Transformaciones de funciones

Dada la función $f(x) = x^2 - 3x$, escribe la expresión algebraica de la función $g(x)$ que se obtiene al trasladar la gráfica de $f(x)$ cuatro unidades hacia la izquierda y dos unidades hacia arriba.

Un globo aerostático desciende con una velocidad constante. Su altitud en pies viene dada por $A(t) = 800 - 50t$, donde $t$ es el tiempo en minutos. Un segundo globo inicia su descenso $10$ minutos más tarde exactamente con el mismo perfil de vuelo. Escribe la expresión de la altitud del segundo globo $B(t)$ en función de $A(t)$ y desarrolla su expresión algebraica final.

El beneficio mensual de una pequeña empresa tecnológica, en miles de dólares, se modela mediante la función $B(x) = -2x^2 + 12x - 10$, donde $x$ representa el mes del año ($x=1$ para enero, etc.). La empresa decide retrasar el lanzamiento de su campaña de marketing un mes, lo que supone un desplazamiento horizontal de la curva de beneficios, y además asume un incremento de costos fijos de $3$ mil dólares mensuales. Encuentra la nueva expresión de la función de beneficios $N(x)$ y determina en qué mes se alcanzará ahora el beneficio máximo.

La función $C(x)$ representa el costo en dólares de producir $x$ componentes electrónicos. Debido a una mejora tecnológica en la cadena de montaje, ahora se puede producir el triple de componentes por exactamente el mismo costo total. Expresa la nueva función de costo $N(x)$ en términos de la función original $C(x)$.

Dada la función elemental $f(x) = \frac{1}{x}$, indica qué transformaciones geométricas (traslaciones, dilataciones, reflexiones) hay que aplicar sucesivamente, y en qué orden, para obtener la función $g(x) = -\frac{3}{x} + 2$.

Dada la función elemental $f(x) = \sqrt{x}$, queremos obtener la función $g(x) = \sqrt{4x - 12} + 5$.

Explica detalladamente dos secuencias diferentes de transformaciones geométricas (alterando el orden de las traslaciones y dilataciones horizontales) que permiten obtener $g(x)$ a partir de $f(x)$. Demuestra algebraicamente que ambas secuencias conducen a la misma expresión.

Una parábola tiene su vértice en el origen de coordenadas y pasa por el punto $(2, 4)$. Se le aplican las siguientes transformaciones de forma secuencial:

1. Una contracción horizontal que multiplica por $\frac{1}{3}$ las abscisas de sus puntos.

2. Una traslación de $5$ unidades hacia la izquierda.

3. Una reflexión respecto al eje de abscisas.

4. Una traslación de $7$ unidades hacia arriba.

Encuentra la expresión analítica de la función final $g(x)$ y determina las coordenadas exactas de su nuevo vértice y de sus puntos de corte con los ejes.

La gráfica de una función $f(x)$ pasa por el punto $P(-3, 5)$. Determina las coordenadas del punto homólogo en las gráficas de las siguientes funciones transformadas:

• $g(x) = -f(x)$

• $h(x) = f(-x)$

• $i(x) = 2f(x)$

• $j(x) = f(x) - 4$

La eficiencia de un panel solar a lo largo del día viene dada por una función $E(t)$. Se instala un nuevo modelo de panel que comienza a generar energía $2$ horas antes y, debido a un recubrimiento especial de grafeno, genera un $15\%$ más de energía en cada instante equivalente. Expresa la nueva función de eficiencia $N(t)$ en términos de $E(t)$. Si el panel original alcanzaba su máxima eficiencia a las 14:00, ¿a qué hora la alcanzará el nuevo panel?

La gráfica de la función $f(x)$ está formada por dos segmentos de recta que unen los puntos $(-4, -2)$, $(0, 4)$ y $(4, -2)$. Se define una nueva función mediante la transformación $g(x) = -f\left(\frac{x}{2}\right) + 3$.

• Describe la secuencia ordenada de transformaciones geométricas aplicadas a $f(x)$.

• Calcula las coordenadas exactas de los nuevos vértices de la gráfica de $g(x)$.

Observa la gráfica de la función $f(x)$ definida en el intervalo $[-4, 4]$. Determina el dominio y el recorrido de la función transformada $g(x) = f(x-3) + 1$.

Dada una función arbitraria $f(x)$ cuyo dominio es el intervalo $[-6, 8]$ y cuyo recorrido es el intervalo $[-4, 12]$, se define una nueva función mediante la expresión $h(x) = -2f\left(3 - \frac{x}{2}\right) + 5$.

Calcula de forma razonada, detallando los efectos de cada transformación aplicada, el dominio y el recorrido de la función $h(x)$.

En un estudio de acústica, una onda sonora base se modela mediante la función $S(t) = \sin(t)$. Para un experimento, la onda original se amplifica multiplicando su amplitud por $4$ y se hace más aguda duplicando su frecuencia. Además, se introduce un retardo en la emisión de $\frac{\pi}{4}$ segundos. Escribe la expresión analítica de la nueva onda sonora $W(t)$ y calcula su nuevo periodo.

Un cultivo de bacterias crece según la función $N(t) = 200 \cdot 3^{t/2}$, donde $t$ es el tiempo en horas. Un segundo cultivo $M(t)$ inicia con la cuarta parte de la población inicial del primero, pero su tasa de crecimiento es idéntica y se empezó a medir $4$ horas antes. Expresa $M(t)$ en términos de $N(t)$ y simplifica la expresión resultante para comprobar si ambas poblaciones serán iguales en algún momento.

Un ingeniero diseña el perfil de un puente colgante utilizando como modelo la curva $f(x) = e^{-x^2}$. Por requisitos geológicos del terreno, necesita proponer un nuevo perfil $g(x) = a \cdot f(b \cdot x - c) + d$ que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones:

• Debe tener el doble de anchura que el diseño original.

• El centro de simetría del puente debe estar desplazado $4$ unidades hacia la derecha.

• El perfil debe estar invertido (abriendo hacia arriba en lugar de hacia abajo), sin modificar su escala vertical.

• La altura mínima del nuevo perfil debe situarse exactamente a $10$ pies sobre el nivel del suelo.

Determina analíticamente los valores precisos de los parámetros $a$, $b$, $c$ y $d$.

A partir de la gráfica de la función $f(x)$ mostrada en la figura, describe los pasos geométricos necesarios para obtener la gráfica de la función $g(x) = |f(x)|$ y calcula las coordenadas de los nuevos vértices o puntos de inflexión.

Expresa la función $g(x) = |-x^2 + 4|$ como una función definida a trozos, eliminando el valor absoluto e indicando claramente los intervalos donde la expresión original cambia de signo.

En la figura se muestra la curva de luz de una estrella variable, modelada por la función $L(t) = 4 \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 10$, donde $t$ se mide en días y $L$ en unidades de luminosidad. Una densa nube de polvo cósmico oscurece la estrella de tal forma que la luminosidad observada $O(t)$ desde la Tierra es exactamente el valor absoluto de la diferencia entre $L(t)$ y su luminosidad media.

Determina la expresión analítica de $O(t)$, calcula su nuevo periodo y encuentra en qué instantes $t \in [0, 12]$ la luminosidad observada es máxima.

Asocia cada una de las expresiones analíticas con el panel correspondiente en la figura, sabiendo que todas derivan de transformaciones con valor absoluto aplicadas a la función base $y = x - 3$.

1. $y = |x| - 3$

2. $y = ||x-3| - 2|$

3. $y = ||x| - 3|$

4. $y = |x-3| - 2$

Expresa la función racional $f(x) = \frac{2x + 7}{x + 1}$ en la forma $f(x) = k + \frac{m}{x+1}$, efectuando la división de polinomios. A partir de este resultado, describe paso a paso las transformaciones geométricas que hay que aplicar a la hipérbola equilátera $y = \frac{1}{x}$ para obtener la gráfica de $f(x)$.

Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la gráfica de la función racional $f(x) = \frac{ax + 3}{x + b}$ sea simétrica con respecto al punto $C(4, 2)$.

Pista: Recuerda que una función $f(x)$ es simétrica respecto a un punto $(h, k)$ si la función trasladada al origen, $g(x) = f(x+h) - k$, resulta ser una función impar.

Sea $f(x)$ una función real impar y periódica de periodo $T=6$. A partir de ella se define la función transformada $g(x) = f(x-2) + f(x+2)$.

Demuestra analíticamente si la función $g(x)$ es par, impar o ninguna de las dos cosas. Determina también si $g(x)$ es periódica y, en caso afirmativo, calcula su periodo mínimo.

Sea la función $f(x) = \ln(x)$. Se realiza un cambio de sistema de referencia en el plano cartesiano de modo que el nuevo origen de coordenadas se sitúa en el punto $(-3, 2)$ del sistema antiguo, se invierte el sentido positivo del eje de abscisas y la unidad de medida del eje de ordenadas se reduce a la mitad. Escribe la ecuación de la curva en el nuevo sistema de coordenadas.

Una trayectoria programada para un brazo robótico viene dada por la función $y = \sqrt{R^2 - x^2}$, que describe una semicircunferencia de radio $R$ centrada en el origen. El equipo de diseño desea programar una nueva trayectoria elíptica $E(x)$ que tenga su centro en el punto $(h, k)$, un semieje horizontal de longitud $a$ y un semieje vertical de longitud $b$ (representando únicamente la mitad superior de la elipse).

Expresa la función final $E(x)$ indicando claramente la composición de transformaciones geométricas aplicadas a la función base $y = \sqrt{1 - x^2}$ (semicircunferencia de radio $1$).