Exercicis: Mitjana i desviació típica de la BIN

Un estudi recent sobre hàbits digitals indica que el $85\%$ dels adolescents espanyols d'entre 15 i 16 anys utilitza l'autenticació de dos factors en els seus comptes de videojocs. Si seleccionem una mostra aleatòria de $20$ adolescents:

1. a) Identifica els paràmetres $n$ i $p$ de la distribució binomial que modelitza aquesta situació.
2. b) Calcula el nombre esperat (mitjana) d'adolescents que utilitzen aquest sistema de seguretat en la mostra.

Una plataforma de streaming de música ha comprovat que la probabilitat que un usuari "salti" una cançó recomanada per l'algorisme abans que acabi és de $0,3$. Si una tarda escoltes una llista de $12$ cançons recomanades:

1. a) Determina la mitjana i la variància del nombre de cançons que s'espera que saltis.
2. b) Calcula la desviació típica i interpreta quina informació aporta sobre la dispersió de les dades en aquest context.

En un centre de formació professional, el $40\%$ dels estudiants utilitza el transport públic per arribar a classe. Es pren una mostra de $50$ estudiants del centre de manera aleatòria. Calcula la mitjana i la desviació típica del nombre d'estudiants que utilitzen el transport públic en aquesta mostra.

Una jugadora de bàsquet professional té un percentatge d'encert en tirs lliures del $80\%$. Si en un entrenament fa una sèrie de $15$ llançaments:

1. a) Quin és el nombre mitjà de cistelles que s'espera que encistelli?
2. b) Calcula la desviació típica. Què passaria amb la desviació típica si la seva probabilitat d'encert fos del $50\%$? Comprova-ho amb el càlcul.

Considera una variable aleatòria discreta $X$ que segueix una distribució binomial $B(n, p)$. Si sabem que el nombre d'experiments és $n = 100$ i que la mitjana de la distribució és $\mu = 60$:

1. a) Troba el valor de la probabilitat d'èxit $p$.
2. b) Calcula la variància d'aquesta distribució.

En una fàbrica de components per a smartphones, es sap que el $2\%$ de les pantalles tàctils surten amb algun petit defecte estètic. Les pantalles s'envien a les botigues en caixes de $250$ unitats.

1. a) Calcula el nombre mitjà de pantalles defectuoses que trobarem en una caixa.
2. b) Calcula la desviació típica de la variable "nombre de pantalles defectuoses per caixa".

Es llança un dau equilibrat de sis cares un total de $30$ vegades i s'anota el nombre de vegades que surt el número "6".

1. a) Defineix la variable aleatòria i la seva distribució.
2. b) Calcula el valor esperat de la variable i la seva desviació típica. Arrodoneix els resultats a dos decimals.

Un examen tipus test consta de $10$ preguntes amb tres respostes possibles cadascuna, de les quals només una és correcta. Si un alumne respon totes les preguntes a l'atzar:

1. a) Quin valor té la mitjana d'encerts?
2. b) Si l'alumne necessita almenys $5$ encerts per aprovar, el valor de la mitjana està per sobre o per sota de l'aprovat? Justifica la teva resposta.

La Sofia està analitzant un lot de $n = 100$ declaracions de la renda seleccionades a l'atzar en una delegació d'Hisenda, on la probabilitat que una declaració contingui deduccions incorrectes és $p = 0{,}2$. Per resumir el comportament de la mostra, fa el càlcul següent a la seva llibreta:

«Mitjana de declaracions amb error: $\mu = 100 \cdot 0{,}2 = 20$.

Desviació típica: $\sigma = \sqrt{100 \cdot 0{,}2} = \sqrt{20} \approx 4{,}47$ declaracions».

1. a) Identifica l'error conceptual que ha comès la Sofia i explica per què el seu raonament és incorrecte.
2. b) Corregeix el càlcul i troba la vertadera desviació típica $\sigma$ de la distribució.
3. c) Determina l'interval de valors típics $(\mu - \sigma,\ \mu + \sigma)$ amb el valor correcte i interpreta el seu significat per a l'inspector de la delegació.

Segons dades de l'Instituto Nacional de Estadística (INE), el $30\,\%$ de les llars espanyoles resideix en règim de lloguer. Per a un estudi sociològic local, se selecciona una mostra aleatòria de $n = 80$ llars d'un municipi.

1. a) Defineix la variable aleatòria $X$ que compta el nombre de llars en règim de lloguer a la mostra i indica els paràmetres de la distribució binomial que la modelitza.
2. b) Calcula el nombre mitjà esperat de llars de lloguer i la desviació típica de la distribució.
3. c) Determina l'interval $(\mu - \sigma,\ \mu + \sigma)$ de resultats més probables. Si a la mostra triada es troben finalment $35$ llars de lloguer, es pot considerar un resultat atípic segons aquest interval? Raona la teva resposta.

En una coneguda xarxa social, s'ha estimat que la probabilitat que un usuari interaccioni amb una publicació de contingut cultural és $p = 0,18$. Si un "influencer" llança una campanya que arriba a un grup de $n = 150$ seguidors:

1. a) Calcula el nombre esperat de seguidors que interaccionaran amb la publicació i la seva desviació típica.

1. b) Si el cost de la campanya és de $50$ € fixos més $2$ € per cada interacció prevista (basada en la mitjana), quin és el pressupost esperat per a aquesta acció publicitària?

Una variable aleatòria discreta segueix una distribució binomial $X \sim B(n, p)$. Es sap que la seva mitjana és $\mu = 12$ i la seva desviació típica és $\sigma = 3$.

1. a) Determina els valors dels paràmetres $n$ (nombre d'assajos) i $p$ (probabilitat d'èxit).

1. b) Justifica si aquesta distribució es podria aproximar mitjançant una distribució normal, basant-te en els valors obtinguts.

Dos jugadors de bàsquet, l'Alba i en Bruno, practiquen tirs lliures. L'Alba té una probabilitat d'encert de $0,8$ i realitza $50$ llançaments. En Bruno té una probabilitat de $0,6$ però realitza $80$ llançaments.

1. a) Quin dels dos jugadors té un nombre esperat d'encerts més gran?

1. b) Quin dels dos jugadors presenta una dispersió més gran (desviació típica) en els seus resultats? Interpreta què significa això en termes de regularitat en el joc.

Una empresa de logística utilitza drons per al repartiment de paquets en nuclis urbans. La probabilitat que un dron pateixi un retard a causa de les condicions meteorològiques és del $5\%$. Si en una jornada es realitzen $200$ vols independents:

1. a) Calcula el valor de la mitjana i la variància del nombre de vols que arriben amb retard.

1. b) El protocol de manteniment s'activa si en una jornada el nombre de retards supera el valor de $\mu + 2\sigma$. Calcula aquest valor llindar.

En una enquesta sobre hàbits de lectura realitzada a $60$ adolescents, es sap que el nombre esperat de lectors habituals de premsa digital és de $21$.

1. a) Troba la probabilitat $p$ que un adolescent triat a l'atzar sigui lector habitual de premsa digital.

1. b) Calcula la desviació típica d'aquesta distribució.

1. c) Si seleccionem una altra mostra on el nombre d'adolescents es duplica ($n=120$), com varia la desviació típica respecte a la mostra original? Justifica la teva resposta amb el càlcul.

S'ha comprovat que el $40\%$ dels alumnes d'un centre d'idiomes es presenten a l'examen oficial de nivell B2. Si aquest any hi ha matriculats $100$ alumnes:

1. a) Determina els paràmetres de la variable $X$ que defineix el nombre d'alumnes que es presenten a l'examen.

1. b) En les distribucions binomials, es considera que els valors més "típics" o probables es troben en l'interval $(\mu - \sigma, \mu + \sigma)$. Calcula aquest interval per a aquest cas concret.

El departament de control de qualitat d'una fàbrica de bombetes LED sap que la probabilitat que una unitat sigui defectuosa és $p = 0,02$. Les bombetes s'empaqueten en caixes de $n$ unitats.

1. a) Si es desitja que el nombre mitjà de bombetes defectuoses per caixa sigui exactament $1,6$, quantes bombetes ha de contenir cada caixa?

1. b) Amb aquest valor de $n$, calcula la probabilitat que en una caixa no hi hagi cap bombeta defectuosa.

Sigui $X$ una variable aleatòria que segueix una distribució binomial. Si el nombre d'assajos és $n = 25$ i la variància és $Var(X) = 4$:

1. a) Calcula els dos possibles valors de la probabilitat d'èxit $p$.

1. b) Per a cada valor de $p$ trobat, calcula la seva corresponent mitjana $\mu$.

1. c) Si sabem que la distribució és asimètrica positiva (és a dir, l'èxit és menys probable que el fracàs), amb quin valor de $p$ et quedaries? Justifica la teva resposta.

En una fàbrica de components electrònics, la probabilitat que un microxip resulti defectuós a la línia de muntatge és $p = 0{,}4$. Es pren una mostra de control de qualitat de $n = 5$ microxips.

Per calcular la mitjana i la desviació típica del nombre de peces defectuoses a la mostra, dos analistes proposen mètodes diferents:

• Mètode A: Desenvolupar la taula de distribució de probabilitat calculant $P(X = k)$ per a cada $k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ mitjançant la fórmula de la binomial i aplicar després les fórmules generals de variables discretes: $\mu = \sum x_i \cdot P(X = x_i)$ i $\sigma = \sqrt{\sum x_i^2 \cdot P(X = x_i) - \mu^2}$.

• Mètode B: Aplicar directament les expressions $\mu = n \cdot p$ i $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$.

1. a) Aplica el Mètode B per calcular la mitjana i la desviació típica d'aquest lot.
2. b) Compara l'eficiència dels dos camins: condueixen exactament al mateix valor numèric? Justifica per què el Mètode B és preferible i explica quines dificultats operatives sorgirien amb el Mètode A si la mida de mostra fos $n = 150$.
3. c) Si s'ajusta la maquinària i la probabilitat de defecte baixa a $p = 0{,}1$ mantenint $n = 5$, raona (sense calcular l'arrel quadrada numèrica) si la dispersió $\sigma$ augmentarà o disminuirà respecte al cas anterior analitzant el producte $p \cdot q$.

Una consultora de transports audita la puntualitat de les línies d'autobús urbà en una capital espanyola. En l'informe executiu final, a causa d'una errada de maquetació, s'han esborrat els paràmetres originals $n$ i $p$ de la distribució binomial $B(n, p)$ del nombre d'autobusos que arriben amb retard per cada torn. Tanmateix, en el resum de conclusions encara es llegeixen dues dades estadístiques: la mitjana de retards és $\mu = 20$ autobusos i la desviació típica és $\sigma = 4$ autobusos.

1. a) Demostra algebraicament que, a partir del quocient $\frac{\sigma^2}{\mu}$, és possible deduir directament el valor de $q = 1 - p$ en qualsevol distribució binomial.
2. b) Utilitza aquesta relació per calcular la probabilitat $p$ que un autobús s'endarrereixi i el nombre total $n$ d'autobusos revisats per torn en l'auditoria.
3. c) Suposa que l'informe únicament hagués indicat que $\sigma = 4$ i que la mida de mostra era $n = 100$. Escriu l'equació que permet aïllar $p$, troba les seves dues solucions possibles i explica per què hi ha dos valors diferents de $p$ que produeixen exactament la mateixa desviació típica.

Un creador de contingut en una xarxa social sap que la probabilitat que un usuari nou es subscrigui al seu canal després de veure un "short" és de $p = 0,12$. L'algorisme l'informa que, en la seva última campanya, la mitjana de nous subscriptors va ser de $18$ persones.

1. a) Determina la mida de la mostra $n$ (nombre de visualitzacions) que ha analitzat l'algorisme.
2. b) Calcula la desviació típica d'aquesta distribució.
3. c) Quina és la probabilitat que el nombre de subscriptors sigui exactament igual a la mitjana?

Una empresa de logística utilitza drons per al repartiment de paquets en ciutats intel·ligents. Es sap que la variable $X$ que defineix el nombre de lliuraments fallits en un lot de $n$ enviaments segueix una distribució binomial. Després d'un estudi intern, s'ha comprovat que la mitjana de fallades és de $4$ i la variància és de $3,2$.

1. a) Calcula els paràmetres $n$ i $p$ de la distribució.
2. b) Si es realitza un enviament individual, quina és la probabilitat que el lliurament sigui d'èxit?
3. c) Quina és la probabilitat que en un lot de $n$ enviaments no en falli cap?

Un analista de ciberseguretat està estudiant atacs de phishing. La probabilitat que un empleat faci clic en un enllaç maliciós és de $0,005$. L'analista vol enviar una campanya de prova a un grup d'empleats de mida $n$.

Calcula el nombre mínim d'empleats als quals s'ha d'enviar el correu perquè la probabilitat que almenys un d'ells faci clic en l'enllaç sigui superior al $90\%$.

En un estudi sobre l'ús de transport sostenible, s'ha observat que el nombre d'alumnes que van a l'institut amb patinet elèctric, en grups de $50$ persones, segueix una distribució binomial $B(50,\,p)$, on $p$ és la probabilitat que un alumne faci servir patinet elèctric. La desviació típica d'aquest nombre d'usuaris és $\sigma = 3$.

La figura mostra com varia la desviació típica $\sigma=\sqrt{50\,p\,(1-p)}$ en funció de $p$ i la recta $\sigma = 3$.

1. a) Troba els dos possibles valors de la probabilitat $p$ que un alumne faci servir patinet elèctric.

1. b) Si se sap que el patinet és un transport minoritari ($p < 0,5$), calcula la mitjana d'usuaris en una mostra de $100$ alumnes.

Un videojoc d'estratègia té una probabilitat $p$ d'obtenir un "objecte llegendari" en obrir un cofre. Un jugador obre $200$ cofres i observa que la desviació típica de la seva recompensa és el doble que si la probabilitat d'èxit fos de $0,01$.

1. a) Planteja una equació per trobar el valor de $p$.
2. b) Determina la mitjana d'objectes llegendaris esperada en els $200$ cofres amb aquesta $p$.

Es llança una moneda trucada $n$ vegades. Se sap que la probabilitat d'obtenir cara és $p$. Si la mitjana de cares obtingudes és $15$ i la desviació típica és $\sqrt{10}$, calcula:

1. a) La probabilitat $p$ d'obtenir cara.

1. b) El nombre de llançaments $n$ realitzats.

1. c) La probabilitat d'obtenir exactament $2$ cares en només $5$ llançaments.

En un control de qualitat d'una fàbrica de bombetes LED, s'analitza el nombre d'unitats defectuoses en caixes d'una mida determinada. La variància de bombetes defectuoses per caixa és de $3,75$ i es sap que la probabilitat que una bombeta sigui defectuosa és del $5\%$.

1. a) Quantes bombetes conté cada caixa?
2. b) Si el fabricant vol reduir la desviació típica a la meitat, com hauria de canviar el nombre de bombetes per caixa mantenint la mateixa qualitat de fabricació ($p$)?

Sigui $X$ una variable aleatòria que segueix una distribució binomial $B(n, p)$. Es sap que la seva mitjana és $\mu = 30$.

1. a) Quin és el valor mínim que pot prendre la seva desviació típica? Justifica la resposta raonant sobre els possibles valors de $p$.
2. b) Si la desviació típica és $\sigma = 5$, calcula la probabilitat d'obtenir algun èxit en una mostra de només $3$ individus d'aquesta mateixa població.

Tres instituts d'investigació demogràfica analitzen l'acceptació de tres mesures socials a Espanya utilitzant mostres independents de la mateixa mida, $n = 400$ persones cadascuna:

• Mesura 1: compta amb una proporció estimada de partidaris de $p_1 = 0{,}10$ (molt minoritària).

• Mesura 2: compta amb una proporció estimada de partidaris de $p_2 = 0{,}48$ (molt dividida).

• Mesura 3: compta amb una proporció estimada de partidaris de $p_3 = 0{,}85$ (àmpliament consensuada).

1. a) Estima abans de calcular: Sense fer operacions numèriques, prediu i ordena raonadament les tres mesures de menor a major dispersió (desviació típica $\sigma$) en el recompte de persones a favor. Justifica la teva predicció analitzant les propietats del producte $p \cdot (1 - p)$ i la seva simetria.
2. b) Calcula: Obtén el valor exacte de la desviació típica $\sigma$ per a cadascuna de les tres distribucions.
3. c) Comprova i valora: Contrasta els resultats amb la teva predicció inicial. A continuació, calcula el valor teòric màxim que podria assolir $\sigma$ per a qualsevol mostra de $n = 400$ i dedueix per a quin valor de $p$ s'assoliria. Per què una votació molt renyida ($p \approx 0{,}5$) presenta més variabilitat d'una mostra a una altra que una votació gairebé unànime?

Una plataforma de comerç electrònic analitza les reclamacions per paquets danyats durant els enviaments a la península. El nombre diari de paquets danyats segueix un model binomial $B(n, p)$. La direcció logística exigeix que el coeficient de variació de la distribució, definit com la raó entre la dispersió i la mitjana ($CV = \frac{\sigma}{\mu}$), no superi el $5\,\%$ ($0{,}05$) per considerar que el procés diari és estadísticament regular i predictible. Per registres històrics se sap que la probabilitat que un paquet resulti danyat és $p = 0{,}02$.

1. a) Obtén una expressió simplificada del coeficient de variació $CV$ en funció exclusiva de $n$ i $p$.
2. b) Determina el nombre mínim d'enviaments diaris $n$ que ha de gestionar la plataforma per complir el criteri de regularitat ($CV \le 0{,}05$). Amb aquest valor mínim de $n$, calcula la mitjana i la desviació típica de paquets danyats al dia.
3. c) Suposa que durant un període de rebaixes es gestiona un volum fix de $n = 3600$ paquets al dia, però les condicions de transport empitjoren i la taxa $p$ pot variar entre $0{,}02$ i $0{,}50$. Per a quin valor de $p$ assoliria el nombre d'incidències la seva desviació típica més gran? Quin seria aquest valor de $\sigma_{\max}$? Explica raonadament quin impacte operatiu té una $\sigma$ gran sobre la planificació del personal d'atenció al client.

Repte del tema. Com impacta el mercat laboral en els joves del teu entorn? Elaboraràs un informe quantitatiu per a una proposta municipal d'ocupació utilitzant dades oficials de l'INE.

1. Dades i model: Entra al web de l'INE (EPA) i consulta la taxa de desocupació juvenil de la teva comunitat autònoma per fixar la probabilitat $p$ en tant per u (per exemple, $p = 0,28$). Defineix la variable $X$: «nombre de joves a l'atur en una mostra aleatòria de $n = 8$ joves», modelitzant-la com a $X \sim B(8, p)$.

2. Càlcul i paràmetres: Justifica a mà el càlcul de $P(X = 2)$ aplicant nombres combinatoris: $\binom{8}{2} \cdot p^2 \cdot (1-p)^6$. Després, calcula els paràmetres estadístics de la distribució: la mitjana $\mu = n \cdot p$ i la desviació típica $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$.

3. Producte final: Utilitza GeoGebra o un full de càlcul per generar el diagrama de barres de la distribució. Redacta un informe breu (una pàgina) interpretant $\mu$ i $\sigma$ en el context real i plantejant dues mesures d'orientació laboral basades en els resultats.

Es valorarà:

• Rigor en l'obtenció de la dada real de l'INE i en la definició del model binomial.

• Correcció en el desenvolupament manual amb nombres combinatoris i el càlcul de $\mu$ i $\sigma$.

• Qualitat del gràfic digital i coherència en la interpretació socioeconòmica de l'informe.