Límite de una función en un punto

Acercarse a un punto por ambos lados

Observa $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}$ cerca de $x = 1$. La función no está definida en $x = 1$ (el denominador es $0$). Pero puedes acercarte a $1$ tanto como quieras sin tocarlo, desde la izquierda y desde la derecha. Para $x \ne 1$ puedes escribir $\dfrac{x^2-1}{x-1} = x + 1$, así que la gráfica es la recta $y = x + 1$ con un hueco en $(1, 2)$.

Las palabras clave son "pero nunca es igual a $a$". El límite solo se fija en lo que ocurre cerca de $a$.

Una tabla de valores da evidencia de un límite, no una demostración. Funciona bien cuando los valores de la izquierda y de la derecha se acercan visiblemente al mismo número, como en esta tabla:

Límites laterales

Separar el acercamiento en "por la izquierda" y "por la derecha" es la herramienta clave para las funciones definidas por partes y las gráficas con saltos.

La razón es sencilla: el límite exige que $f(x)$ se acerque a un único número desde cualquier dirección. Si los dos lados no coinciden, no hay un único número.

Leer límites en una gráfica

En una gráfica, sigue la curva con el dedo hacia $x = a$ desde la izquierda y anota la altura a la que te acercas. Luego haz lo mismo desde la derecha. Un círculo abierto significa que la curva llega ahí pero el punto no está incluido. Un punto relleno es el valor real $f(a)$.

Aquí $\displaystyle\lim_{x\to2^-}f(x)=3$ y $\displaystyle\lim_{x\to2^+}f(x)=4$. Los límites laterales son distintos, así que $\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)$ no existe. El punto relleno $f(2)=2$ no influye en el límite.

Valor absoluto y límites laterales

El valor absoluto cambia su fórmula en el punto donde su interior es cero, así que ahí debes separar en límites laterales. Recuerda que $|u| = u$ si $u>0$ y $|u| = -u$ si $u<0$.

El límite frente al valor y la sustitución directa

$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)$ y $f(a)$ son dos preguntas distintas. La primera pregunta qué ocurre alrededor de $a$. La segunda, qué ocurre exactamente en $a$. Pueden coincidir, ser diferentes, o puede que $f(a)$ no exista.

La curva se dirige al círculo abierto desde ambos lados, así que esa altura es el límite. El punto relleno es el valor real $f(a)$, a otra altura. La función "salta" ahí, pero el límite sigue estando perfectamente definido.

Cuando una función se porta bien en $a$ (sin división entre cero, sin negativos dentro de una raíz cuadrada, etc.), el límite y el valor coinciden. Eso da el método más rápido.

Forma indeterminada 0/0: factorizar y simplificar

Cuando la sustitución da $\frac{0}{0}$, el numerador y el denominador contienen el factor $(x-a)$. Factoriza, simplifica y vuelve a sustituir.

¿Por qué se permite simplificar? Un límite nunca mira $x = a$. Para todo $x \ne a$, la fracción $\frac{x-a}{x-a}$ es igual a $1$, así que la función simplificada tiene los mismos valores que la original en todos los puntos cercanos a $a$.

Para polinomios de grado 3 o más, usa la división sintética para hallar el factor $(x-a)$. Algunos problemas la llaman regla de Ruffini: es el mismo método.

Radicales: multiplicar por el conjugado

Cuando una raíz cuadrada causa el $\frac{0}{0}$, factorizar no ayuda. En su lugar, usa el conjugado: los mismos dos términos con el signo contrario en el medio. El conjugado de $\sqrt{x}-3$ es $\sqrt{x}+3$.

¿Por qué funciona? Porque $(A-B)(A+B) = A^2-B^2$: la raíz cuadrada desaparece y aparece un factor $(x-a)$ que puedes simplificar.

Cuando hay raíces tanto en el numerador como en el denominador, usa el conjugado de cada una.

Más formas indeterminadas: combinar fracciones y usar identidades

Hay dos situaciones más que aparecen con frecuencia.

Diferencia de fracciones ($\infty-\infty$)

Cerca de un punto donde ambas fracciones crecen sin control, la diferencia parece $\infty-\infty$. Combínalas con un denominador común y luego simplifica.

Límites trigonométricos: usar identidades

Si la sustitución da $\frac{0}{0}$ con $\sin$ y $\cos$, usa la identidad pitagórica $\sin^2x+\cos^2x=1$ para construir un factor que puedas simplificar. En particular, $1-\cos^2x=\sin^2x$ y $1-\sin^2 x=\cos^2 x$, y cada una es una diferencia de cuadrados.

Límites infinitos y asíntotas verticales

A veces, cuando $x$ se acerca a $a$, los valores $f(x)$ no se estabilizan en un número. Crecen sin cota (o decrecen sin cota). Eso también es información sobre el límite.

Cuando la sustitución da $\dfrac{k}{0}$ con $k\ne0$, halla el signo del denominador a cada lado.

Si el denominador conserva el mismo signo a ambos lados, los infinitos coinciden. Por ejemplo, $\displaystyle\lim_{x\to-2}\dfrac{3}{(x+2)^2}=+\infty$, porque $(x+2)^2$ es un número positivo muy pequeño a ambos lados.

Logaritmos

La gráfica de $\ln u$ cae sin cota cuando $u$ se acerca a $0$ por la derecha: $\ln 0.1\approx-2.3$, $\ln 0.001\approx-6.9$, y así sucesivamente. Por lo tanto, $\displaystyle\lim_{u\to0^+}\ln u=-\infty$. Para $\ln(x-3)$ con $x\to3^+$, el interior $x-3$ se acerca a $0$ con valores positivos, así que el límite es $-\infty$.

¿Finito, infinito o no existe?

Al leer una gráfica, hay tres resultados posibles en $x=a$. Si los dos lados se dirigen a la misma altura, el límite es ese número finito. Si ambos lados suben (o ambos bajan) sin cota, el límite es $+\infty$ (o $-\infty$). Si los lados no coinciden (un salto, o uno sube y otro baja), el límite no existe.

Cómo hallar parámetros desconocidos

Muchos problemas dan una función con una constante desconocida, como $k$, $a$ o $b$, y piden elegirla para que exista un límite. Hay dos situaciones.

Situación 1: una función definida por partes. En cada punto donde cambia la fórmula, los límites por la izquierda y por la derecha deben ser iguales. Eso da una ecuación por cada punto.

Si hay dos puntos de cambio, obtienes dos ecuaciones. Resuelve el sistema por sustitución o eliminación. Si el problema también pide que el límite sea igual a $f(a)$, incluye ese valor como una ecuación adicional.

Situación 2: una forma $\frac{0}{0}$ con un parámetro. Si el denominador se acerca a $0$ y el límite debe ser un número finito, el numerador también debe acercarse a $0$. De lo contrario obtienes $\frac{k}{0}$ y el límite es infinito. Así que iguala el numerador a $0$ en $x=a$.

Límites en contexto

Los límites responden una pregunta práctica: "¿A qué valor se acerca esta cantidad?", incluso cuando la fórmula no se puede evaluar en el valor exacto de entrada.

Termina siempre con una respuesta completa, con unidades. Las herramientas son las mismas de antes: factorizar, usar un conjugado o combinar fracciones.

Pendientes de secantes y razones instantáneas

Aquí es donde los límites demuestran su utilidad. La razón de cambio promedio de $s$ en un intervalo corto es $\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$, que también es la pendiente de una recta secante. La razón instantánea es el límite de ese cociente cuando el intervalo se reduce a cero. Al final el cociente siempre es $\frac{0}{0}$, así que necesitas el álgebra de las secciones anteriores.

Volvamos al inicio: la lectura del velocímetro es el límite de las velocidades promedio en intervalos de tiempo cada vez más cortos. En el instante exacto el cociente parece $\frac{0}{0}$, pero su límite es un número perfectamente válido. La misma idea da la pendiente de la recta tangente a una curva: es el límite de las pendientes de las rectas secantes.

Resumen