Cálculo de límites. Indeterminaciones
Calcular un límite en la EvAU es, casi siempre, aplicar un procedimiento fijo: sustituir, detectar si aparece una indeterminación y, según cuál sea, aplicar la técnica que la resuelve. Este apartado reúne las cuatro indeterminaciones que debes dominar con total seguridad.
Sustitución directa
Para funciones continuas en a, si al sustituir $x=a$ no aparece ninguna indeterminación, el límite es, sencillamente, $f(a)$.
Dada la gráfica de la función $f(x)$ que se muestra a continuación, determina de forma visual el valor de los siguientes límites: a) $\displaystyle \lim_{x \to -2} f(x)$…
Dada la gráfica de la función $f(x)$ que se muestra a continuación, determina de forma visual el valor de los siguientes límites:
- a) $\displaystyle \lim_{x \to -2} f(x)$
- b) $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)$
- c) $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x)$
Indeterminación $\frac00$ con polinomios: factorizar
Si $P(a)=0$ y $Q(a)=0$ en $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$, ambos polinomios comparten el factor $(x-a)$: factorizando (con Ruffini si es necesario) y simplificando, la indeterminación desaparece.
Para entender el concepto de límite, vamos a analizar el comportamiento de la función $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ cuando los valores de $x$ se acercan mucho a $2$,…
Para entender el concepto de límite, vamos a analizar el comportamiento de la función $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ cuando los valores de $x$ se acercan mucho a $2$, pero sin llegar a ser exactamente $2$.
Completa la siguiente tabla de valores utilizando tu calculadora y predice cuál será el valor del $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$:
| $x$ | $1,9$ | $1,99$ | $1,999$ | $2,001$ | $2,01$ | $2,1$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ |
Calcula los siguientes límites analizando el grado de los polinomios y las potencias de mayor orden (indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$): a)…
Calcula los siguientes límites analizando el grado de los polinomios y las potencias de mayor orden (indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$):
- a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - 5x + 1}{\sqrt{x^4 + 3x^2}}$
- b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 + 2}{x^2 + 10}$
Radicales: el conjugado resuelve $\frac00$ y $\infty-\infty$
Cuando una indeterminación va acompañada de una raíz, ni factorizar ni comparar grados funciona directamente: hay que multiplicar y dividir por el conjugado, que convierte la raíz en un cuadrado.
En el análisis de la propagación de una noticia en una red social, se utiliza la función $P(t) = \dfrac{100}{1 + 20 \cdot e^{-0,5t}}$, donde $P$ es el porcentaje de la…
En el análisis de la propagación de una noticia en una red social, se utiliza la función $P(t) = \dfrac{100}{1 + 20 \cdot e^{-0,5t}}$, donde $P$ es el porcentaje de la población que conoce la noticia y $t$ el tiempo en horas.
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a) Calcula $\lim_{t \to \infty} P(t)$ e interpreta el resultado en el contexto del problema.
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b) Si la velocidad de propagación viene dada por la derivada (que estudiaremos más adelante, pero supongamos que te dan la expresión simplificada del crecimiento relativo), analiza qué ocurre con la diferencia $100 - P(t)$ cuando $t \to \infty$.
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c) Determina razonadamente si la función tiene alguna asíntota vertical.
Indeterminación $\frac\infty\infty$: comparar grados
Cuando numerador y denominador tienden ambos a infinito, el resultado depende solo de comparar sus grados (si son polinomios) o, en general, de identificar qué término domina.
Determina el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que exista el límite de la función $f(x)$ en el punto $x = 1$, siendo la función: $$f(x) = \begin{cases}…
Determina el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que exista el límite de la función $f(x)$ en el punto $x = 1$, siendo la función:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - k}{x+2} & \text{si } x < 1 \\ 2x - 5 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$Para ese valor de $k$, ¿cuánto vale el límite?
Indeterminación $1^\infty$: el número $e$
Cuando la base de una potencia tiende a $1$ y el exponente tiende a infinito, no se puede sustituir directamente: el resultado se expresa con el número $e$.
Dada la función racional $f(x) = \dfrac{x^3 + ax^2 + bx + 2}{x^2 - 1}$, determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ sabiendo que existe el límite finito de…
Dada la función racional $f(x) = \dfrac{x^3 + ax^2 + bx + 2}{x^2 - 1}$, determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ sabiendo que existe el límite finito de la función cuando $x$ tiende a $1$ y que dicho límite vale exactamente $L = -2$. Una vez hallados los parámetros, justifica razonadamente si la función presenta una asíntota vertical en $x = -1$.