Fórmulas de diferencia para seno, coseno y tangente

Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica: $\cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y)$. A continuación, utiliza el resultado simplificado para evaluar la expresión de forma exacta cuando $x = 75^\circ$ e $y = 15^\circ$.

Evalúa de forma exacta, sin hacer uso de la calculadora, la siguiente expresión trigonométrica identificando a qué desarrollo corresponde:

$\sin(75^\circ) \cos(15^\circ) - \cos(75^\circ) \sin(15^\circ)$

Simplifica la expresión $\sin(90^\circ - x)$ aplicando la fórmula del seno de la resta de dos ángulos y comprueba que equivale a una de las razones trigonométricas básicas del ángulo $x$.

Demuestra paso a paso que $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ utilizando la fórmula del coseno para la resta de ángulos.

Sabiendo que dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ son complementarios ($\alpha + \beta = 90^\circ$), demuestra paso a paso que se cumple la identidad $\sin(\alpha - \beta) = \cos(2\beta)$.

Calcula el valor exacto de $\cos(15^\circ)$ sin utilizar la calculadora, aplicando la fórmula del coseno de la resta de dos ángulos y sabiendo que $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.

Halla el valor exacto de $\sin(15^\circ)$ expresando el ángulo como la diferencia $60^\circ - 45^\circ$ y aplicando la identidad correspondiente.

Determina el valor exacto de $\tan(15^\circ)$ a partir de las tangentes de los ángulos notables $45^\circ$ y $30^\circ$. Racionaliza el resultado si es necesario.

Calcula el valor exacto de $\tan(105^\circ)$ utilizando la fórmula de la resta de ángulos, considerando que $105^\circ = 135^\circ - 30^\circ$.

En una simulación de navegación marítima, un barco debe ajustar su rumbo actual. El ángulo de corrección necesario viene dado por la expresión $\alpha - \beta$. Sabiendo que $\alpha$ y $\beta$ son ángulos agudos, con $\tan \alpha = 3$ y $\tan \beta = \frac{1}{2}$, calcula el valor exacto de $\tan(\alpha - \beta)$ y deduce la amplitud del ángulo de corrección.

Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ y $\cos \beta = \frac{12}{13}$, y que tanto $\alpha$ como $\beta$ son ángulos del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\sin(\alpha - \beta)$.

Un rayo de luz atraviesa dos medios distintos con ángulos de refracción $\alpha$ y $\beta$. Si por las propiedades de los materiales sabemos que $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ (siendo $\alpha$ un ángulo del cuarto cuadrante) y $\sin \beta = \frac{5}{13}$ (siendo $\beta$ un ángulo del segundo cuadrante), determina el valor exacto de $\cos(\alpha - \beta)$.

Dos fuerzas coplanarias se aplican sobre un objeto formando ángulos $\alpha$ y $\beta$ con la horizontal, respectivamente. Si $\sin \alpha = \frac{8}{17}$ y $\cos \beta = \frac{4}{5}$ (estando ambos ángulos en el primer cuadrante), calcula el seno del ángulo que forman entre sí ambas fuerzas, es decir, $\sin(\alpha - \beta)$.

Simplifica la siguiente expresión algebraica trigonométrica y exprésala en función exclusivamente de las tangentes de los ángulos $a$ y $b$:

$\frac{\sin(a - b)}{\cos a \cos b}$

Demuestra analíticamente que $\tan(45^\circ - x) = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$. Utiliza este resultado para encontrar el valor exacto de $\tan(15^\circ)$ sabiendo que $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Demuestra la siguiente identidad trigonométrica combinando adecuadamente las fórmulas de la suma y la resta de ángulos para el seno y el coseno:

$\frac{\cos(a - b) - \cos(a + b)}{\sin(a + b) + \sin(a - b)} = \tan b$

Demuestra analíticamente que $\sin(\alpha - \beta) \cdot \sin(\alpha + \beta) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta$. A continuación, utiliza este resultado algebraico para calcular mentalmente el valor exacto de la expresión $\sin(75^\circ) \cdot \sin(15^\circ)$.

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, encontrando todas las soluciones posibles para el intervalo $0^\circ \leq x < 360^\circ$:

$\sin(x - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, determinando todas las soluciones posibles en el intervalo $[0, 2\pi)$ radianes:

$\cos(x - 45^\circ) + \cos(x + 45^\circ) = 1$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas sabiendo que tanto $x$ como $y$ son ángulos pertenecientes al primer cuadrante:

$\sin x \cos y = \frac{3}{4}$

$\cos x \sin y = \frac{1}{4}$

Sugerencia: Calcula en primer lugar el valor de $\sin(x - y)$ y $\sin(x + y)$ sumando y restando ambas ecuaciones.

En el diseño de un brazo robótico, el ángulo de rotación de la articulación final depende de la resta de dos ángulos de control internos $\alpha$ y $\beta$. Si la tangente del ángulo resultante es $\tan(\alpha - \beta) = 2$ y por restricciones mecánicas sabemos que $\tan \alpha = 3 \tan \beta$, determina los posibles valores exactos de $\tan \beta$.

En un estudio de mercado, los ciclos de ventas estacionales de dos productos se modelan mediante funciones trigonométricas. La diferencia de fase que determina la competencia directa está dada por el valor de $\cos(x - y)$. Si $\sin x = \frac{1}{3}$ y $\cos y = \frac{2}{5}$, con $x$ situado en el primer cuadrante e $y$ en el cuarto cuadrante, halla el valor exacto de $\cos(x - y)$.

Un topógrafo observa un acantilado de altura $H$ y, situado justo en el borde sobre él, un faro de altura $h$. Desde su posición a una distancia horizontal $d$, el ángulo de elevación hasta la base del faro es $\beta$ y hasta la cúpula del faro es $\alpha$. Expresa la tangente del ángulo bajo el cual se ve exclusivamente el faro, es decir $\tan(\alpha - \beta)$, en función únicamente de las distancias $H$, $h$ y $d$.

En un circuito de corriente alterna, la diferencia de potencial entre dos nodos viene dada por la superposición de dos señales desfasadas: $V(t) = 10 \sin(\omega t) - 10 \sin(\omega t - \frac{\pi}{3})$. Utiliza las fórmulas trigonométricas de la resta de ángulos para expresar la diferencia de potencial $V(t)$ en la forma simplificada $A \sin(\omega t + \phi)$, determinando los valores de $A$ y $\phi$.