Propiedades de las funciones
Tu amigo está hablando por teléfono y no puede ver la pantalla de tu Desmos. "¿Cómo se ve la gráfica?" Decir "como una colina" no basta. Para describir una función con exactitud, siempre respondes las mismas preguntas: ¿Dónde está definida? ¿Dónde cruza los ejes? ¿Dónde es positiva o negativa? ¿Qué valores alcanza? ¿Es simétrica? ¿Sube o baja? ¿Se repite? En esta página aprenderás a responderlas todas, tanto a partir de una fórmula como de una gráfica.
Dominio: una restricción a la vez
El dominio de $f$ es el conjunto de todas las entradas $x$ para las cuales $f(x)$ tiene sentido. A menos que el problema diga otra cosa, son todos los números reales excepto los que "rompen" la fórmula. En este nivel solo tres cosas pueden romperla.
| Peligro | Regla | Ejemplo |
|---|---|---|
| División | denominador $\ne 0$ | $\dfrac{1}{x-5}$ necesita $x \ne 5$ |
| Raíz de índice par (raíz cuadrada, raíz cuarta, …) | radicando $\ge 0$ | $\sqrt{x-5}$ necesita $x \ge 5$ |
| Logaritmo | argumento $> 0$ (estrictamente) | $\ln(x-5)$ necesita $x > 5$ |
¿Por qué? No se puede dividir entre cero, no existe la raíz cuadrada real de un número negativo, y ninguna potencia de una base positiva es igual a $0$ ni a un número negativo, así que el $\log$ de esos valores no existe. Los polinomios y las raíces de índice impar (como $\sqrt[3]{x}$) nunca se rompen: su dominio son todos los números reales.
Los dominios se escriben con notación de intervalos. Usa $\cup$ ("unión") para juntar las partes, por ejemplo $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$, que también se puede escribir $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ ("todos los números reales excepto el 2").
Determina el dominio de definición de la función racional $f(x) = \frac{x-1}{x^2-9}$.
Determina el dominio de definición de la función racional $f(x) = \frac{x-1}{x^2-9}$.
Calcula el dominio de la función con radical $g(x) = \sqrt{2x-8}$.
Calcula el dominio de la función con radical $g(x) = \sqrt{2x-8}$.
Calcula el dominio de la función logarítmica $s(x) = \log_3(x+2)$.
Calcula el dominio de la función logarítmica $s(x) = \log_3(x+2)$.
Dominio: varias restricciones a la vez
Cuando una fórmula mezcla una fracción, una raíz y un logaritmo, cada parte impone su propia condición. Un número está en el dominio solo si se cumplen todas las condiciones al mismo tiempo, así que el dominio es la intersección de las condiciones.
Halla el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x-3}}$.
Halla el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x-3}}$.
Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 3)$.
Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 3)$.
Calcula de forma razonada el dominio de la función $f(x) = \sqrt{\log_2(x-3)}$.
Calcula de forma razonada el dominio de la función $f(x) = \sqrt{\log_2(x-3)}$.
Intersecciones con los ejes
Para hallar los ceros de un polinomio, factorízalo o usa la fórmula cuadrática. Para hallar los ceros de una fracción, iguala el numerador a $0$ y descarta cualquier valor que también anule el denominador.
Mira la gráfica de arriba: la curva cruza el eje $x$ en $-4$ y $4$, y el eje $y$ en $-8$. También se rompe en $x = -2$, el número que no está en el dominio.
Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función polinómica $h(x) = x^2 - 5x + 6$.
Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función polinómica $h(x) = x^2 - 5x + 6$.
Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{x^2+a}{x-b}$ tenga como dominio $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ y corte al eje de abscisas…
Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{x^2+a}{x-b}$ tenga como dominio $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ y corte al eje de abscisas en los puntos $x = 4$ y $x = -4$.
Signo de una función
El signo de $f$ te dice dónde la gráfica está por encima del eje $x$ ($f(x) > 0$, positiva) y dónde está por debajo ($f(x) < 0$, negativa).
¿Por qué funciona el método? Una función solo puede cambiar de signo en un cero, donde no está definida o donde da un salto. Entre dos de esos números consecutivos el signo no puede cambiar, así que un valor de prueba te da el signo de todo el intervalo.
Para una función lineal el trabajo es corto: $q(x) = 2x - 6$ es $0$ en $x = 3$, negativa a la izquierda y positiva a la derecha, porque la pendiente es positiva.
Funciones definidas por partes. Trata cada parte solo en su propio intervalo y descarta cualquier solución que quede fuera de él.
Determina los intervalos en los que la función $q(x) = -3x + 12$ tiene signo positivo y en cuáles tiene signo negativo.
Determina los intervalos en los que la función $q(x) = -3x + 12$ tiene signo positivo y en cuáles tiene signo negativo.
Calcula los puntos de corte con los ejes y estudia el signo de la función racional $g(x) = \frac{x^2-4}{x-1}$.
Calcula los puntos de corte con los ejes y estudia el signo de la función racional $g(x) = \frac{x^2-4}{x-1}$.
Dada la función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} 2x+6 & \text{si } x < -1 \\ x^2+3 & \text{si } x \ge -1 \end{cases}$ Halla sus puntos de corte con los ejes y…
Dada la función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} 2x+6 & \text{si } x < -1 \\ x^2+3 & \text{si } x \ge -1 \end{cases}$
Halla sus puntos de corte con los ejes y estudia su signo en todo su dominio.
Rango
Hay dos maneras confiables de hallarlo.
Método 1: usa la forma. Una parábola $y = a(x-h)^2 + k$ tiene su vértice en $(h, k)$. Si $a > 0$ el rango es $[k, \infty)$. Si $a < 0$ es $(-\infty, k]$.
Método 2: despeja $x$. Un número $y$ está en el rango exactamente cuando la ecuación $y = f(x)$ tiene solución $x$. Al despejar $x$ obtienes la función inversa, y el rango de $f$ es el dominio de la inversa.
Indica cuál es el recorrido o imagen de la función cuadrática $r(x) = x^2 + 4$.
Indica cuál es el recorrido o imagen de la función cuadrática $r(x) = x^2 + 4$.
Calcula la función inversa (o recíproca) de $f(x) = \frac{2x-5}{x+1}$ y utilízala para determinar el recorrido (imagen) de la función $f(x)$.
Calcula la función inversa (o recíproca) de $f(x) = \frac{2x-5}{x+1}$ y utilízala para determinar el recorrido (imagen) de la función $f(x)$.
Simetría: funciones pares e impares
¿Por qué probar $f(-x)$? El punto $(-x, f(-x))$ es la imagen en espejo de $(x, f(x))$ respecto al eje $y$. Si las alturas coinciden, la gráfica es una imagen en espejo. Si son opuestas, la gráfica se transforma en sí misma con un giro de media vuelta.
Estudia la simetría (par, impar o ninguna) de la función polinómica $p(x) = x^4 - 2x^2 + 7$.
Estudia la simetría (par, impar o ninguna) de la función polinómica $p(x) = x^4 - 2x^2 + 7$.
Determina analíticamente si la función $h(x) = \frac{x^3}{x^2+1}$ es par, impar o no tiene simetría.
Determina analíticamente si la función $h(x) = \frac{x^3}{x^2+1}$ es par, impar o no tiene simetría.
Demuestra analíticamente que la función $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$ es impar y determina su dominio de definición.
Demuestra analíticamente que la función $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$ es impar y determina su dominio de definición.
Crecimiento, decrecimiento y extremos
Lee una gráfica de izquierda a derecha. Si sube, la función es creciente. Si baja, es decreciente. Formalmente, en un intervalo $I$:
-
$f$ es creciente si $x1 < x_2$ implica $f(x_1) < f(x_2)$.
-
$f$ es decreciente si $x1 < x_2$ implica $f(x_1) > f(x2)$.
Los intervalos son intervalos de $x$. Un punto donde la gráfica pasa de decreciente a creciente es un mínimo relativo. De creciente a decreciente es un máximo relativo. Ambos se llaman extremos relativos, y se dan como un punto $(x, y)$.
De esta gráfica: decreciente en $(-\infty, 1)$, creciente en $(1, \infty)$, mínimo relativo en $(1, -2)$. Para una parábola $y = ax^2 + bx + c$ el punto de giro es el vértice, en $x = -\dfrac{b}{2a}$.
Demostrarlo con álgebra. Toma dos números $x1 < x_2$ del intervalo y estudia el signo de $f(x_2) - f(x_1)$. Si siempre es positivo, la función es creciente, y si siempre es negativo, es decreciente.
A partir de la representación gráfica de la parábola $y = f(x)$, indica sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como las coordenadas de su extremo relativo.
A partir de la representación gráfica de la parábola $y = f(x)$, indica sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como las coordenadas de su extremo relativo.
El costo promedio mensual (en dólares) por unidad producida en una fábrica de componentes electrónicos viene dado por la función $C_m(x) = \frac{300x + 1200}{x}$, donde…
El costo promedio mensual (en dólares) por unidad producida en una fábrica de componentes electrónicos viene dado por la función $C_m(x) = \frac{300x + 1200}{x}$, donde $x$ es el número de unidades producidas ($x > 0$). Determina el dominio en el contexto del problema, estudia su signo y demuestra analíticamente en qué intervalos el costo promedio es creciente o decreciente.
Modelos cuadráticos: máximo y mínimo
Muchas situaciones reales se modelan con una parábola, y la pregunta casi siempre es "¿cuál es el valor más alto (o más bajo)?" La respuesta es el vértice.
Mueve los controles deslizantes: $h$ y $k$ desplazan el vértice, y el signo de $a$ convierte la parábola en colina o en valle.
Se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba. La altura $h(t)$ en pies que alcanza tras $t$ segundos viene dada por la función $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$. Determina en…
Se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba. La altura $h(t)$ en pies que alcanza tras $t$ segundos viene dada por la función $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$. Determina en qué instante alcanza la altura máxima y cuál es el valor de dicha altura.
Un agricultor dispone de $100$ pies de valla para cercar un huerto rectangular aprovechando un muro de piedra ya existente (no necesita valla en ese lado). Si $x$ es la…
Un agricultor dispone de $100$ pies de valla para cercar un huerto rectangular aprovechando un muro de piedra ya existente (no necesita valla en ese lado). Si $x$ es la longitud de los lados perpendiculares al muro, la función que describe el área es $A(x) = x(100-2x)$. Determina el dominio de la función en el contexto del problema y calcula las dimensiones que maximizan el área.
Determina los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su vértice es el punto $V(3, -4)$ y que corta al eje de abscisas…
Determina los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su vértice es el punto $V(3, -4)$ y que corta al eje de abscisas en $x = 1$.
Funciones periódicas
Una función periódica repite sus valores a intervalos regulares: existe un número $T > 0$ con $f(x + T) = f(x)$ para todo $x$. El menor de esos $T$ es el periodo. Las ruedas de la fortuna, las ondas de sonido, las mareas y el voltaje de corriente alterna de un enchufe son periódicos.
Leer el periodo en una gráfica: mide la distancia horizontal entre dos puntos idénticos consecutivos, por ejemplo de cresta a cresta o de valle a valle. De cresta a valle es solo medio periodo.
Para una onda que oscila suavemente (sinusoidal), también lees:
-
La altura máxima $M$ y la mínima $m$.
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La línea media: $\dfrac{M + m}{2}$.
-
La amplitud: $\dfrac{M - m}{2}$, la distancia de la línea media a una cresta.
Evaluar lejos del origen. Si conoces un periodo completo, puedes hallar cualquier valor restando múltiplos de $T$ hasta caer dentro del ciclo conocido.
Observa la gráfica de la siguiente función periódica que modela el voltaje en un circuito electrónico. Determina su periodo $T$ y calcula el valor de $f(17)$.
Observa la gráfica de la siguiente función periódica que modela el voltaje en un circuito electrónico. Determina su periodo $T$ y calcula el valor de $f(17)$.
La gráfica adjunta muestra la altura $h(t)$ en pies de una cabina de una rueda de la fortuna en función del tiempo $t$ en minutos. Sabiendo que el movimiento se modela…
La gráfica adjunta muestra la altura $h(t)$ en pies de una cabina de una rueda de la fortuna en función del tiempo $t$ en minutos. Sabiendo que el movimiento se modela con una función trigonométrica, determina su periodo, las alturas máxima y mínima que alcanza la cabina, y los instantes de tiempo en los que se alcanzan durante el primer ciclo completo.
Todo junto: un análisis completo a partir de una gráfica
Ahora puedes describir cualquier función. Aquí está dónde mirar en una gráfica.
| Propiedad | Cómo leerla en la gráfica |
|---|---|
| Dominio | los valores de $x$ donde existe la gráfica; los huecos y las asíntotas verticales se excluyen |
| Rango | los valores de $y$ que alcanza la gráfica |
| Simetría | imagen en espejo respecto al eje $y$: par. Media vuelta respecto al origen: impar. Si no, ninguna |
| Intersecciones | donde la gráfica corta los ejes |
| Signo | por encima del eje $x$: positivo; por debajo: negativo |
| Asíntotas | rectas discontinuas a las que se acerca la gráfica: una asíntota vertical $x = a$ donde la gráfica se dispara hacia arriba o hacia abajo, una asíntota horizontal $y = b$ donde los extremos se aplanan |
| Creciente / decreciente | se lee de izquierda a derecha |
| Extremos | crestas y valles, como puntos $(x, y)$ |
A partir de la gráfica de la función $y = f(x)$, realiza un análisis completo indicando: dominio, recorrido, simetría, ecuaciones de las asíntotas, extremos relativos e…
A partir de la gráfica de la función $y = f(x)$, realiza un análisis completo indicando: dominio, recorrido, simetría, ecuaciones de las asíntotas, extremos relativos e intervalos de signo positivo y negativo.
Volvamos al inicio: ya tienes una lista de verificación para describir cualquier gráfica por teléfono. Dominio, rango, intersecciones, signo, simetría, crecimiento y decrecimiento, extremos, asíntotas y periodo si se repite.