, l'aproximació directa oculta termes de primer ordre; s'ha de multiplicar i dividir l'expressió completa pel seu conjugat $(\sqrt{4x^2 + 3x - 1} + 2x)$ i després comparar graus».

1. a) Justifica per què el mètode A no és matemàticament vàlid i condueix a un resultat erroni en aquest cas concret.
2. b) Desenvolupa completament el mètode B justificant cada pas algebraic i calcula el valor real del límit.
3. c) A partir del resultat, determina raonadament si la gràfica de la funció $f(x) = \sqrt{4x^2 + 3x - 1}$ té una asímptota obliqua de la forma $y = 2x + n$ quan $x \to +\infty$, indicant el valor de l'ordenada a l'origen $n$.

Una entitat bancària a Espanya ofereix un dipòsit a un any amb un capital inicial de $5.000$ € a un interès nominal anual del $4\,\%$ ($r = 0,04$). Si els interessos es liquiden periòdicament $n$ vegades a l'any, el capital final acumulat ve donat per la fórmula de capitalització复合 $C(n) = 5.000 \cdot \left(1 + \dfrac{0,04}{n}\right)^n$.

1. a) Un client afirma: «Si dividim l'any en infinits períodes de liquidació ($n \to +\infty$), la fracció $\frac{0,04}{n}$ tendeix a $0$, amb la qual cosa la base es fa $1$. Atès que $1$ elevat a qualsevol nombre és $1$, al final obtindrem $5.000 \cdot 1 = 5.000$ € i perdrem tots els interessos acumulats». Rebat amb rigor matemàtic aquest raonament i identifica quina indeterminació apareix realment.
2. b) Calcula el límit $\lim_{n \to +\infty} C(n)$ aplicant el mètode del nombre $e$ per a la indeterminació $1^\infty$ ($e^L$, amb $L = \lim_{n \to +\infty} n \cdot (g(n) - 1)$).
3. c) Calcula el capital final amb liquidació mensual ($n = 12$) i compara'l amb el límit en capitalització contínua ($n \to +\infty$), arrodonint tots dos als cèntims d'euro. En vista de la diferència, valora si a l'estalviador li compensa exigir una liquidació contínua enfront d'una mensual.

Donada la funció racional $f(x) = \dfrac{x^3 + ax^2 + bx + 2}{x^2 - 1}$, determina els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$ sabent que existeix el límit finit de la funció quan $x$ tendeix a $1$ i que aquest límit val exactament $L = -2$. Un cop trobats els paràmetres, justifica raonadament si la funció presenta una asímptota vertical en $x = -1$.

Una cadena de gimnasos estima que el nombre de socis acumulat (en milers) segueix la funció $B(t) = \sqrt{4t^2 + 5t + 1} - (at + b)$, on $t$ és el temps en anys.

• a) Determina el valor de $a$ perquè, a llarg termini ($t \to \infty$), el nombre de socis no creixi de forma indefinida ni es faci negatiu (és a dir, que el límit sigui un valor real finit).

• b) Per al valor de $a$ trobat en l'apartat anterior, calcula el valor de $b$ necessari perquè el límit del nombre de socis quan el temps tendeix a infinit sigui exactament de $3$ mil.

Calcula el valor del límit següent que involucra una indeterminació del tipus $1^\infty$ en un context d'interès compost continu:

Posteriorment, explica què passaria amb el valor del límit si el grau de l'exponent fos $2$ en lloc de $1$.

Estudia el comportament a l'infinit de la funció següent, calculant els límits quan $x \to +\infty$ i quan $x \to -\infty$:

Presta especial atenció al canvi de signe en introduir o extreure factors de l'arrel quan la variable tendeix a menys infinit. Justifica si hi ha asímptotes horitzontals en tots dos sentits i, en cas afirmatiu, escriu-ne les equacions.

Donada la funció definida a trossos:

Calcula el valor que hauria de prendre el paràmetre $k$ perquè existeixi el límit de la funció en el punt $x = 0$. És possible assignar un valor a $g(0)$ perquè la funció sigui contínua en aquest punt? Justifica la teva resposta utilitzant el concepte de límits laterals i indeterminacions.

En l'anàlisi de la propagació d'una notícia en una xarxa social, s'utilitza la funció $P(t) = \dfrac{100}{1 + 20 \cdot e^{-0,5t}}$, on $P$ és el percentatge de la població que coneix la notícia i $t$ el temps en hores.

• a) Calcula $\lim_{t \to \infty} P(t)$ i interpreta el resultat en el context del problema.

• b) Si la velocitat de propagació ve donada per la derivada (que estudiarem més endavant, però suposem que et donen l'expressió simplificada del creixement relatiu), analitza què passa amb la diferència $100 - P(t)$ quan $t \to \infty$.

• c) Determina raonadament si la funció té cap asímptota vertical.

Calcula el límit de la següent expressió resolent la indeterminació $\infty - \infty$ mitjançant l'ús del conjugat:

Si el resultat del límit és $L = 4$, quin ha de ser el valor del paràmetre $a$? Compara aquest resultat amb el límit de la mateixa funció quan $x \to -\infty$.

Analitza la jerarquia dels infinits per resoldre el límit següent, meitat justificant cada pas segons l'ordre de creixement de les funcions implicades (exponencials, polinòmiques i logarítmiques):

Canviaria el resultat si la base de l'exponencial del denominador fos $e$ en lloc de $3$? Justifica la teva resposta basant-te en la comparació d'ordres de magnitud.

El departament d'analítica d'una plataforma de comerç electrònic modelitza el comportament de compra dels seus usuaris segons la funció racional $f(x) = \dfrac{a x^2 + b x + c}{x^2 - 5x + 6}$, on $x$ representa el temps de permanència al web (en minuts) i $a, b, c \in \mathbb{R}$ són paràmetres constants.

1. a) Dedueix raonadament el valor dels coeficients $a$, $b$ i $c$ sabent que es compleixen simultàniament les dues condicions següents:

1) Quan el temps de navegació es perllonga indefinidament ($x \to +\infty$), el valor de la funció s'estabilitza en un valor finit igual a $3$.

2) En l'instant crític $x = 2$, la funció genera una indeterminació del tipus $\left[\frac{0}{0}\right]$, però la plataforma no col·lapsa perquè existeix el límit finit $\lim_{x \to 2} f(x) = -1$.

1. b) Un cop determinats els paràmetres, estudia què passa en l'altre punt que anul·la el denominador ($x = 3$). Calcula els límits laterals $\lim_{x \to 3^-} f(x)$ i $\lim_{x \to 3^+} f(x)$, i interpreta la situació des del punt de vista de les asímptotes verticals de la funció.

L'Institut Nacional d'Estadística (INE) elabora projeccions demogràfiques a llarg termini per avaluar el risc de despoblació a dues comarques rurals de l'Espanya interior. Els models matemàtics projecten la població $P(t)$ (en milers d'habitants) en funció del temps transcorregut $t \ge 0$ (en dècades transcorregudes des de l'any 2024):

• Comarca A: $P_A(t) = \sqrt{9t^2 + 12t + 5} - 3t$

• Comarca B: $P_B(t) = 5 \cdot \left(\dfrac{t + 1}{t + 2}\right)^t$

1. a) Analitza la tendència a molt llarg termini ($t \to +\infty$) per a la Comarca A. Identifica la indeterminació inicial, resol-la justificant el procediment algebraic i calcula a quin nombre d'habitants tendeix a estabilitzar-se.
2. b) Analitza la tendència a molt llarg termini ($t \to +\infty$) per a la Comarca B. Identifica el tipus d'indeterminació, resol-la detalladament mitjançant la regla de la potència lligada al nombre $e$ i troba la població límit en habitants.
3. c) Tenint en compte que l'any 2024 ($t = 0$) la Comarca A comptava amb uns $2.236$ habitants ($P_A(0) = \sqrt{5}$) i la Comarca B amb $5.000$ habitants ($P_B(0) = 5$), calcula quin percentatge de la seva població original reté cada comarca a llarg termini i justifica quin dels dos territoris mostra un comportament demogràfic més resilient.