Media y desviación típica de la binomial
Ya sabes montar una $B(n,p)$ y calcular $P(X=k)$ con el número combinatorio. Pero casi nunca el examen pide ese cálculo exacto: pide el valor esperado de éxitos y cómo de "dispersos" pueden salir los resultados respecto a ese valor. Para eso están la media y la desviación típica de la binomial, que se calculan sin sumar nada.
Las fórmulas: $\mu=np$ y $\sigma=\sqrt{npq}$
Un estudio reciente sobre hábitos digitales indica que el $85\%$ de los adolescentes españoles de entre 15 y 16 años utiliza la autenticación de dos factores en sus…
Un estudio reciente sobre hábitos digitales indica que el $85\%$ de los adolescentes españoles de entre 15 y 16 años utiliza la autenticación de dos factores en sus cuentas de videojuegos. Si seleccionamos una muestra aleatoria de $20$ adolescentes:
- a) Identifica los parámetros $n$ y $p$ de la distribución binomial que modeliza esta situación.
- b) Calcula el número esperado (media) de adolescentes que utilizan este sistema de seguridad en la muestra.
Una plataforma de streaming* de música ha comprobado que la probabilidad de que un usuario "salte" una canción recomendada por el algoritmo antes de que termine es de…
Una plataforma de streaming de música ha comprobado que la probabilidad de que un usuario "salte" una canción recomendada por el algoritmo antes de que termine es de $0,3$. Si una tarde escuchas una lista de $12$ canciones recomendadas:
- a) Determina la media y la varianza del número de canciones que se espera que saltes.
- b) Calcula la desviación típica e interpreta qué información aporta sobre la dispersión de los datos en este contexto.
Interpretar $\mu$ y $\sigma$: regularidad y el intervalo típico
La media dice "cuánto se espera en promedio"; la desviación típica dice "cuánto se puede alejar de ese promedio sin sorprender a nadie". El intervalo $(\mu-\sigma,\ \mu+\sigma)$ recoge los resultados más habituales.
Se lanza un dado equilibrado de seis caras un total de $30$ veces y se anota el número de veces que sale el número "6". a) Define la variable aleatoria y su…
Se lanza un dado equilibrado de seis caras un total de $30$ veces y se anota el número de veces que sale el número "6".
- a) Define la variable aleatoria y su distribución.
- b) Calcula el valor esperado de la variable y su desviación típica. Redondea los resultados a dos decimales.
Dos jugadores de baloncesto, Alba y Bruno, practican tiros libres. Alba tiene una probabilidad de enceste de $0,8$ y realiza $50$ lanzamientos. Bruno tiene una…
Dos jugadores de baloncesto, Alba y Bruno, practican tiros libres. Alba tiene una probabilidad de enceste de $0,8$ y realiza $50$ lanzamientos. Bruno tiene una probabilidad de $0,6$ pero realiza $80$ lanzamientos.
- a) ¿Cuál de los dos jugadores tiene un mayor número esperado de encestes?
- b) ¿Cuál de los dos jugadores presenta una mayor dispersión (desviación típica) en sus resultados? Interpreta qué significa esto en términos de regularidad en el juego.
Se ha comprobado que el $40\%$ de los alumnos de un centro de idiomas se presentan al examen oficial de nivel B2. Si este año hay matriculados $100$ alumnos: a)…
Se ha comprobado que el $40\%$ de los alumnos de un centro de idiomas se presentan al examen oficial de nivel B2. Si este año hay matriculados $100$ alumnos:
- a) Determina los parámetros de la variable $X$ que define el número de alumnos que se presentan al examen.
- b) En las distribuciones binomiales, se considera que los valores más "típicos" o probables se encuentran en el intervalo $(\mu - \sigma, \mu + \sigma)$. Calcula este intervalo para este caso concreto.
El problema inverso: de la media o la varianza a $n$ y $p$
A veces el enunciado no da $n$ y $p$ directamente, sino la media o la varianza ya calculadas, y pide reconstruir los parámetros originales de la binomial.
En una conocida red social, se ha estimado que la probabilidad de que un usuario interaccione con una publicación de contenido cultural es $p = 0,18$. Si un "influencer"…
En una conocida red social, se ha estimado que la probabilidad de que un usuario interaccione con una publicación de contenido cultural es $p = 0,18$. Si un "influencer" lanza una campaña que llega a un grupo de $n = 150$ seguidores:
- a) Calcula el número esperado de seguidores que interaccionarán con la publicación y su desviación típica.
- b) Si el coste de la campaña es de $50$ € fijos más $2$ € por cada interacción prevista (basada en la media), ¿cuál es el presupuesto esperado para esta acción publicitaria?
Una variable aleatoria discreta sigue una distribución binomial $X \sim B(n, p)$. Se sabe que su media es $\mu = 12$ y su desviación típica es $\sigma = 3$. a) Determina…
Una variable aleatoria discreta sigue una distribución binomial $X \sim B(n, p)$. Se sabe que su media es $\mu = 12$ y su desviación típica es $\sigma = 3$.
- a) Determina los valores de los parámetros $n$ (número de ensayos) y $p$ (probabilidad de éxito).
- b) Justifica si esta distribución podría aproximarse mediante una distribución normal, basándote en los valores obtenidos.
En una encuesta sobre hábitos de lectura realizada a $60$ adolescentes, se sabe que el número esperado de lectores habituales de prensa digital es de $21$. a) Halla la…
En una encuesta sobre hábitos de lectura realizada a $60$ adolescentes, se sabe que el número esperado de lectores habituales de prensa digital es de $21$.
- a) Halla la probabilidad $p$ de que un adolescente elegido al azar sea lector habitual de prensa digital.
- b) Calcula la desviación típica de esta distribución.
- c) Si seleccionamos otra muestra donde el número de adolescentes se duplica ($n=120$), ¿cómo varía la desviación típica respecto a la muestra original? Justifica tu respuesta con el cálculo.
La dispersión máxima: ¿cuándo varía más una binomial?
Con $n$ fijo, $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$ no crece indefinidamente con $p$: depende de cómo se reparte $p\cdot(1-p)$.
En un estudio sobre el uso de transporte sostenible, se ha observado que la desviación típica del número de alumnos que acuden al instituto en patinete eléctrico en…
En un estudio sobre el uso de transporte sostenible, se ha observado que la desviación típica del número de alumnos que acuden al instituto en patinete eléctrico en grupos de $50$ personas es $\sigma = 3$.
- a) Encuentra los dos posibles valores de la probabilidad $p$ de que un alumno use patinete eléctrico.
- b) Si se sabe que el patinete es un transporte minoritario ($p < 0,5$), calcula la media de usuarios en una muestra de $100$ alumnos.
Sea $X$ una variable aleatoria que sigue una distribución binomial $B(n, p)$. Se sabe que su media es $\mu = 30$. a) ¿Cuál es el valor mínimo que puede tomar su…
Sea $X$ una variable aleatoria que sigue una distribución binomial $B(n, p)$. Se sabe que su media es $\mu = 30$.
- a) ¿Cuál es el valor mínimo que puede tomar su desviación típica? Justifica la respuesta razonando sobre los posibles valores de $p$.
- b) Si la desviación típica es $\sigma = 5$, calcula la probabilidad de obtener algún éxito en una muestra de solo $3$ individuos de esa misma población.