Problemas de límites y continuidad
Pon sobre tu escritorio un chocolate caliente de la cafetería. Estás seguro de que terminará a la temperatura del salón, y no tienes que esperar dos horas para saberlo. Un límite es la matemática que hay detrás de esa clase de predicción: te dice hacia dónde se dirige una cantidad sin esperar a que llegue. En esta sección usarás límites, continuidad y asíntotas en problemas con contexto real.
Comportamiento a largo plazo y asíntotas horizontales
Muchas cosas se estabilizan en un valor fijo: una bebida que se enfría, una población, la cantidad de medicina en tu sangre. Ese valor estable es el límite cuando la variable tiende a infinito. En una gráfica, es una asíntota horizontal.
¿Por qué funciona la regla de los grados? Divide el numerador y el denominador entre la potencia más alta de $t$ en el denominador. Cada término de menor potencia se convierte en una fracción como $\frac{c}{t^n}$ que tiende a $0$.
La temperatura $T$ (en grados Fahrenheit) de una taza de café en función del tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la expresión $T(t) = 22 + 65 e^{-0.05t}$. Calcule el…
La temperatura $T$ (en grados Fahrenheit) de una taza de café en función del tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la expresión $T(t) = 22 + 65 e^{-0.05t}$. Calcule el límite de la temperatura cuando el tiempo tiende a infinito e interprete el significado físico de este resultado.
El número de individuos de una población de ciervos en un parque natural se modeliza mediante la función $P(t) = \frac{1500t + 400}{2t + 1}$, donde $t$ es el tiempo…
El número de individuos de una población de ciervos en un parque natural se modeliza mediante la función $P(t) = \frac{1500t + 400}{2t + 1}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en años desde 2020. ¿Hacia qué valor tiende la población a muy largo plazo?
La concentración de un fármaco en la sangre (en mg/L) después de $t$ horas de su administración viene dada por $C(t) = \frac{50t}{t^2 + 4}$. Calcule el límite de $C(t)$…
La concentración de un fármaco en la sangre (en mg/L) después de $t$ horas de su administración viene dada por $C(t) = \frac{50t}{t^2 + 4}$. Calcule el límite de $C(t)$ cuando $t \to \infty$ y razone qué le ocurre al fármaco en el organismo con el paso del tiempo.
Valores límite: costo promedio, crecimiento logístico, geometría
La misma idea se aplica a los costos, a las epidemias e incluso a la geometría. En cada caso preguntamos hacia dónde se dirige una cantidad.
Los límites también pueden describir dónde llega un punto en movimiento. Aquí, una recta que pasa por el punto fijo $A(0, 2)$ y por un punto $P$ de la parábola $y = x^2$ corta el eje $x$ en $Q$.
El costo medio de producir $x$ unidades de un componente electrónico es $\$Cm(x) = \frac{3000 + 5x}{x}$. Calcule el límite de $Cm(x)$ cuando $x \to \infty…
El costo medio de producir $x$ unidades de un componente electrónico es $\$Cm(x) = \frac{3000 + 5x}{x}$. Calcule el límite de $Cm(x)$ cuando $x \to \infty$ y explique su significado económico en términos de costos de producción.
La propagación de un virus en una ciudad sigue el modelo logístico $N(t) = \frac{100000}{1 + 4999 e^{-0.2t}}$, donde $N(t)$ es el número de infectados y $t$ son los días…
La propagación de un virus en una ciudad sigue el modelo logístico $N(t) = \frac{100000}{1 + 4999 e^{-0.2t}}$, donde $N(t)$ es el número de infectados y $t$ son los días transcurridos desde el inicio del brote. Calcule el número de infectados en el instante inicial ($t=0$) y el límite cuando $t \to \infty$. ¿Qué representa este límite en el contexto epidemiológico?
Un punto $P(x, x^2)$ se mueve sobre la parábola $y = x^2$ en el primer cuadrante. Se traza una línea recta que pasa por el punto fijo $A(0, 1)$ y por el punto $P$. Esta…
Un punto $P(x, x^2)$ se mueve sobre la parábola $y = x^2$ en el primer cuadrante. Se traza una línea recta que pasa por el punto fijo $A(0, 1)$ y por el punto $P$. Esta recta interseca al eje de abscisas en un punto $Q$. Calcule las coordenadas del punto $Q$ en función de $x$ y halle el límite de la posición de $Q$ cuando el punto $P$ se aleja hacia el infinito ($x \to \infty$).
Continuidad de modelos definidos por partes
Los planes de celular, las tarifas de estacionamiento y las escalas de pago suelen definirse por partes. Revisar la continuidad en el punto donde se unen las partes te dice si el modelo tiene un salto repentino injusto.
Una compañía telefónica cobra según la función $C(x)$ (en dólares), donde $x$ son los gigabytes consumidos en un mes:…
Una compañía telefónica cobra según la función $C(x)$ (en dólares), donde $x$ son los gigabytes consumidos en un mes:
$C(x) = \begin{cases} 15 & \text{si } 0 \le x \le 10 \\ 15 + 2(x - 10) & \text{si } x > 10 \end{cases}$
Estudie la continuidad de la función en $x = 10$ calculando los límites laterales e indique si hay algún salto brusco en la tarifa.
Límites laterales y límites que se disparan
A veces un modelo solo tiene sentido a un lado de un punto. Un tanque tiene agua solo hasta $t = 60$ minutos, así que solo podemos acercarnos a $60$ por la izquierda. Escribimos $t \to 60^-$. Otras veces los valores no se estabilizan: crecen sin cota.
Un tanque de agua de $100$ galones se vacía abriendo una válvula. El volumen de agua restante sigue la función $V(t) = 100\left(1 - \frac{t}{60}\right)^2$, donde $t$…
Un tanque de agua de $100$ galones se vacía abriendo una válvula. El volumen de agua restante sigue la función $V(t) = 100\left(1 - \frac{t}{60}\right)^2$, donde $t$ está en minutos ($0 \le t \le 60$). Calcule el límite de $V(t)$ cuando $t \to 60^-$ e interprete el resultado.
En la teoría de la relatividad, la energía cinética de una partícula de masa en reposo $m_0$ moviéndose a velocidad $v$ es…
En la teoría de la relatividad, la energía cinética de una partícula de masa en reposo $m_0$ moviéndose a velocidad $v$ es $E_c = m_0 c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1 \right)$, donde $c$ es la velocidad de la luz. Calcule el límite de $E_c$ cuando $v \to c^-$. ¿Qué implicación física tiene este resultado respecto a la posibilidad de que una partícula masiva alcance la velocidad de la luz?
La rapidez instantánea como límite
En Álgebra 1 hallaste una razón de cambio promedio: la distancia dividida entre el tiempo en un intervalo. Para obtener la rapidez en un solo instante, se reduce el intervalo hasta casi nada. El cociente parece $\frac{0}{0}$, así que primero hay que simplificar.
La tabla muestra la rapidez promedio en $[3, 3+h]$ acercándose a $11$:
| $h$ | 1 | 0.1 | 0.01 |
|---|---|---|---|
| rapidez promedio (ft/s) | 12 | 11.1 | 11.01 |
Mueve el control deslizante para ver cómo la recta secante se convierte en la recta tangente en $t = 3$.
Este límite es la primera idea de una derivada, la herramienta principal del cálculo.
La distancia recorrida por un móvil en pies viene dada por la función $e(t) = t^2 + 3t$. La velocidad media entre los instantes $t = 2$ y $t = 2+h$ se calcula mediante…
La distancia recorrida por un móvil en pies viene dada por la función $e(t) = t^2 + 3t$. La velocidad media entre los instantes $t = 2$ y $t = 2+h$ se calcula mediante el cociente $\frac{e(2+h) - e(2)}{h}$. Calcule el límite de esta expresión cuando $h \to 0$ para hallar la velocidad instantánea en $t = 2$.
Huecos, saltos y discontinuidades removibles
Si la sustitución directa da $\frac{0}{0}$, el numerador y el denominador comparten un factor. Factoriza, cancela y luego sustituye. El límite existe aunque la fórmula original no esté definida en ese punto.
No todo $\frac{0}{0}$ es un hueco. Con un valor absoluto, separa en los dos lados.
| Tipo | Qué ocurre en $x = a$ | En la gráfica |
|---|---|---|
| Removible | el límite existe, pero $f(a)$ no existe o es distinto | círculo abierto (hueco) |
| De salto | los límites laterales son números finitos distintos | la gráfica salta |
| Infinita | los valores crecen sin cota | asíntota vertical |
Cuando una fórmula de demanda como $\dfrac{p^2 - 100}{p - 10}$ tiene un hueco en $p = 10$, la causa es la forma en que está escrita la fórmula: es una fracción que no se puede evaluar a ese precio. La tendencia a ambos lados es clara, y el límite te dice el valor que el modelo «quiere» tener ahí.
La gráfica muestra la función de demanda $D(p) = \frac{p^2 - 100}{p - 10}$ para un producto, donde $p$ es el precio en dólares y $D(p)$ la cantidad demandada, válida…
La gráfica muestra la función de demanda $D(p) = \frac{p^2 - 100}{p - 10}$ para un producto, donde $p$ es el precio en dólares y $D(p)$ la cantidad demandada, válida para $p \neq 10$. Calcule analíticamente el límite de la demanda cuando el precio $p$ se acerca a $\$10$. ¿Por qué crees que el modelo matemático presenta una discontinuidad (un "hueco") exactamente en $p=10$?
La eficiencia de un panel solar en función de la temperatura $T$ (en grados Fahrenheit) viene dada por la expresión $E(T) = \frac{T^3 - 27}{T^2 - 9}$ para valores…
La eficiencia de un panel solar en función de la temperatura $T$ (en grados Fahrenheit) viene dada por la expresión $E(T) = \frac{T^3 - 27}{T^2 - 9}$ para valores cercanos a $T = 3$ (una temperatura crítica en un ensayo de laboratorio). Calcule el límite de la eficiencia cuando $T \to 3$ para determinar el valor teórico continuo en ese punto.
La trayectoria vertical de un dron en una prueba de vuelo se ha programado según la función $h(t) = \frac{|t^2 - 9|}{t - 3}$ para $t \neq 3$, donde $h$ es la altura en…
La trayectoria vertical de un dron en una prueba de vuelo se ha programado según la función $h(t) = \frac{|t^2 - 9|}{t - 3}$ para $t \neq 3$, donde $h$ es la altura en pies y $t$ el tiempo en segundos. Para evitar un fallo en el software, el ingeniero debe asignar un valor a $h(3)$. Estudie los límites laterales en $t=3$. ¿Es posible definir $h(3)$ para que la función sea continua? Explique las consecuencias físicas de este comportamiento.
Cómo hallar parámetros que hacen continua una función definida por partes
Para evitar saltos injustos, las constantes desconocidas de un modelo se eligen de modo que las partes se conecten. En cada unión, iguala el límite por la izquierda con el límite por la derecha.
Con dos incógnitas necesitas dos uniones, que dan un sistema de dos ecuaciones.
El salario mensual de un vendedor es $S(x) = \begin{cases} 1200 + 10x & \text{si } 0 \le x \le 50 \\ a + 15x & \text{si } x > 50 \end{cases}$, donde $x$ es el número de…
El salario mensual de un vendedor es $S(x) = \begin{cases} 1200 + 10x & \text{si } 0 \le x \le 50 \\ a + 15x & \text{si } x > 50 \end{cases}$, donde $x$ es el número de ventas realizadas. Halle el valor del parámetro $a$ para que la función sea continua en $x = 50$, evitando así un salto injustificado en el sueldo.
El porcentaje de impuestos $I(x)$ que paga una empresa en función de sus ganancias $x$ (en cientos de miles de dólares) se rige por la siguiente ley:…
El porcentaje de impuestos $I(x)$ que paga una empresa en función de sus ganancias $x$ (en cientos de miles de dólares) se rige por la siguiente ley:
$I(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3} & \text{si } 0 \le x < 3 \\ ax + b & \text{si } 3 \le x \le 6 \\ 12 & \text{si } x > 6 \end{cases}$
Calcule los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función impositiva sea continua en todo su dominio.
La concentración de un contaminante químico en un río se modeliza con la función:…
La concentración de un contaminante químico en un río se modeliza con la función:
$C(t) = \begin{cases} \frac{t^2 - 16}{t - 4} & \text{si } 0 \le t < 4 \\ at + b & \text{si } 4 \le t \le 8 \\ \frac{2t^2 - 32}{t - 4} & \text{si } t > 8 \end{cases}$
Halle los valores de $a$ y $b$ para que el modelo de concentración sea una función continua en todo momento.
Parámetros desconocidos en funciones racionales
A veces los datos de un modelo se dan como límites y valores, y tienes que hallar los coeficientes. Convierte cada dato en una ecuación.
Un modelo de propagación de una epidemia estima que el número de infectados (en miles) sigue la función racional $I(t) = \frac{at^2 + bt + c}{t^2 + 1}$, donde $t$ es el…
Un modelo de propagación de una epidemia estima que el número de infectados (en miles) sigue la función racional $I(t) = \frac{at^2 + bt + c}{t^2 + 1}$, donde $t$ es el tiempo en semanas. Se sabe que a muy largo plazo el número de infectados se estabiliza en $50$ mil, que en el instante inicial $t=0$ había $10$ mil infectados, y que el límite de la función cuando $t \to 1$ es $35$. Halle los parámetros $a, b, c$.
La función de demanda de un artículo de lujo es $D(p) = \frac{p^2 + ap + b}{p^2 - 4p + 3}$, donde $p$ es el precio en miles de dólares. Se sabe que la función tiene una…
La función de demanda de un artículo de lujo es $D(p) = \frac{p^2 + ap + b}{p^2 - 4p + 3}$, donde $p$ es el precio en miles de dólares. Se sabe que la función tiene una asíntota vertical en $p = 1$ pero NO tiene asíntota vertical en $p = 3$ (la discontinuidad en $p=3$ es evitable). Sabiendo que el límite de la demanda cuando $p \to 3$ es $2$, halle los parámetros $a$ y $b$.
La forma indeterminada $\infty - \infty$
Cuando se restan dos cantidades que crecen sin cota, el resultado no es evidente. Puede ser $0$, un número o $\infty$. Debes reescribir la expresión antes de tomar el límite. Con raíces cuadradas, multiplica por el conjugado. Con fracciones, combínalas sobre un denominador común, o divide primero para separar la parte que crece.
Cuando cada fracción tiene el grado del numerador mayor que el del denominador, un denominador común resulta engorroso. En su lugar, divide cada numerador entre su denominador (división larga o división sintética). Cada fracción se convierte en una parte lineal más una fracción sobrante cuyo límite es $0$. Entonces las partes lineales se pueden comparar directamente.
El beneficio a largo plazo de una empresa de tecnología viene dado por la diferencia entre dos modelos de previsión de ingresos y costos:…
El beneficio a largo plazo de una empresa de tecnología viene dado por la diferencia entre dos modelos de previsión de ingresos y costos: $B(t) = \sqrt{t^2 + 50t + 100} - \sqrt{t^2 + 10t}$, donde $t$ es el tiempo en meses. Calcule el límite del beneficio cuando $t \to \infty$ multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada.
El costo de mantenimiento de dos servidores informáticos a largo plazo viene dado por las expresiones $C_1(x) = \frac{x^3 + 2x^2}{x^2 - 1}$ y…
El costo de mantenimiento de dos servidores informáticos a largo plazo viene dado por las expresiones $C_1(x) = \frac{x^3 + 2x^2}{x^2 - 1}$ y $C_2(x) = \frac{x^2 + 5x}{x + 1}$, donde $x$ son los meses de uso continuo. Se quiere saber si la diferencia de costo entre ambos servidores se estabiliza con el tiempo. Calcule $\lim_{x \to \infty} (C_1(x) - C_2(x))$.
El número $e$ y la forma $1^\infty$
Un banco puede capitalizar el interés $n$ veces al año: $A = P\left(1 + \dfrac{r}{n}\right)^{nt}$. ¿Qué pasa si $n$ crece sin cota (capitalización continua)? La base tiende a $1$ y el exponente tiende a $\infty$, así que el resultado no es evidente.
| $n$ | 1 | 10 | 100 | 1,000 | 10,000 |
|---|---|---|---|---|---|
| $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ | 2 | 2.5937 | 2.7048 | 2.7169 | 2.7181 |
Para obtener la fórmula del interés, sea $m = \dfrac{n}{r}$, de modo que $n = mr$. Entonces $\left(1 + \dfrac{r}{n}\right)^{nt} = \left(1 + \dfrac{1}{m}\right)^{mrt} = \left[\left(1 + \dfrac{1}{m}\right)^m\right]^{rt}$. Cuando $n \to \infty$, $m \to \infty$, y el corchete tiende a $e$. Así, el saldo es $A = Pe^{rt}$.
El mismo truco funciona para cualquier límite de la forma $1^\infty$.
El capital acumulado en una cuenta bancaria con interés compuesto continuo se puede modelizar mediante el límite…
El capital acumulado en una cuenta bancaria con interés compuesto continuo se puede modelizar mediante el límite $C(t) = \lim_{n \to \infty} C_0 \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$, donde $n$ es el número de periodos de capitalización por año. Si el capital inicial es $\$C0 = 5000$ y la tasa anual es $r = 0.04$, calcule el límite para obtener la fórmula del capital continuo y determine el saldo al cabo de $t = 10$ años.
En un cultivo de bacterias en condiciones controladas, la biomasa tras $t$ horas se modeliza mediante la función…
En un cultivo de bacterias en condiciones controladas, la biomasa tras $t$ horas se modeliza mediante la función $B(t) = 50 \left( \frac{t^2 + 3t + 1}{t^2 + t + 5} \right)^{2t}$. Sabiendo que se trata de una indeterminación del tipo $1^\infty$, calcule el límite de la biomasa cuando $t \to \infty$.
Oscilaciones: $\dfrac{\sin x}{x}$ y la idea del emparedado
Las oscilaciones amortiguadas, como un péndulo que se va frenando, combinan un factor que oscila con otro que decae. Dos herramientas las resuelven.
Para un péndulo amortiguado $A(t) = e^{-kt}\dfrac{\sin(ct)}{t}$, el límite cuando $t \to 0^+$ da la amplitud inicial (la fórmula no está definida en $t = 0$, pero los valores se acercan a un número). El límite cuando $t \to \infty$ da el comportamiento a largo plazo.
Un péndulo amortiguado se suelta desde una posición inicial. Su amplitud de oscilación viene dada por la función $A(t) = e^{-0.1t} \frac{\sin(2t)}{t}$ para $t > 0$.…
Un péndulo amortiguado se suelta desde una posición inicial. Su amplitud de oscilación viene dada por la función $A(t) = e^{-0.1t} \frac{\sin(2t)}{t}$ para $t > 0$. Calcule el límite de la amplitud cuando $t \to 0^+$ (recuerde que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$) y cuando $t \to \infty$. Interprete el comportamiento del péndulo tanto en el instante inicial como a largo plazo.
El teorema del valor intermedio
Cuando un modelo mezcla distintos tipos de crecimiento, como el exponencial y el lineal, no siempre se puede resolver $f(x) = 0$ de forma exacta. El teorema del valor intermedio aun así demuestra que existe una solución.
La idea: una gráfica continua no tiene cortes, así que para pasar de estar debajo del eje $x$ a estar encima, tiene que cruzarlo.
Una empresa estima que sus ingresos mensuales (en miles de dólares) siguen la función $I(x) = 2^x - x^2$, y sus costos operativos son $C(x) = \frac{10}{x+1}$, donde $x$…
Una empresa estima que sus ingresos mensuales (en miles de dólares) siguen la función $I(x) = 2^x - x^2$, y sus costos operativos son $C(x) = \frac{10}{x+1}$, donde $x$ es el precio del producto en dólares ($x \ge 0$). Demuestre, justificando su respuesta mediante el Teorema de Bolzano, que existe un precio $x$ en el intervalo $[4, 5]$ para el cual la empresa tiene un beneficio estrictamente nulo.
Resumen
De vuelta al principio: la temperatura de una bebida caliente tiene la forma (temperatura ambiente) $+\, c\,e^{-kt}$. El término exponencial tiende a $0$, así que el límite es la temperatura ambiente. Esa es la predicción que hiciste sin esperar.