Combinaciones lineales y bases
En el centro de Chicago puedes dar indicaciones así: "ve 3 cuadras al este y 5 cuadras al norte". En realidad estás diciendo que llegas al lugar dando 3 pasos del vector $(1, 0)$ y 5 pasos del vector $(0, 1)$. Esos dos vectores forman una base. Pero no son la única opción: ¿y si una avenida diagonal cruza la cuadrícula y quieres dar las indicaciones usando esa avenida y una calle transversal? En esta página aprenderás cuándo un par de vectores puede describir todo el plano y cómo pasar de una descripción a otra.
Muchos libros escriben los vectores como $\langle 2, -3 \rangle$. En esta página los escribimos como $(2, -3)$, igual que en los ejercicios.
Combinaciones lineales
Ya conoces las dos operaciones básicas con vectores: multiplicar por un escalar y sumar. Una combinación lineal usa las dos a la vez.
Geométricamente, $a\vec u$ estira (o invierte) $\vec u$, $b\vec v$ hace lo mismo con $\vec v$, y la regla del paralelogramo los suma punta con cola.
Con frecuencia las incógnitas son los escalares. Entonces igualas las componentes.
Cuando un vector está dibujado en una cuadrícula, lee sus componentes como el desplazamiento horizontal (run) y el desplazamiento vertical (rise). Las componentes no dependen del punto donde empieza el vector.
Este vector es $(3, 2)$. Multiplicar y combinar vectores dibujados funciona igual: lee las componentes y luego calcula.
Calcule las coordenadas del vector resultante de la combinación lineal $3\vec{a} - 2\vec{b}$, sabiendo que $\vec{a} = (1, 4)$ y $\vec{b} = (-2, 5)$.
Calcule las coordenadas del vector resultante de la combinación lineal $3\vec{a} - 2\vec{b}$, sabiendo que $\vec{a} = (1, 4)$ y $\vec{b} = (-2, 5)$.
Sabiendo que $\vec{w} = 2\vec{u} + k\vec{v}$, con $\vec{u} = (1, -1)$, $\vec{v} = (0, 3)$ y $\vec{w} = (2, 7)$, halle el valor del escalar $k$.
Sabiendo que $\vec{w} = 2\vec{u} + k\vec{v}$, con $\vec{u} = (1, -1)$, $\vec{v} = (0, 3)$ y $\vec{w} = (2, 7)$, halle el valor del escalar $k$.
En el plano adjunto se muestran los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$. Determine las coordenadas en la base canónica del vector resultante $\vec{z} = 2\vec{u} - \vec{v}$.
En el plano adjunto se muestran los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$. Determine las coordenadas en la base canónica del vector resultante $\vec{z} = 2\vec{u} - \vec{v}$.
Dependencia e independencia lineal
El ejemplo de Maya muestra qué puede salir mal: si un vector es simplemente un múltiplo del otro, el segundo no aporta nada nuevo.
Por qué funciona la prueba. Si $\vec v = k\vec u$, entonces $u_1 v_2 - u_2 v_1 = u_1(ku_2) - u_2(ku_1) = 0$. Cuando las componentes son proporcionales, los "productos cruzados" se cancelan. (La expresión $u_1 v_2 - u_2 v_1$ es el determinante $2 \times 2$ de los dos vectores).
Muchos problemas esconden una incógnita en un vector y preguntan cuándo los vectores son dependientes. Iguala la expresión a $0$.
Si el parámetro aparece en varias componentes, la ecuación puede volverse cuadrática. Entonces obtienes hasta dos valores, y cada uno es una respuesta válida.
Dados los vectores $\vec{u} = (2, -3)$ y $\vec{v} = (-4, 6)$, justifique matemáticamente si pueden formar una base del espacio vectorial $\mathbb{R}^2$.
Dados los vectores $\vec{u} = (2, -3)$ y $\vec{v} = (-4, 6)$, justifique matemáticamente si pueden formar una base del espacio vectorial $\mathbb{R}^2$.
Determine el valor del parámetro $m$ para que los vectores $\vec{p} = (m, 4)$ y $\vec{q} = (3, -2)$ sean linealmente dependientes.
Determine el valor del parámetro $m$ para que los vectores $\vec{p} = (m, 4)$ y $\vec{q} = (3, -2)$ sean linealmente dependientes.
Para garantizar la estabilidad de un nodo en una estructura reticular plana, los vectores directores de dos barras concurrentes deben ser linealmente independientes. Los…
Para garantizar la estabilidad de un nodo en una estructura reticular plana, los vectores directores de dos barras concurrentes deben ser linealmente independientes. Los vectores de diseño son $\vec{d}_1 = (k+1, 3)$ y $\vec{d}_2 = (2, k)$. Determine para qué valores del parámetro $k$ el nodo es inestable (los vectores no forman base). Posteriormente, asumiendo $k=0$, exprese el vector de carga externa $\vec{P} = (4, -6)$ como combinación lineal de $\vec{d}_1$ y $\vec{d}_2$.
Base del plano y coordenadas
¿Por qué solo dos vectores? El plano tiene dos direcciones independientes. Dos vectores independientes bastan para llegar a cualquier punto, y cada punto se alcanza de una sola manera.
Arrastra el punto: sus coordenadas te dicen cuántos pasos das de $\vec\imath$ y de $\vec\jmath$.
Exprese el vector $\vec{c} = (5, -2)$ como combinación lineal de los vectores de la base canónica $\vec{i} = (1, 0)$ y $\vec{j} = (0, 1)$.
Exprese el vector $\vec{c} = (5, -2)$ como combinación lineal de los vectores de la base canónica $\vec{i} = (1, 0)$ y $\vec{j} = (0, 1)$.
Razone si tres vectores no nulos en el plano, por ejemplo $\vec{u} = (1, 1)$, $\vec{v} = (-1, 2)$ y $\vec{w} = (3, 0)$, pueden ser linealmente independientes…
Razone si tres vectores no nulos en el plano, por ejemplo $\vec{u} = (1, 1)$, $\vec{v} = (-1, 2)$ y $\vec{w} = (3, 0)$, pueden ser linealmente independientes simultáneamente.
Bases ortogonales y ortonormales
Recuerda dos herramientas. El producto punto de $\vec u = (u_1, u_2)$ y $\vec v = (v_1, v_2)$ es $\vec u \cdot \vec v = u_1 v_1 + u_2 v_2$, y es igual a $0$ exactamente cuando los vectores son perpendiculares. La magnitud de $\vec u$ (algunos problemas la llaman módulo) es $|\vec u| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}$. Un vector con magnitud $1$ es un vector unitario.
Para construir un vector perpendicular a $(a, b)$, intercambia las componentes y cambia el signo de una: $(-b, a)$. Todo vector perpendicular a $(a, b)$ es un múltiplo de $(-b, a)$.
Compruebe si el conjunto de vectores $B = \{(-1, 2), (2, 1)\}$ forma una base ortogonal del plano.
Compruebe si el conjunto de vectores $B = \{(-1, 2), (2, 1)\}$ forma una base ortogonal del plano.
Compruebe si los vectores $\vec{u} = (3, 0)$ y $\vec{v} = (0, -2)$ forman una base ortogonal de $\mathbb{R}^2$.
Compruebe si los vectores $\vec{u} = (3, 0)$ y $\vec{v} = (0, -2)$ forman una base ortogonal de $\mathbb{R}^2$.
Determine un vector $\vec{v}$ tal que el conjunto $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ forme una base ortonormal, sabiendo que $\vec{u} = \left(\frac{3}{5}, \frac{-4}{5}\right)$.…
Determine un vector $\vec{v}$ tal que el conjunto $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ forme una base ortonormal, sabiendo que $\vec{u} = \left(\frac{3}{5}, \frac{-4}{5}\right)$. ¿Es única la solución? Justifique su respuesta.
De coordenadas en $B$ a coordenadas estándar
¿Por qué? Las coordenadas $(a, b)_B$ dicen "da $a$ pasos a lo largo de $\vec c_1$ y $b$ pasos a lo largo de $\vec c_2$". Como $\vec c_1$ y $\vec c_2$ ya tienen componentes ordinarias, al sumar esos pasos obtienes las componentes ordinarias de $\vec w$.
Un dron submarino se desplaza en un entorno con corrientes marinas. Su sistema de navegación autónoma utiliza una base formada por los vectores $\vec{c}1 = (1, 2)$ y…
Un dron submarino se desplaza en un entorno con corrientes marinas. Su sistema de navegación autónoma utiliza una base formada por los vectores $\vec{c}_1 = (1, 2)$ y $\vec{c}_2 = (-2, 3)$. El dron registra un desplazamiento $\vec{w}$ cuyas coordenadas en esta base son $(4, -1)_B$. Calcule las coordenadas del vector $\vec{w}$ en la base canónica.
Encuentre todos los vectores $\vec{x} = (x_1, x_2)$ que, expresados como combinación lineal de la base $B = \{(1, -1), (2, 1)\}$, tienen coordenadas $(a, b)B$ tales que…
Encuentre todos los vectores $\vec{x} = (x_1, x_2)$ que, expresados como combinación lineal de la base $B = \{(1, -1), (2, 1)\}$, tienen coordenadas $(a, b)_B$ tales que $a = b$ y, además, cumplen que su módulo en la base canónica es exactamente $\sqrt{45}$.
Cómo hallar coordenadas en una base
Ahora ve en sentido contrario. Conoces $\vec w$ en la base estándar y quieres $(a, b)_B$. Escribe la misma ecuación, pero con $a$ y $b$ como incógnitas, y resuelve el sistema. La eliminación funciona bien.
Como $B$ es una base (vectores independientes), el sistema siempre tiene exactamente una solución. Ese es el significado algebraico de "todo vector tiene coordenadas únicas". Los problemas de enunciado también siguen este patrón: dos tipos de camiones con vectores de capacidad $\vec a$ y $\vec b$ y un pedido $\vec p$ llevan a $\vec p = x\vec a + y\vec b$.
En el motor físico de un videojuego, el movimiento de un personaje se define en una base $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$, donde $\vec{u} = (2, 1)$ y $\vec{v} = (-1, 3)$. Si…
En el motor físico de un videojuego, el movimiento de un personaje se define en una base $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$, donde $\vec{u} = (2, 1)$ y $\vec{v} = (-1, 3)$. Si el personaje debe desplazarse al punto indicado por el vector $\vec{d} = (8, -3)$ respecto a la base canónica, ¿cuáles serán las coordenadas del vector de desplazamiento en la base $B$?
Una empresa de logística utiliza dos tipos de camionetas. La capacidad de carga de la camioneta tipo A se representa por el vector $\vec{a} = (3, 2)$, indicando 3 palés…
Una empresa de logística utiliza dos tipos de camionetas. La capacidad de carga de la camioneta tipo A se representa por el vector $\vec{a} = (3, 2)$, indicando 3 palés de fruta y 2 de verdura. La tipo B se representa por $\vec{b} = (1, 4)$. Si un centro comercial realiza un pedido exacto de 11 palés de fruta y 14 de verdura, representado por $\vec{p} = (11, 14)$, halle los escalares de la combinación lineal $\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}$ para determinar cuántos viajes de cada camioneta se necesitan.
Dos remolcadores tiran de un barco averiado con fuerzas $\vec{F}1 = (300, 400)$ N y $\vec{F}2 = (400, -300)$ N. Un tercer remolcador se une aplicando una fuerza…
Dos remolcadores tiran de un barco averiado con fuerzas $\vec{F}_1 = (300, 400)$ N y $\vec{F}_2 = (400, -300)$ N. Un tercer remolcador se une aplicando una fuerza $\vec{F}_3 = (1000, 500)$ N. Exprese la fuerza $\vec{F}_3$ como combinación lineal de los vectores $\vec{F}_1$ y $\vec{F}_2$, hallando las coordenadas de $\vec{F}_3$ en la base $B = \{\vec{F}_1, \vec{F}_2\}$.
Volvamos al principio: supón que una avenida diagonal va en la dirección $(1, 1)$ y una calle transversal en la dirección $(1, 0)$. Para llegar al punto $(3, 5)$ resuelves $a(1, 1) + b(1, 0) = (3, 5)$. La segunda componente da $a = 5$, y luego $5 + b = 3$ da $b = -2$. Entonces vas 5 cuadras por la avenida y 2 cuadras de regreso hacia el oeste por la calle transversal. Mismo destino, distintas indicaciones.
Cambio entre dos bases
A veces una base nueva se describe con los vectores de una base anterior, por ejemplo $\vec c_1 = \vec a_1 + 2\vec a_2$. Surgen dos preguntas: ¿el nuevo par es realmente una base?, ¿y cómo se convierten las coordenadas?
¿Es una base? Lee las coordenadas de los vectores nuevos en la base anterior y aplica la prueba del determinante. O usa la definición: el par es independiente si la única combinación igual a $\vec 0$ es la trivial.
Conversión de coordenadas. Sustituye y luego agrupa términos.
Para pasar de coordenadas en $A$ a coordenadas en $C$, resolverías un sistema, exactamente como en la sección anterior.
Demuestre analíticamente que si $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ es una base de los vectores del plano, entonces el conjunto $B' = \{\vec{u} + \vec{v}, \vec{u} - \vec{v}\}$…
Demuestre analíticamente que si $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$ es una base de los vectores del plano, entonces el conjunto $B' = \{\vec{u} + \vec{v}, \vec{u} - \vec{v}\}$ también forma una base. Si un vector $\vec{w}$ tiene coordenadas $(3, 5)$ en la base $B$, halle sus coordenadas en la nueva base $B'$.
En el estudio de una red cristalina bidimensional, se definen dos bases para el plano: la base primitiva $B_1 = \{\vec{a}1, \vec{a}2\}$ y una base secundaria…
En el estudio de una red cristalina bidimensional, se definen dos bases para el plano: la base primitiva $B_1 = \{\vec{a}_1, \vec{a}_2\}$ y una base secundaria $B_2 = \{\vec{b}_1, \vec{b}_2\}$. Sabiendo que $\vec{b}_1 = 2\vec{a}_1 - \vec{a}_2$ y $\vec{b}_2 = \vec{a}_1 + 3\vec{a}_2$, halle las coordenadas en la base $B_1$ de un defecto puntual cuyo vector de posición en la base $B_2$ es $\vec{d} = (-1, 2)_{B_2}$.
Vectores en figuras geométricas
En una figura, expresas vectores en términos de dos vectores de lados conocidos recorriendo las aristas, punta con cola. Dos hechos hacen casi todo el trabajo:
¿Por qué? "Final menos inicio" es el desplazamiento. Por ejemplo, de $P(1, 1)$ a $Q(4, 3)$ te mueves $3$ a la derecha y $2$ hacia arriba, que es $(4 - 1, 3 - 1)$.
Para una pregunta sobre un punto, recuerda que un punto es su propia posición respecto al origen: si se conoce $\overrightarrow{PR}$, entonces $R = P + \overrightarrow{PR}$.
Dado el paralelogramo $ABCD$ de la figura, exprese los vectores correspondientes a las diagonales $\vec{AC}$ y $\vec{BD}$ como combinación lineal de los vectores de los…
Dado el paralelogramo $ABCD$ de la figura, exprese los vectores correspondientes a las diagonales $\vec{AC}$ y $\vec{BD}$ como combinación lineal de los vectores de los lados $\vec{u} = \vec{AB}$ y $\vec{v} = \vec{AD}$.
En el hexágono regular $ABCDEF$ de centro $O$ mostrado en la figura, se definen los vectores base $\vec{u} = \vec{AB}$ y $\vec{v} = \vec{AF}$. Exprese los vectores…
En el hexágono regular $ABCDEF$ de centro $O$ mostrado en la figura, se definen los vectores base $\vec{u} = \vec{AB}$ y $\vec{v} = \vec{AF}$. Exprese los vectores $\vec{AC}$, $\vec{AD}$, $\vec{AE}$ y $\vec{BC}$ como combinación lineal de la base $B = \{\vec{u}, \vec{v}\}$.
Dados los puntos $A(1, 2)$, $B(4, -1)$ y $C(x, y)$, determine las coordenadas del punto $C$ sabiendo que los vectores $\vec{u} = \vec{AB}$ y $\vec{v} = \vec{AC}$ forman…
Dados los puntos $A(1, 2)$, $B(4, -1)$ y $C(x, y)$, determine las coordenadas del punto $C$ sabiendo que los vectores $\vec{u} = \vec{AB}$ y $\vec{v} = \vec{AC}$ forman una base del plano en la cual el vector $\vec{w} = (0, -6)$ tiene por coordenadas $(2, -1)_B$.
Magnitud y ángulos en una base
Cuando un vector se da por sus coordenadas en una base que no es la estándar, no puedes usar simplemente $\sqrt{a^2 + b^2}$. Necesitas lo que sabes de los vectores de la base. Dos herramientas:
¿Por qué la segunda? $a\vec e_1$ y $b\vec e_2$ son perpendiculares, así que son los catetos de un triángulo rectángulo y se aplica el teorema de Pitágoras. El término cruzado $2ab\,\vec e_1 \cdot \vec e_2$ desaparece porque $\vec e_1 \cdot \vec e_2 = 0$.
Comprueba con vectores concretos: $\vec e_1 = (3, 0)$ y $\vec e_2 = (0, 2)$ dan $\vec v = (6, 2)$, con $|\vec v| = \sqrt{40}$ ✓.
Las condiciones sobre componentes desconocidas funcionan igual: escribe una ecuación por cada condición y resuelve.
Halle los valores de $a$ y $b$ para que los vectores $\vec{u} = (a, 3)$ y $\vec{v} = (-2, b)$ formen una base ortogonal, sabiendo además que el módulo del vector…
Halle los valores de $a$ y $b$ para que los vectores $\vec{u} = (a, 3)$ y $\vec{v} = (-2, b)$ formen una base ortogonal, sabiendo además que el módulo del vector $\vec{u}$ es exactamente $5$.
Sean $\vec{u}$ y $\vec{v}$ dos vectores no nulos tales que el ángulo que forman es de $60^\circ$, con $|\vec{u}| = 2$ y $|\vec{v}| = 3$. Si se define el vector…
Sean $\vec{u}$ y $\vec{v}$ dos vectores no nulos tales que el ángulo que forman es de $60^\circ$, con $|\vec{u}| = 2$ y $|\vec{v}| = 3$. Si se define el vector $\vec{w} = m\vec{u} + n\vec{v}$, calcule la relación que debe existir entre los parámetros $m$ y $n$ para que el vector $\vec{w}$ sea perpendicular al vector $\vec{u}$.
El brazo de un robot industrial se mueve en un plano definido por una base $B = \{\vec{e}1, \vec{e}2\}$ que es ortogonal pero no ortonormal, donde $|\vec{e}1| = 2$ y…
El brazo de un robot industrial se mueve en un plano definido por una base $B = \{\vec{e}_1, \vec{e}_2\}$ que es ortogonal pero no ortonormal, donde $|\vec{e}_1| = 2$ y $|\vec{e}_2| = 4$. Un comando de trayectoria le indica desplazarse según el vector $\vec{v} = 3\vec{e}_1 - \frac{1}{2}\vec{e}_2$. Calcule el módulo exacto del vector de desplazamiento $\vec{v}$ y el coseno del ángulo que forma con el vector de la base $\vec{e}_1$.