Un guardacostas en el Golfo de México recibe pulsos de radio de dos estaciones en la costa. El pulso de una estación llega un poco más tarde que el de la otra. Esa pequeña diferencia de tiempo basta para ubicar el barco sobre una curva muy concreta: dos ramas abiertas que se extienden sin fin. Esa curva es la hipérbola, la forma detrás de la navegación LORAN y de los lados curvos de las torres de enfriamiento de las plantas de energía. Al final de esta página podrás escribir la ecuación de la curva del barco.
La hipérbola como lugar geométrico
Compárala con la elipse: allí la suma de las distancias era constante. Aquí es la diferencia. Observa cómo se mueve el punto $P$: los dos segmentos cambian de longitud, pero su diferencia nunca cambia.
Toda hipérbola tiene las mismas partes clave. Coloca el centro en el origen y los focos en el eje $x$, en $F_1(-c, 0)$ y $F_2(c, 0)$.
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Determina el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos $F(0, 10)$ y $F'(0, -10)$ es, en valor absoluto, igual a $12$.…
Determina el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos $F(0, 10)$ y $F'(0, -10)$ es, en valor absoluto, igual a $12$. Escribe su ecuación reducida.
Para escribir la ecuación solo necesitas dos números, $a^2$ y $b^2$, y la orientación.
Cuando no conoces $a^2$ ni $b^2$ pero sí dos puntos, toma $u = \dfrac{1}{a^2}$ y $v = \dfrac{1}{b^2}$ como incógnitas. La ecuación $u x^2 - v y^2 = 1$ es lineal en $u$ y $v$, así que dos puntos dan un sistema lineal $2 \times 2$.
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Escriba la ecuación reducida de la hipérbola cuyos focos son $F(5, 0)$ y $F'(-5, 0)$ y cuyo eje real mide $8$.
Escriba la ecuación reducida de la hipérbola cuyos focos son $F(5, 0)$ y $F'(-5, 0)$ y cuyo eje real mide $8$.
Determina la ecuación de una hipérbola con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes de coordenadas, sabiendo que pasa por los puntos $A(4, \sqrt{3})$ y…
Determina la ecuación de una hipérbola con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes de coordenadas, sabiendo que pasa por los puntos $A(4, \sqrt{3})$ y $B(2\sqrt{3}, 1)$. A partir de la ecuación obtenida, calcula la distancia exacta entre sus focos.
Cuando te alejas a lo largo de una rama, la curva se endereza y se pega a dos rectas que pasan por el centro. Esas rectas son las asíntotas.
Para trazar una hipérbola rápidamente: marca el centro, dibuja el rectángulo central, traza sus diagonales (prolongadas) y dibuja cada rama desde un vértice, curvándola hacia las asíntotas. Prueba los deslizadores: la abertura de la hipérbola depende solo de la razón $b/a$.
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Dada la hipérbola de ecuación $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determine las coordenadas de sus vértices, de sus focos y las ecuaciones de sus asíntotas.
Dada la hipérbola de ecuación $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determine las coordenadas de sus vértices, de sus focos y las ecuaciones de sus asíntotas.
Determina la ecuación de una hipérbola equilátera centrada en el origen sabiendo que pasa por el punto $P(4, 2)$ y que sus focos están situados sobre el eje de abscisas.
Determina la ecuación de una hipérbola equilátera centrada en el origen sabiendo que pasa por el punto $P(4, 2)$ y que sus focos están situados sobre el eje de abscisas.
Halla la ecuación de la hipérbola centrada en el origen que tiene un foco en el punto $F(0, \sqrt{13})$ y en la que una de sus asíntotas es la recta de ecuación…
Halla la ecuación de la hipérbola centrada en el origen que tiene un foco en el punto $F(0, \sqrt{13})$ y en la que una de sus asíntotas es la recta de ecuación $2x - 3y = 0$.
El triángulo rectángulo de catetos $a$ y $b$ e hipotenusa $c$ lo conecta todo: la asíntota forma un ángulo $\theta$ con el eje transversal, y
$$\tan\theta = \frac{b}{a}, \qquad e = \frac{c}{a} = \frac{1}{\cos\theta}.$$
Dos datos más que necesitarás:
La distancia de un vértice al foco más cercano es $c - a$.
Dos rectas forman dos ángulos. El ángulo $2\theta$ entre las asíntotas que contiene a las ramas cumple $\tan\theta = \dfrac{b}{a}$. Lee bien cada problema para ver a cuál de los dos ángulos se refiere.
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Calcula la excentricidad de la hipérbola cuya ecuación general viene dada por la expresión $16x^2 - 9y^2 = 144$.
Calcula la excentricidad de la hipérbola cuya ecuación general viene dada por la expresión $16x^2 - 9y^2 = 144$.
Una lámpara de mesa proyecta luz hacia arriba y hacia abajo formando un cono luminoso. Al colocarla cerca de una pared vertical, el borde de la zona iluminada forma una…
Una lámpara de mesa proyecta luz hacia arriba y hacia abajo formando un cono luminoso. Al colocarla cerca de una pared vertical, el borde de la zona iluminada forma una hipérbola. Midiendo sobre la pared y tomando el suelo como eje de abscisas, se observa que el centro de la hipérbola está a $80\text{ cm}$ de altura. El vértice de la rama superior está a $100\text{ cm}$ del suelo. Si a una altura de $180\text{ cm}$ del suelo la anchura total de la zona iluminada es de $96\text{ cm}$, determina la excentricidad de la hipérbola proyectada.
Un cometa interestelar se aproxima al sistema solar siguiendo una trayectoria hiperbólica, con el Sol situado en uno de sus focos. En su aproximación máxima (perihelio),…
Un cometa interestelar se aproxima al sistema solar siguiendo una trayectoria hiperbólica, con el Sol situado en uno de sus focos. En su aproximación máxima (perihelio), el cometa pasa a $2\text{ UA}$ (unidades astronómicas) del Sol. Las observaciones astronómicas indican que el ángulo que forman las dos asíntotas de la trayectoria del cometa es de $60^\circ$. Tomando el Sol en el foco de abscisa positiva y el eje focal sobre el eje $X$ (con el vértice a la izquierda del Sol), determina la ecuación de la trayectoria del cometa y la distancia a la que se encontrará del Sol cuando cruce el eje de ordenadas.
Desplaza toda la figura $h$ unidades a la derecha y $k$ hacia arriba: reemplaza $x$ por $x - h$ y $y$ por $y - k$.
Mueve los deslizadores para ver cómo se desplaza el centro mientras la forma se mantiene.
Cuando la ecuación llega en forma general, completa el cuadrado en $x$ y en $y$.
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Halla las coordenadas del centro, las longitudes de los semiejes y las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es…
Halla las coordenadas del centro, las longitudes de los semiejes y las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es $\frac{(x+2)^2}{9} - \frac{(y-1)^2}{16} = 1$.
Dada la ecuación general de una cónica $9x^2 - 4y^2 + 54x + 16y + 29 = 0$, agrúpala completando cuadrados para demostrar que se trata de una hipérbola. Calcula las…
Dada la ecuación general de una cónica $9x^2 - 4y^2 + 54x + 16y + 29 = 0$, agrúpala completando cuadrados para demostrar que se trata de una hipérbola. Calcula las coordenadas de su centro, de sus focos y de sus vértices.
La curva divide el plano en tres tipos de lugares: puntos sobre la curva, puntos dentro (en la región de una rama que contiene un foco) y puntos fuera (entre las ramas). Evalúa el lado izquierdo de la ecuación en el punto.
Una recta que corta a una hipérbola
Para hallar los puntos de intersección de una recta y una hipérbola, sustituye la recta en la ecuación de la hipérbola y resuelve la ecuación resultante.
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Compruebe analíticamente si los puntos $A(5, 4)$, $B(4, 0)$ y $C(6, -3)$ son interiores, exteriores o si pertenecen a la hipérbola de ecuación…
Compruebe analíticamente si los puntos $A(5, 4)$, $B(4, 0)$ y $C(6, -3)$ son interiores, exteriores o si pertenecen a la hipérbola de ecuación $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$.
Calcula los puntos de intersección de la recta $x - y - 2 = 0$ y la hipérbola $x^2 - 2y^2 = 2$. A continuación, determina la longitud exacta de la cuerda que delimita la…
Calcula los puntos de intersección de la recta $x - y - 2 = 0$ y la hipérbola $x^2 - 2y^2 = 2$. A continuación, determina la longitud exacta de la cuerda que delimita la recta al cortar la cónica.
La tangente en $P$ toca a la hipérbola solo en $P$. La normal en $P$ es la recta que pasa por $P$ y es perpendicular a la tangente, así que su pendiente es el recíproco negativo de la pendiente de la tangente.
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Encuentra la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la hipérbola $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ en el punto $P\left(5, \frac{9}{4}\right)$.
Encuentra la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la hipérbola $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ en el punto $P\left(5, \frac{9}{4}\right)$.
Estudia, en función del parámetro $m$, la posición relativa de la familia de rectas $y = mx - 1$ respecto a la hipérbola equilátera $x^2 - y^2 = 1$. Especifica para qué…
Estudia, en función del parámetro $m$, la posición relativa de la familia de rectas $y = mx - 1$ respecto a la hipérbola equilátera $x^2 - y^2 = 1$. Especifica para qué valores de $m$ la recta corta a una sola rama, a ambas ramas, es tangente o no corta a la curva.
El sistema LORAN coloca dos estaciones de radio en los focos. Un barco mide la diferencia de tiempo entre las dos señales. Al multiplicarla por la velocidad de la señal se obtiene la diferencia de distancias, que es exactamente $2a$. Así, el barco está en una rama de una hipérbola conocida. Un segundo par de estaciones da una segunda hipérbola, y el barco está donde ambas curvas se cruzan.
Volvamos al inicio: el guardacostas está sobre la hipérbola cuyos focos son las dos estaciones y cuyo $2a$ es la velocidad de la señal por la diferencia de tiempo.
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En el diseño de una torre de enfriamiento para una central térmica, la estructura tiene forma de hiperboloide de revolución. La sección transversal vertical es una…
En el diseño de una torre de enfriamiento para una central térmica, la estructura tiene forma de hiperboloide de revolución. La sección transversal vertical es una hipérbola con el centro en el origen de coordenadas. La torre tiene una altura total de $160\text{ m}$. La parte más estrecha (la garganta) tiene un diámetro de $60\text{ m}$ y se encuentra a una altura de $120\text{ m}$ sobre la base. Además, el diámetro en la parte más alta de la torre es de $100\text{ m}$. Determina la ecuación de la hipérbola que perfila la torre y calcula el diámetro de la base circular.
El sistema de navegación LORAN determina la posición de un barco midiendo la diferencia de tiempo en la recepción de señales de dos estaciones de radio. Las estaciones…
El sistema de navegación LORAN determina la posición de un barco midiendo la diferencia de tiempo en la recepción de señales de dos estaciones de radio. Las estaciones $A$ y $B$ están situadas en un sistema de coordenadas cartesianas en los puntos $(-60, 0)$ y $(60, 0)$, con las distancias expresadas en millas. Un barco $P$ recibe la señal de $A$ un tiempo después que la de $B$, lo que indica que el barco está $100\text{ km}$ más cerca de $B$ que de $A$. Determina la ecuación de la hipérbola sobre la que navega el barco y calcula la distancia del barco a la estación $B$ si se sabe que su ordenada es $y = 45\text{ km}$.
En el diseño de un telescopio reflector tipo Cassegrain, el espejo principal es parabólico y el espejo secundario tiene la forma de una rama de hipérbola. El foco del…
En el diseño de un telescopio reflector tipo Cassegrain, el espejo principal es parabólico y el espejo secundario tiene la forma de una rama de hipérbola. El foco del espejo parabólico coincide con uno de los focos de la hipérbola, situado a $120\text{ cm}$ por delante del vértice del espejo secundario. La imagen final se forma en el otro foco de la hipérbola, situado a $30\text{ cm}$ por detrás de dicho vértice (es decir, la distancia total entre los dos focos es $150\text{ cm}$). Calcula la ecuación de la hipérbola que define el espejo secundario y su excentricidad, situando el centro de la hipérbola en el origen de coordenadas y el eje focal en el eje de abscisas.
A veces un problema te da una condición geométrica y te pide decir qué curva describe. El método no cambia: llama al punto que se mueve $P(x, y)$, traduce la condición a una ecuación en $x$ y $y$, simplifica y reconoce la curva.
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Encuentra el lugar geométrico de los puntos $P(x, y)$ tales que el producto de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos $A(4, 0)$ y $B(-4, 0)$ es…
Encuentra el lugar geométrico de los puntos $P(x, y)$ tales que el producto de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos $A(4, 0)$ y $B(-4, 0)$ es igual a $\frac{9}{16}$. Demuestra analíticamente que se trata de una hipérbola, halla su ecuación reducida, las coordenadas de sus focos y su excentricidad.
Demuestra de forma analítica que el área del triángulo formado por cualquier recta tangente a la hipérbola equilátera de ecuación $xy = k$ (con $k > 0$) y los dos ejes…
Demuestra de forma analítica que el área del triángulo formado por cualquier recta tangente a la hipérbola equilátera de ecuación $xy = k$ (con $k > 0$) y los dos ejes de coordenadas es independiente del punto de tangencia. Calcula dicho valor constante en función del parámetro $k$.
Sea la hipérbola de ecuación $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$. Encuentra, en función de $a$, $b$ y $c$, las coordenadas de los puntos $P$ pertenecientes a la…
Sea la hipérbola de ecuación $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$. Encuentra, en función de $a$, $b$ y $c$, las coordenadas de los puntos $P$ pertenecientes a la curva desde los cuales el segmento que une los dos focos $F$ y $F'$ se ve bajo un ángulo recto (es decir, los radios vectores $PF$ y $PF'$ son perpendiculares). Demuestra analíticamente que siempre existen dichos puntos para cualquier hipérbola, independientemente de su excentricidad.