Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Dada la función polinómica $f(x) = x^3 - 3x + 5$, realiza los siguientes pasos para estudiar su monotonía:

1. Halla la función derivada $f'(x)$.

2. Determina los puntos donde la derivada es igual a cero (puntos críticos).

3. Sitúa esos puntos en la recta real y analiza el signo de $f'(x)$ en cada intervalo para indicar dónde la función es creciente y dónde es decreciente.

El departamento de urbanismo de una ciudad estudia el nivel de ruido, $N(t)$ en decibelios, en una calle céntrica desde las 8:00 ($t=0$) hasta las 12:00 ($t=4$), según la función:

$N(t) = t^2 - 4t + 70$

Utiliza la primera derivada para justificar si el ruido aumenta o disminuye a las 9:00 ($t=1$) y a las 11:00 ($t=3$). ¿En qué momento exacto el ruido deja de descender para empezar a subir?

Una pequeña empresa de diseño de fundas para móviles ha determinado que sus beneficios diarios, en euros, vienen dados por la función $B(x) = -x^2 + 12x - 20$, donde $x$ es el número de fundas vendidas al día.

Calcula la función derivada $B'(x)$ y estudia para qué valores de $x$ la función es creciente y para cuáles es decreciente. ¿A partir de cuántas fundas vendidas el beneficio empieza a disminuir?

Una empresa que desarrolla aplicaciones para móviles ha comprobado que sus beneficios mensuales, en miles de euros, siguen la función $B(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 7x + 20$, donde $x$ representa el tiempo en meses desde el lanzamiento de su última actualización ($0 \le x \le 12$). Determina los intervalos de tiempo en los que los beneficios de la empresa están creciendo y aquellos en los que están disminuyendo.

Se considera la función racional $f(x) = \frac{x^2 + ax}{x - 4}$, donde $a$ es un parámetro real.

1. a) Determina el valor de $a$ para que la función tenga un punto crítico en $x = 2$.
2. b) Para el valor de $a$ hallado anteriormente, estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, teniendo en cuenta su dominio.
3. c) ¿Existe algún valor de $a$ para el cual la función sea siempre creciente en los intervalos $(-\infty, 4)$ y $(4, +\infty)$? Justifica tu respuesta analíticamente.

Un analista financiero ha determinado que el beneficio neto de una empresa tecnológica (en millones de euros) sigue la función $B(t) = (t^2 - 8t + 15) \cdot e^{0,5t}$, donde $t$ representa el tiempo en años desde su fundación ($0 \le t \le 10$).

1. a) Calcula la función de beneficio marginal, $B'(t)$.
2. b) Estudia los intervalos de tiempo en los que el beneficio de la empresa está aumentando y aquellos en los que está disminuyendo.
3. c) ¿En qué año exacto la empresa pasa de tener pérdidas crecientes a empezar a recuperar su inversión? Interpreta el resultado basándote en la monotonía.

Dada la función $f(x) = \ln(x^2 - kx + 9)$, estudia su monotonía en función de los valores del parámetro $k$. En particular:

1. a) Determina el dominio de la función para $k = 0$ y estudia sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
2. b) Halla los valores de $k$ para los que la función tiene un único punto crítico.
3. c) Si $k = 10$, explica por qué no tiene sentido estudiar el crecimiento en todo el eje real $\mathbb{R}$.