Exercicis: Intervals de creixement i decreixement

El gràfic següent representa l'evolució del nombre d'espectadors (en milers) d'una sèrie d'estrena en una plataforma de streaming durant les seves primeres 8 setmanes. Identifica visualment els intervals de temps en què l'audiència ha anat creixent i aquells en què ha disminuït.

Basant-te en la relació entre la derivada i el creixement, quin signe creus que tindria la derivada d'aquesta funció en l'interval que va des de l'inici fins al punt $A$ (setmana 3)?

Una petita empresa de disseny de fundes per a mòbils ha determinat que els seus beneficis diaris, en euros, venen donats per la funció $B(x) = -x^2 + 12x - 20$, on $x$ és el nombre de fundes venudes al dia.

Calcula la funció derivada $B'(x)$ i estudia per a quins valors de $x$ la funció és creixent i per a quins és decreixent. A partir de quantes fundes venudes el benefici comença a disminuir?

Donada la funció polinòmica $f(x) = x^3 - 3x + 5$, fes els passos següents per estudiar la seva monotonia:

1. Troba la funció derivada $f'(x)$.

2. Determina els punts on la derivada és igual a zero (punts crítics).

3. Situa aquests punts a la recta real i analitza el signe de $f'(x)$ en cada interval per indicar on la funció és creixent i on és decreixent.

El departament d'urbanisme d'una ciutat estudia el nivell de soroll, $N(t)$ en decibels, en un carrer cèntric des de les 8:00 ($t=0$) fins a les 12:00 ($t=4$), segons la funció:

$N(t) = t^2 - 4t + 70$

Utilitza la primera derivada per justificar si el soroll augmenta o disminueix a les 9:00 ($t=1$) i a les 11:00 ($t=3$). En quin moment exacte el soroll deixa de baixar per començar a pujar?

La gràfica mostrada a continuació NO és la funció $f(x)$, sinó la gràfica de la seva derivada $f'(x)$. Observant-la amb atenció, indica raonadament els intervals de creixement i decreixement de la funció original $f(x)$.

Recorda: El creixement de $f(x)$ depèn del signe de $f'(x)$.

Estudia els intervals de creixement i decreixement de la funció constant $f(x) = 7$.

1. Calcula la seva derivada.

2. Basant-te en el resultat, pots dir que la funció creix o decreix en algun punt? Justifica la teva resposta relacionant-la amb el pendent de la recta tangent.

Un grup d'alumnes de 2n de Batxillerat analitza la quantitat de matèria que recorden d'un examen d'Història amb el pas dels dies. La funció que modela la matèria recordada és $M(d) = \frac{100}{d+1}$, on $d \ge 0$ són els dies transcorreguts després de l'examen.

Calcula la derivada $M'(d)$ i demostra, mitjançant el seu signe, que la funció és decreixent per a qualsevol valor de $d$. Té sentit aquest resultat en el context real?

Donada la funció $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 1$, completa la taula de signes següent per a la derivada i determina els intervals de creixement i decreixement.

Indica quin és el valor del pendent de la recta tangent en el punt $x = 4$.

La Lucía ha d'estudiar el creixement i decreixement de la funció racional $f(x) = \frac{2x-1}{x-2}$. Després de derivar correctament, obté $f'(x) = \frac{-3}{(x-2)^2}$. Com que l'equació $f'(x) = 0$ no té solució real, la Lucía conclou en el seu examen: «Com que la derivada mai no val zero i el seu numerador és sempre negatiu mentre que el denominador és sempre positiu, la funció no té trams diferents de monotonia i és estrictament decreixent a tot $\mathbb{R}$».

1. a) Identifica l'error conceptual que comet la Lucía en determinar els trams de monotonia i explica per què la seva afirmació sobre tot $\mathbb{R}$ és falsa.
2. b) Corregeix la seva resolució: indica el domini de la funció, divideix adequadament la recta real i escriu els intervals de decreixement correctes.
3. c) Si la funció decreix en cadascun dels seus trams, com expliques que $f(1) = -1$ sigui menor que $f(3) = 5$? Justifica per què això no contradiu el decreixement de la funció en els seus intervals.

Una parada d'orxata artesanal a València obre les portes a la tarda, entre les 11:00 i les 20:00 hores ($t \in [11, 20]$). El nombre de clients atesos per hora es modelitza mitjançant la funció quadràtica $C(t) = -t^2 + 32t - 216$.

1. a) Sense calcular encara la derivada, estima de manera raonada en quin moment aproximat de la jornada (començament, meitat o final) esperaries que l'afluència de clients estigui augmentant i quan disminuint, tenint en compte la forma de la paràbola.
2. b) Calcula la funció derivada $C'(t)$, determina el punt crític i troba formalment els intervals de creixement i decreixement dins del domini $[11, 20]$.
3. c) Compara el resultat analític amb la teva estimació inicial i valora si el comportament del model matemàtic resulta coherent amb el ritme habitual d'afluència a un comerç al llarg de la tarda.

Una empresa que desenvolupa aplicacions per a mòbils ha comprovat que els seus beneficis mensuals, en milers d'euros, segueixen la funció $B(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 7x + 20$, on $x$ representa el temps en mesos des del llançament de la seva última actualització ($0 \le x \le 12$). Determina els intervals de temps en què els beneficis de l'empresa estan creixent i aquells en què estan disminuint.

El cost mitjà de fabricació d'una sèrie limitada de dessuadores de disseny ve donat per la funció $C(x) = \frac{x^2 + 25}{x}$, on $x$ és el nombre de dessuadores produïdes en centenars d'unitats i $C(x)$ és el cost en euros per unitat. Sabent que la producció ha d'estar compresa entre 100 i 1000 dessuadores ($1 \le x \le 10$), estudia els intervals de creixement i decreixement del cost mitjà per ajudar el dissenyador a decidir quantes dessuadores produir.

Un streamer està analitzant l'evolució dels seus espectadors en directe durant una retransmissió de 6 hores. La funció que modela el nombre d'espectadors (en milers) és $E(t) = -t^3 + 9t^2 - 15t + 10$, on $t$ és el temps transcorregut en hores ($0 \le t \le 6$). Calcula en quins períodes de la retransmissió el nombre d'espectadors està augmentant i en quins està disminuint.

A continuació tens la gràfica de la funció derivada $f'(x)$ d'una funció $f(x)$ contínua a tot $\mathbb{R}$. La gràfica de $f'(x)$ és una paràbola que talla l'eix $X$ en $x=-2$ i en $x=3$.

Identifica els intervals de creixement i decreixement de la funció original $f(x)$. Justifica la teva resposta basant-te en la relació entre el signe de la derivada i la monotonia de la funció.

La quantitat de monòxid de carboni dissolt a l'aire a prop d'una zona industrial després d'implementar un nou filtre es mesura mitjançant la funció $G(t) = t^2 - 12\ln(t+1)$, on $t$ és el temps en dies ($0 \le t \le 10$). Determina els intervals de temps en què la contaminació està baixant i quan comença a pujar de nou.

Es vol modelar la difusió d'un nou repte viral en una xarxa social. La funció que descriu el nombre de persones que coneixen el repte en funció del temps $t$ (en dies) és $P(t) = \frac{100t}{t^2 + 9}$. Analitza la monotonia d'aquesta funció per a valors de $t \ge 0$ i explica què passa amb el creixement del repte a llarg termini.

Troba el valor del paràmetre $a$ perquè la funció $f(x) = x^3 + ax^2 + 24x + 1$ sigui sempre creixent en tot el seu domini. Per al valor de $a = 9$, determina específicament els intervals de creixement i decreixement de la funció resultant.

Un dron de vigilància forestal segueix una trajectòria l'altura de la qual en metres respecte al nivell del terra ve donada per $H(t) = t \cdot e^{-0,2t}$, on $t$ és el temps de vol en minuts ($0 \le t \le 20$). La figura mostra la gràfica de $H(t)$. Estudia, mitjançant la derivada, els intervals de temps en què el dron està guanyant altura i quan comença a descendir.

El departament financer d'una empresa de transports analitza el cost operatiu mitjà per trajecte en funció de la càrrega $x$ (en tones), mitjançant la funció $R(x) = \frac{x^2 + k}{x - 1}$, definida per a $x \neq 1$.

1. a) Determina raonadament el valor del paràmetre real $k$ perquè la funció sigui estrictament creixent a $(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$ i estrictament decreixent a $(-1, 1) \cup (1, 3)$.
2. b) Un analista de l'equip afirma: «Per garantir aquests intervals de monotonia, n'hi ha prou amb exigir que la derivada s'anul·li a $x = -1$». Justifica analíticament que aquesta condició és necessària i estudia si, en aquesta família de funcions, també és suficient.
3. c) Analitza si existeix algun valor del paràmetre $k$ per al qual la funció no tingui cap interval de decreixement en tot el seu domini. Justifica la teva resposta estudiant el signe del numerador de $R'(x)$.

Per estudiar els intervals de creixement i decreixement de la funció $f(x) = \frac{e^x}{x+2}$, dos estudiants proposen estratègies diferents després d'obtenir la derivada $f'(x) = \frac{e^x(x+1)}{(x+2)^2}$:

• En Mateo proposa substituir valors numèrics de prova a la derivada (com ara $x = -3$, $x = -1,5$ i $x = 0$) per deduir el signe de $f'$ a cada zona mitjançant la calculadora.

• La Sara proposa estudiar el signe analitzant algebraicament cada factor de $f'(x)$: sosté que, dins del domini, tant $e^x$ com $(x+2)^2$ són estrictament positius per a tot $x$, de manera que el signe de $f'(x)$ depèn exclusivament del factor $(x+1)$.

1. a) Compara els dos mètodes: valora la rapidesa, la precisió matemàtica i els riscos de cometre errors associats a cadascun.
2. b) Aplica el mètode de la Sara per obtenir de manera rigorosa els punts que divideixen la recta real i els intervals de creixement i decreixement de $f$.
3. c) Explica quin error greu hauria comès en Mateo si, per descuit, només hagués considerat com a punt de separació el valor on $f'(x) = 0$ i hagués omès la discontinuïtat a $x = -2$.

Es considera la funció racional $f(x) = \frac{x^2 + ax}{x - 4}$, on $a$ és un paràmetre real.

1. a) Determina el valor de $a$ perquè la funció tingui un punt crític en $x = 2$.
2. b) Per al valor de $a$ trobat anteriorment, estudia els intervals de creixement i decreixement de la funció, tenint en compte el seu domini.
3. c) Existeix algun valor de $a$ per al qual la funció sigui sempre creixent en els intervals $(-\infty, 4)$ i $(4, +\infty)$? Justifica la teva resposta analíticament.

La gràfica adjunta mostra la funció derivada $f'(x)$ d'una funció contínua $f(x)$ definida en tot $\mathbb{R}$. A partir de l'observació de la gràfica de $f'(x)$, respon raonadament:

1. a) Determina els intervals de creixement i decreixement de la funció original $f(x)$.
2. b) Identifica les abscisses dels màxims i mínims relatius de $f(x)$.
3. c) Si sabem que $f(0) = 0$, realitza un esborrany de la gràfica de la funció original $f(x)$ parant especial atenció a la seva monotonia.

Un analista financer ha determinat que el benefici net d'una empresa tecnològica (en milions d'euros) segueix la funció $B(t) = (t^2 - 8t + 15) \cdot e^{0,5t}$, on $t$ representa el temps en anys des de la seva fundació ($0 \le t \le 10$).

1. a) Calcula la funció de benefici marginal, $B'(t)$.
2. b) Estudia els intervals de temps en què el benefici de l'empresa està augmentant i aquells en què està disminuint.
3. c) En quin any exacte l'empresa passa de tenir pèrdues creixents a tenir pèrdues decreixents? Interpreta el resultat basant-te en la monotonia.

Donada la funció $f(x) = \ln(x^2 - kx + 9)$, estudia la seva monotonia en funció dels valors del paràmetre $k$. En particular:

1. a) Determina el domini de la funció per a $k = 0$ i estudia els seus intervals de creixement i decreixement.
2. b) Troba els valors de $k$ per als quals la funció té un únic punt crític.
3. c) Si $k = 10$, explica per què no té sentit estudiar el creixement en tot l'eix real $\mathbb{R}$.

Sigui la funció definida a trossos:

1. a) Troba els valors de $a$ i $b$ perquè la funció sigui derivable en $x = 0$.
2. b) Per als valors obtinguts, determina els intervals de creixement i decreixement de la funció en tot el seu domini.
3. c) Determina si existeix algun punt en què la funció canviï de creixement a decreixement sense ser un punt on la derivada s'anul·li.

El nombre d'usuaris actius en una nova xarxa social (en milers) evoluciona segons la funció $N(t) = \frac{100t}{t^2 + 2t + 1}$, on $t \ge 0$ és el temps en mesos.

1. a) Analitza el ritme de creixement de la xarxa social durant el primer any. En quin moment exacte el nombre d'usuaris deixa de créixer?

1. b) Demostra que, a partir d'un cert mes, la xarxa social entrarà en un declivi irreversible pel que fa al nombre d'usuaris. Indica a partir de quin mes passa això.

1. c) Com es comporta la monotonia de la funció quan $t$ tendeix a infinit? Relaciona aquest fet amb l'existència d'una asímptota horitzontal.

Considera la funció $f(x) = x^2 \cdot \ln(x)$.

1. a) Determina el seu domini i estudia el signe de la funció.
2. b) Calcula els intervals de creixement i decreixement. Tingues especial cura amb el comportament de la funció a prop de $x = 0$.
3. c) Determina l'equació de la recta tangent a la corba en el punt on la funció canvia de decreixent a creixent.

Una empresa d'energia renovable estima que el cost marginal de produir $x$ megavats-hora ve donat per la funció $C'(x) = \frac{x-5}{\sqrt{x^2+11}}$.

1. a) Sense necessitat de calcular la funció de cost total $C(x)$, explica en quins intervals de producció el cost total és una funció creixent i en quins és decreixent.
2. b) Per a quina quantitat de producció s'assoleix el cost mínim? Justifica la teva resposta utilitzant l'estudi de la monotonia de la funció de cost.
3. c) Si l'empresa decideix que només és rendible produir en l'interval on el cost és creixent, quina és la producció mínima que s'ha de plantejar?

Una entitat financera espanyola comercialitza un producte d'estalvi la rendibilitat anualitzada efectiva del qual $R(t)$ (expressada en tant per cent) depèn del temps de permanència $t$ (mesurat en anys, amb $t > 0$), seguint el model:

$R(t) = \frac{2 + \ln(t)}{t}$.

1. a) Determina el domini de validesa matemàtica de la funció i explica la raó per la qual el context financer real impedeix avaluar la rendibilitat a $t = 0$.
2. b) Calcula la derivada $R'(t)$, determina els seus punts crítics i dedueix els intervals de creixement i decreixement de la rendibilitat, justificant el signe de la derivada a cada tram. Expressa els extrems dels intervals tant en valor exacte com amb una aproximació a dues xifres decimals.
3. c) Aconsella un inversor justificant les teves respostes: durant quin període de temps li convé mantenir els diners si desitja que la seva taxa anualitzada continuï augmentant? Si un client deixa els fons dipositats a molt llarg termini ($t \to +\infty$), cap a quin valor tendeix la rendibilitat?

Es considera la família de funcions $f(x) = (x^2 + ax + b)e^{-x}$, on $a$ i $b$ són paràmetres reals.

1. a) Troba els valors d'$a$ i $b$ sabent que la funció presenta punts crítics a $x = 0$ i a $x = 3$.
2. b) Per als valors d'$a$ i $b$ trobats a l'apartat anterior, determina detalladament els intervals de creixement i decreixement de $f$. Justifica el signe de $f'(x)$ a cada tram basant-te en el signe del polinomi resultant i les propietats de la funció exponencial.
3. c) Mantenint fix el valor d'$a$ obtingut a l'apartat a), investiga si és possible triar el paràmetre $b$ de manera que la funció sigui monòtona decreixent a tot $\mathbb{R}$. Si és possible, determina per a quins valors de $b$ passa analitzant el discriminant de l'equació associada a la derivada; si no ho és, demostra la seva impossibilitat.