El reflector de un faro, una antena parabólica, el cable principal del puente Golden Gate y la órbita de un planeta parecen no tener nada en común. Sin embargo, las curvas que los describen pertenecen a solo cuatro familias, y las cuatro aparecen al cortar un cono con un plano. En esta sección las conocerás como lugares geométricos (loci): conjuntos de puntos que cumplen una condición sobre distancias. Ya conoces la circunferencia. Ahora vienen la parábola, la elipse y la hipérbola, y un número, la excentricidad, te ayudará a distinguirlas.
Cortes de un cono
Una recta sobre la superficie del cono que pasa por el vértice se llama lado del cono (en algunos problemas, generatriz). Si el plano es paralelo a exactamente un lado, se obtiene una parábola. Si está inclinado pero corta todos los lados de una hoja (medio cono), se obtiene una elipse. Si es perpendicular al eje, se obtiene una circunferencia.
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Un cono de revolución se corta con un plano que no pasa por su vértice. Si el plano es paralelo a una única generatriz del cono, ¿qué sección cónica se obtiene?…
Un cono de revolución se corta con un plano que no pasa por su vértice. Si el plano es paralelo a una única generatriz del cono, ¿qué sección cónica se obtiene? Justifique su respuesta basándose en la definición geométrica de las secciones cónicas.
Arrastra el punto y observa qué distancias permanecen iguales.
Las cuatro cónicas de este capítulo son simplemente lugares geométricos más interesantes. En vez de una distancia fija, relacionan dos distancias: a dos puntos, o a un punto y una recta.
La equidistancia de tres puntos funciona igual. Si intersecas dos mediatrices, obtienes el único punto que está a la misma distancia de los tres: el circuncentro. Así se halla el centro de una circunferencia que pasa por tres puntos.
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Encuentre la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al origen de coordenadas es siempre igual a $5$.
Encuentre la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al origen de coordenadas es siempre igual a $5$.
Halle la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$. ¿Qué figura geométrica representa?
Halle la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$. ¿Qué figura geométrica representa?
Durante una excavación arqueológica se descubre un fragmento del borde de un plato circular antiguo. Para reconstruir su tamaño original, se digitaliza el fragmento y se…
Durante una excavación arqueológica se descubre un fragmento del borde de un plato circular antiguo. Para reconstruir su tamaño original, se digitaliza el fragmento y se toman tres puntos de su contorno: $A(-2, 1)$, $B(2, 5)$ y $C(4, 1)$. Utilizando el concepto de lugar geométrico (intersección de mediatrices), calcule las coordenadas del centro original del plato y su radio.
El método no cambia: llama $P(x, y)$ al punto general, escribe la condición con la fórmula de la distancia y simplifica hasta eliminar los radicales.
Ese ejemplo no fue casualidad. Cuando un punto mantiene una razón constante de distancias a dos puntos fijos, el lugar es una circunferencia, salvo que la razón sea $1$.
El método de coordenadas es el que acabas de usar: pon $P(x, y)$, sustituye cada distancia con la fórmula de la distancia, eleva al cuadrado ambos lados ($k$ se convierte en $k^2$), reúne términos y completa el cuadrado en $x$ y en $y$.
Una vez que tienes una ecuación sin radicales y sin término $xy$, puedes identificar la curva por sus términos cuadráticos.
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En un proyecto de telecomunicaciones, se ubican dos antenas emisoras en los puntos $A(-3,0)$ y $B(3,0)$ de un plano cartesiano (en millas). Un receptor $R(x,y)$ se mueve…
En un proyecto de telecomunicaciones, se ubican dos antenas emisoras en los puntos $A(-3,0)$ y $B(3,0)$ de un plano cartesiano (en millas). Un receptor $R(x,y)$ se mueve de forma que su distancia a la antena $A$ es siempre el doble que su distancia a la antena $B$. Halle la ecuación del lugar geométrico que describe el receptor e identifique de qué cónica se trata, indicando su centro y su radio.
Algunos lugares geométricos involucran una recta en vez de un punto. Para ellos necesitas la distancia de un punto a una recta.
Al igualar esa distancia a una constante $d$ se obtiene $|Ax + By + C| = d\sqrt{A^2 + B^2}$. El valor absoluto se separa en dos ecuaciones, así que el lugar son dos rectas paralelas, una a cada lado de la original.
Un atajo útil: los puntos equidistantes de dos rectas paralelas forman una tercera recta paralela a mitad de camino.
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Determine el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas paralelas $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: x + 2y + 6 = 0$.
Determine el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas paralelas $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: x + 2y + 6 = 0$.
Halle las ecuaciones del lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia constante de $3$ unidades de la recta $4x - 3y + 2 = 0$.
Halle las ecuaciones del lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia constante de $3$ unidades de la recta $4x - 3y + 2 = 0$.
Los puntos equidistantes de dos rectas secantes están en las bisectrices de los ángulos. Dos rectas que se cruzan forman dos pares de ángulos opuestos por el vértice, así que hay dos bisectrices, y son perpendiculares entre sí.
Al igualar las dos distancias de punto a recta se obtiene
En el plano de una ciudad, dos avenidas rectas siguen las ecuaciones $r: 2x + y - 4 = 0$ y $s: x - 2y + 3 = 0$. Se desea construir una plaza en un punto que equidiste de…
En el plano de una ciudad, dos avenidas rectas siguen las ecuaciones $r: 2x + y - 4 = 0$ y $s: x - 2y + 3 = 0$. Se desea construir una plaza en un punto que equidiste de ambas avenidas y que, por restricciones urbanísticas, esté situado sobre la calle peatonal $x + y = 5$. Calcule las coordenadas de las posibles ubicaciones para la plaza.
Algunas condiciones vienen sin radicales: piden la suma o la diferencia de los cuadrados de dos distancias. Son rápidas de manejar.
Esta idea también da una forma limpia de manejar los ángulos rectos. Si $\angle APB = 90^\circ$, por el teorema de Pitágoras $d(P,A)^2 + d(P,B)^2 = d(A,B)^2$, que es una suma de cuadrados igual a una constante.
El mismo truco funciona con tres o más puntos. Para $A$, $B$, $C$ los términos cuadráticos suman $3x^2 + 3y^2 + \dots$. Divide primero entre $3$ y luego completa el cuadrado en $x$ y en $y$.
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Encuentre la ecuación del lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos $A(2,0)$ y $B(-2,0)$ es igual a $20$.
Encuentre la ecuación del lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos $A(2,0)$ y $B(-2,0)$ es igual a $20$.
Tres sensores sísmicos están ubicados en las coordenadas $A(0,0)$, $B(4,0)$ y $C(0,4)$. Un dron de calibración vuela en el mismo plano de modo que la suma de los…
Tres sensores sísmicos están ubicados en las coordenadas $A(0,0)$, $B(4,0)$ y $C(0,4)$. Un dron de calibración vuela en el mismo plano de modo que la suma de los cuadrados de sus distancias a los tres sensores se mantiene constante e igual a $50$. Halle la ecuación del lugar geométrico de la trayectoria del dron y describa la figura resultante.
Una cámara de seguridad ubicada en un punto móvil $P(x,y)$ debe vigilar un pasillo lineal definido por el segmento $AB$, con extremos en $A(-4,0)$ y $B(4,0)$. Para que…
Una cámara de seguridad ubicada en un punto móvil $P(x,y)$ debe vigilar un pasillo lineal definido por el segmento $AB$, con extremos en $A(-4,0)$ y $B(4,0)$. Para que los sensores de la cámara funcionen de manera óptima, el ángulo de visión $\angle APB$ debe ser exactamente de $90^\circ$. Halle analíticamente el lugar geométrico de las posibles posiciones de la cámara, excluyendo los puntos $A$ y $B$. Describa la figura resultante.
Los términos $x^2$ y $y^2$ se cancelan, así que la ecuación es lineal.
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Halle el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos $A(1,0)$ y $B(-1,0)$ es igual a $8$, es decir,…
Halle el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos $A(1,0)$ y $B(-1,0)$ es igual a $8$, es decir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 8$.
Un dron de topografía vuela de modo que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos balizas emisoras situadas en $A(-3, -1)$ y $B(5, 5)$ es siempre constante…
Un dron de topografía vuela de modo que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos balizas emisoras situadas en $A(-3, -1)$ y $B(5, 5)$ es siempre constante e igual a $32$. Es decir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 32$. Halle la ecuación del lugar geométrico de la trayectoria del dron y demuestre analíticamente que dicha trayectoria es una recta perpendicular al segmento que une las dos balizas.
Otras condiciones multiplican dos cantidades. Dos casos comunes son el producto de dos pendientes y el producto de las distancias a los ejes.
Producto de pendientes. Toma $A(-a, 0)$ y $B(a, 0)$ y exige $m_{PA} \cdot m_{PB} = m$. Como $m_{PA} = \dfrac{y}{x + a}$ y $m_{PB} = \dfrac{y}{x - a}$, la condición es $\dfrac{y^2}{x^2 - a^2} = m$, es decir, $y^2 = m(x^2 - a^2)$. Si $m = -1$, las rectas $PA$ y $PB$ son perpendiculares y vuelves a obtener la circunferencia $x^2 + y^2 = a^2$. Si $m < 0$, los signos de $x^2$ y $y^2$ coinciden, lo que da una elipse. Si $m > 0$, son opuestos, lo que da una hipérbola.
Producto de distancias a los ejes. Un punto $P(x, y)$ está a $|x|$ del eje $y$ y a $|y|$ del eje $x$, así que si el producto de estas distancias es constante, $|xy| = k$. Toma la rama con $xy = k > 0$, en los cuadrantes I y III.
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En un mecanismo articulado, dos varillas giran alrededor de los pivotes fijos $A(-a,0)$ y $B(a,0)$. El mecanismo está diseñado de modo que el producto de las pendientes…
En un mecanismo articulado, dos varillas giran alrededor de los pivotes fijos $A(-a,0)$ y $B(a,0)$. El mecanismo está diseñado de modo que el producto de las pendientes de ambas varillas en su punto de intersección $P(x,y)$ es siempre una constante negativa $-k^2$ (con $k > 0$). Demuestre que el lugar geométrico del punto $P$ es una elipse y determine la longitud de sus semiejes en función de $a$ y $k$.
En un estudio acústico, dos fuentes sonoras emiten ondas sobre ejes perpendiculares que coinciden con los ejes de coordenadas. El lugar geométrico de los puntos donde el…
En un estudio acústico, dos fuentes sonoras emiten ondas sobre ejes perpendiculares que coinciden con los ejes de coordenadas. El lugar geométrico de los puntos donde el producto de las distancias a ambos ejes es constante e igual a $16$ define unas curvas isofónicas. Halle la ecuación del lugar geométrico y demuestre que está formado por dos hipérbolas equiláteras, calculando la distancia exacta entre los vértices de cada una de ellas.
Mueve el control deslizante y observa cómo $p$ controla la anchura: el foco está $p$ unidades por encima del vértice.
El mismo lugar geométrico aparece disfrazado. Una circunferencia tangente a una recta $\ell$ que pasa por un punto $F$ fuera de $\ell$ tiene un radio igual tanto a la distancia de su centro a $\ell$ como a la distancia de su centro a $F$. Por tanto, su centro es equidistante de un punto y una recta, y se mueve sobre una parábola.
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El reflector de un faro marítimo tiene un perfil diseñado de manera que la distancia de cualquier punto de su superficie al foco emisor de luz, situado en $F(0,2)$, es…
El reflector de un faro marítimo tiene un perfil diseñado de manera que la distancia de cualquier punto de su superficie al foco emisor de luz, situado en $F(0,2)$, es exactamente igual a su distancia a una línea de referencia horizontal de ecuación $y = -2$. Determine la ecuación del lugar geométrico del perfil del reflector.
Un móvil se desplaza en el plano cartesiano de manera que su distancia a la recta vertical $x = k$ es igual a su distancia al punto fijo $F(2,0)$. Determine la ecuación…
Un móvil se desplaza en el plano cartesiano de manera que su distancia a la recta vertical $x = k$ es igual a su distancia al punto fijo $F(2,0)$. Determine la ecuación del lugar geométrico en función del parámetro $k$. ¿Para qué valor exacto de $k$ el lugar geométrico degenera en una recta en lugar de formar una parábola?
En el diseño de un sistema de fluidos, se debe instalar un conducto cilíndrico cuya sección transversal puede variar de tamaño, pero siempre debe ser tangente al eje de…
En el diseño de un sistema de fluidos, se debe instalar un conducto cilíndrico cuya sección transversal puede variar de tamaño, pero siempre debe ser tangente al eje de abscisas y pasar obligatoriamente por un sensor fijo situado en $P(0,2)$. Encuentre la ecuación del lugar geométrico que describen los posibles centros $C(x,y)$ de dicha sección transversal e identifique la cónica.
El número $e$ es la excentricidad. Mide qué tan lejos está una cónica de ser una circunferencia. Lo volverás a encontrar en las próximas tres secciones.
Veamos por qué $e$ decide la forma. Pon el foco en el origen y la directriz en $x = d$. La condición $\sqrt{x^2 + y^2} = e\,|x - d|$ se convierte, tras elevar al cuadrado, en
$$(1 - e^2)\,x^2 + y^2 + 2e^2d\,x - e^2d^2 = 0$$
El coeficiente de $x^2$ es $1 - e^2$, y su signo es lo que mira la regla de reconocimiento. Si $e < 1$, ambos términos cuadráticos son positivos. Si $e = 1$, el término $x^2$ desaparece. Si $e > 1$, los signos son opuestos. Para clasificar por completo, completa el cuadrado en $x$ y observa los signos.
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El extremo $P(x,y)$ de un brazo robótico industrial está programado para moverse de tal forma que su distancia a la recta de seguridad $x = -4$ es siempre el doble de su…
El extremo $P(x,y)$ de un brazo robótico industrial está programado para moverse de tal forma que su distancia a la recta de seguridad $x = -4$ es siempre el doble de su distancia al punto de anclaje $F(-1,0)$. Determine la ecuación de la trayectoria que describe el extremo del brazo e identifique qué tipo de cónica representa.
Demuestre analíticamente que el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya distancia al origen $O(0,0)$ es igual a $e$ veces su distancia a la recta $x = d$ (con…
Demuestre analíticamente que el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya distancia al origen $O(0,0)$ es igual a $e$ veces su distancia a la recta $x = d$ (con $e > 0$ y $d > 0$) representa una elipse si $e < 1$, una parábola si $e = 1$ y una hipérbola si $e > 1$. Escriba la ecuación general obtenida antes de clasificarla.
Suma y diferencia de distancias: elipse e hipérbola
Hay otra forma de construir cónicas, usando dos focos y ninguna directriz.
Un jardinero puede trazar una elipse con dos estacas y un lazo de cuerda: la cuerda tensa obliga a que la suma de las distancias a las estacas sea igual a la longitud de la cuerda.
Para la hipérbola sirven exactamente los mismos pasos con $\big|d_1 - d_2\big| = 2a$. El único cambio es que $c > a$, así que se define $b^2 = c^2 - a^2$ y se obtiene $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$.
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Para diseñar un parterre elíptico en un parque, un jardinero clava dos estacas en el suelo en los puntos $(-3,0)$ y $(3,0)$ (medidas en pies). Luego, ata los extremos de…
Para diseñar un parterre elíptico en un parque, un jardinero clava dos estacas en el suelo en los puntos $(-3,0)$ y $(3,0)$ (medidas en pies). Luego, ata los extremos de una cuerda de $10\text{ m}$ de longitud a ambas estacas y, manteniendo la cuerda tensa con un punzón, traza el contorno sobre la tierra. Halle la ecuación del lugar geométrico del borde del parterre.
En un sistema de navegación hiperbólica, un barco recibe señales de radio simultáneas desde dos estaciones costeras ubicadas en $A(-5,0)$ y $B(5,0)$ (en decenas de…
En un sistema de navegación hiperbólica, un barco recibe señales de radio simultáneas desde dos estaciones costeras ubicadas en $A(-5,0)$ y $B(5,0)$ (en decenas de millas). El retardo en la recepción de la señal indica que el barco se encuentra siempre $60\text{ km}$ más cerca de la estación $B$ que de la estación $A$. Obtenga la ecuación del lugar geométrico sobre el cual navega el barco.
Un rayo láser parte del foco $F_1(c,0)$ de una elipse reflectante, rebota en un punto $P(x,y)$ de su superficie y llega directamente al otro foco $F_2(-c,0)$. Si la…
Un rayo láser parte del foco $F_1(c,0)$ de una elipse reflectante, rebota en un punto $P(x,y)$ de su superficie y llega directamente al otro foco $F_2(-c,0)$. Si la distancia total recorrida por el rayo de luz es de $10$ unidades y la distancia focal es de $6$ unidades, deduzca la ecuación reducida del lugar geométrico de la elipse utilizando su definición basada en distancias.
Volvamos al inicio: cada aplicación usa una curva distinta. Las órbitas planetarias son elipses. Los reflectores de los faros, las antenas parabólicas y la forma de un cable de puente colgante bajo una carga uniforme son parábolas. Los sistemas de navegación que comparan los tiempos de llegada de dos señales te ubican sobre una rama de una hipérbola. Las cuatro son cortes de un cono y lugares geométricos definidos por distancias.
Resumen
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado