"Práctica del producto punto: aplicaciones y resolución de problemas"
Malik arrastra un trineo 20 pies por una entrada de carro plana. Cuando jala la cuerda con un ángulo, solo una parte de su fuerza mueve el trineo hacia adelante. ¿Y si jala la cuerda directamente hacia arriba? ¿Ayuda en algo ese tirón? El producto punto responde preguntas como esta, y además te da ángulos, pruebas de perpendicularidad, alturas de triángulos y más. En un examen, lo difícil es reconocer qué pregunta está haciendo en realidad un problema con palabras. Esta página entrena esa habilidad.
Las dos fórmulas que siempre tienes
Todo lo de esta página sale de dos maneras de calcular el mismo número.
Algunos problemas llaman al producto punto producto escalar (scalar product) y a la magnitud módulo, y escriben los vectores con paréntesis, como $(3, -2)$. Significan lo mismo que $\langle 3, -2\rangle$ y $\|\vec u\|$ aquí.
El signo del producto punto te dice qué tipo de ángulo es, porque las magnitudes nunca son negativas.
| $\vec u\cdot\vec v$ | $\cos\theta$ | Ángulo $\theta$ |
|---|---|---|
| positivo | positivo | agudo ($0^\circ \le \theta < 90^\circ$) |
| cero | cero | recto ($90^\circ$) |
| negativo | negativo | obtuso ($90^\circ < \theta \le 180^\circ$) |
Calcula el producto escalar de los vectores $\vec{u} = (3, -2)$ y $\vec{v} = (-1, 5)$.
Calcula el producto escalar de los vectores $\vec{u} = (3, -2)$ y $\vec{v} = (-1, 5)$.
Sabiendo que los módulos de dos vectores son $|\vec{a}| = 4$ y $|\vec{b}| = 6$, y que el ángulo que forman es de $60^\circ$, determina su producto escalar.
Sabiendo que los módulos de dos vectores son $|\vec{a}| = 4$ y $|\vec{b}| = 6$, y que el ángulo que forman es de $60^\circ$, determina su producto escalar.
Halla el módulo del vector $\vec{w} = (-5, 12)$.
Halla el módulo del vector $\vec{w} = (-5, 12)$.
Comprobar y construir vectores perpendiculares
Dos preguntas distintas suenan parecido, así que sepáralas.
Determina, justificando tu respuesta mediante una operación matemática, si los vectores $\vec{p} = (4, 6)$ y $\vec{q} = (-3, 2)$ son ortogonales.
Determina, justificando tu respuesta mediante una operación matemática, si los vectores $\vec{p} = (4, 6)$ y $\vec{q} = (-3, 2)$ son ortogonales.
Calcula el valor del parámetro $k$ para que los vectores $\vec{u} = (k, 3)$ y $\vec{v} = (2, -4)$ sean perpendiculares.
Calcula el valor del parámetro $k$ para que los vectores $\vec{u} = (k, 3)$ y $\vec{v} = (2, -4)$ sean perpendiculares.
Encuentra las coordenadas de un vector que sea perpendicular a $\vec{v} = (-7, 2)$ y que tenga exactamente su mismo módulo.
Encuentra las coordenadas de un vector que sea perpendicular a $\vec{v} = (-7, 2)$ y que tenga exactamente su mismo módulo.
El ángulo entre dos vectores
Si despejas $\theta$ en la fórmula del ángulo, obtienes
$$\theta = \cos^{-1}\!\left(\frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}\right).$$La tecla $\cos^{-1}$ de tu calculadora devuelve un valor entre $0^\circ$ y $180^\circ$, que es justo el rango de un ángulo entre dos vectores. Conserva los valores exactos cuando puedas. Si $\cos\theta$ es $0$, $\tfrac12$ o $\tfrac{\sqrt3}{2}$, nombra el ángulo exacto ($90^\circ$, $60^\circ$, $30^\circ$). Si el producto punto es $0$, puedes decir $90^\circ$ sin calcular ninguna magnitud.
Calcula el ángulo que forman los vectores $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ y $\vec{b} = (-\sqrt{3}, 1)$.
Calcula el ángulo que forman los vectores $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ y $\vec{b} = (-\sqrt{3}, 1)$.
Para estabilizar el mástil de una antena de telecomunicaciones, se tensan dos cables anclados en el mismo punto del mástil y amarrados al suelo. Los vectores que…
Para estabilizar el mástil de una antena de telecomunicaciones, se tensan dos cables anclados en el mismo punto del mástil y amarrados al suelo. Los vectores que representan la dirección de los cables desde el anclaje superior hacia el suelo son $\vec{T_1} = (-4, -5)$ y $\vec{T_2} = (6, -3)$. Calcula el ángulo de separación que forman los dos cables en el punto de amarre superior.
Distancia y triángulos rectángulos
El vector de $A$ a $B$ es $\overrightarrow{AB} = \langle x_B - x_A,\ y_B - y_A\rangle$. Su magnitud es la distancia entre los puntos: $AB = \|\overrightarrow{AB}\|$. Esta es la fórmula de la distancia en lenguaje vectorial, así que no necesitas el producto punto para esto.
Calcula la distancia entre los puntos $A(2, -1)$ y $B(5, 3)$ determinando previamente las componentes del vector $\vec{AB}$.
Calcula la distancia entre los puntos $A(2, -1)$ y $B(5, 3)$ determinando previamente las componentes del vector $\vec{AB}$.
Comprueba, utilizando exclusivamente el producto escalar, si el triángulo definido por los vértices $A(1, 2)$, $B(4, 3)$ y $C(3, -1)$ es un triángulo rectángulo. En caso…
Comprueba, utilizando exclusivamente el producto escalar, si el triángulo definido por los vértices $A(1, 2)$, $B(4, 3)$ y $C(3, -1)$ es un triángulo rectángulo. En caso afirmativo, indica en qué vértice se encuentra el ángulo recto.
Dados los puntos $A(-2, 1)$ y $B(4, 5)$, halla las coordenadas de un punto $C$ situado sobre el eje de abscisas de forma que el triángulo $ABC$ sea rectángulo con el…
Dados los puntos $A(-2, 1)$ y $B(4, 5)$, halla las coordenadas de un punto $C$ situado sobre el eje de abscisas de forma que el triángulo $ABC$ sea rectángulo con el ángulo recto en el vértice $C$. ¿Cuántas soluciones posibles existen para el punto $C$?
Construir un vector a partir de condiciones
Arrastra el punto para ver cómo se relacionan las componentes de un vector con su longitud y su cuadrante.
A veces las condiciones son una magnitud y un producto punto con un vector conocido. La condición del producto punto da una recta en $x$ y $y$, y la magnitud da una circunferencia, así que obtienes un sistema.
En el motor físico de un videojuego, un personaje situado en la coordenada $P(10, 15)$ debe disparar un proyectil en la dirección del vector $\vec{d} = (3, -4)$ a una…
En el motor físico de un videojuego, un personaje situado en la coordenada $P(10, 15)$ debe disparar un proyectil en la dirección del vector $\vec{d} = (3, -4)$ a una velocidad constante de $20$ unidades de distancia por fotograma. Determina el vector velocidad $\vec{v}$ exacto del proyectil, sabiendo que debe tener la misma dirección y sentido que $\vec{d}$ pero con módulo $20$.
Encuentra las coordenadas de un vector $\vec{w} = (x, y)$ sabiendo que su módulo es $\sqrt{13}$ y que su producto escalar con el vector $\vec{v} = (2, 3)$ da como…
Encuentra las coordenadas de un vector $\vec{w} = (x, y)$ sabiendo que su módulo es $\sqrt{13}$ y que su producto escalar con el vector $\vec{v} = (2, 3)$ da como resultado $13$.
Un punto que hace un segmento perpendicular a una recta
Un brazo robótico, una rampa o un sensor muchas veces tiene que ir de un punto $P$ a una recta de modo que el camino llegue a la recta formando un ángulo recto. La receta usa el vector director de la recta.
Un brazo robótico industrial se desplaza en un plano bidimensional. Su pinza se encuentra inicialmente en el punto $P(2, 5)$ y debe moverse en línea recta hasta un punto…
Un brazo robótico industrial se desplaza en un plano bidimensional. Su pinza se encuentra inicialmente en el punto $P(2, 5)$ y debe moverse en línea recta hasta un punto $Q$ situado sobre una cinta transportadora, cuya trayectoria está definida por la recta $x - 2y + 4 = 0$. Si el vector de desplazamiento $\vec{PQ}$ debe ser ortogonal a la dirección de la cinta transportadora, determina las coordenadas exactas del punto $Q$.
Trabajo: cuánta fuerza mueve el objeto
El trabajo que realiza una fuerza constante $\vec F$ a lo largo de un desplazamiento $\vec d$ es un producto punto:
$$W = \vec F\cdot\vec d = \|\vec F\|\,\|\vec d\|\cos\theta.$$Solo cuenta la parte de la fuerza que apunta en la dirección del movimiento. Si $\theta = 90^\circ$, entonces $\cos\theta = 0$ y la fuerza no realiza trabajo.
Si la fuerza está dada en newtons y la distancia en pies, el trabajo sale en newton-pies (N·ft). Lleva siempre las unidades del problema.
En física, el trabajo $W$ realizado por una fuerza constante $\vec{F}$ al desplazar un objeto a lo largo de un vector de desplazamiento $\vec{d}$ se calcula mediante el…
En física, el trabajo $W$ realizado por una fuerza constante $\vec{F}$ al desplazar un objeto a lo largo de un vector de desplazamiento $\vec{d}$ se calcula mediante el producto escalar $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$. Si una grúa aplica una fuerza $\vec{F} = (150, -40)$ Newtons para mover un contenedor desde el punto $A(2, 5)$ hasta el punto $B(12, 5)$ (coordenadas expresadas en pies), calcula el trabajo total realizado.
Proyecciones, alturas y combinaciones lineales
La idea detrás del trabajo (cuánto de un vector queda a lo largo de otro) tiene nombre: la proyección.
La parte sobrante perpendicular es la altura del triángulo con base $\vec v$ y tercer lado $\vec u$. Eso da una manera de hallar un área usando solo productos punto.
Las proyecciones también ayudan con las combinaciones lineales. Para escribir $\vec c = \alpha\vec a + \beta\vec b$ siempre puedes resolver un sistema de $2\times 2$. Cuando $\vec a\cdot\vec b = 0$, el producto punto te dice algo más: $\vec a$ y $\vec b$ son perpendiculares, así que forman una base perpendicular.
Calcula el vector proyección ortogonal del vector $\vec{u} = (4, -3)$ sobre el vector $\vec{v} = (1, 2)$.
Calcula el vector proyección ortogonal del vector $\vec{u} = (4, -3)$ sobre el vector $\vec{v} = (1, 2)$.
Dados los vectores $\vec{a} = (3, -1)$ y $\vec{b} = (1, 3)$, expresa el vector $\vec{c} = (7, 1)$ como combinación lineal de $\vec{a}$ y $\vec{b}$. Una vez resuelto,…
Dados los vectores $\vec{a} = (3, -1)$ y $\vec{b} = (1, 3)$, expresa el vector $\vec{c} = (7, 1)$ como combinación lineal de $\vec{a}$ y $\vec{b}$. Una vez resuelto, calcula el producto escalar de $\vec{a}$ y $\vec{b}$ e interpreta geométricamente el resultado.
Calcula el área exacta del triángulo determinado por los vértices $A(1, 1)$, $B(5, 2)$ y $C(3, 6)$. Para ello, utiliza la proyección ortogonal del vector $\vec{AC}$…
Calcula el área exacta del triángulo determinado por los vértices $A(1, 1)$, $B(5, 2)$ y $C(3, 6)$. Para ello, utiliza la proyección ortogonal del vector $\vec{AC}$ sobre el vector $\vec{AB}$ para determinar la altura del triángulo, y el módulo de $\vec{AB}$ como la base.
Propiedades del producto punto y demostraciones vectoriales
Una demostración vectorial sigue un patrón estándar. Nombra los lados con vectores, expresa las diagonales o los segmentos en términos de ellos y muestra que un producto punto es $0$ (perpendicularidad) o que se cumple una identidad de magnitudes.
Para un rombo, la condición adicional es $\|\vec u\| = \|\vec v\|$ en lugar de $\vec u\cdot\vec v = 0$. Las diagonales son $\vec u + \vec v$ y $\vec v - \vec u$, y quieres mostrar que su producto punto es $0$.
De los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sabemos que $|\vec{u}| = 3$, $|\vec{v}| = 5$ y que forman un ángulo de $120^\circ$. Aplicando las propiedades del producto escalar,…
De los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sabemos que $|\vec{u}| = 3$, $|\vec{v}| = 5$ y que forman un ángulo de $120^\circ$. Aplicando las propiedades del producto escalar, calcula el valor exacto de la expresión $(2\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + 3\vec{v})$.
Demuestra de forma vectorial, utilizando las propiedades del producto escalar, que las diagonales de cualquier rombo se cortan perpendicularmente. Para ello, considera…
Demuestra de forma vectorial, utilizando las propiedades del producto escalar, que las diagonales de cualquier rombo se cortan perpendicularmente. Para ello, considera un rombo generado por dos vectores libres $\vec{u}$ y $\vec{v}$ que parten del mismo vértice y cumplen que $|\vec{u}| = |\vec{v}|$.
Sabiendo que $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son dos vectores unitarios, determina el ángulo que deben formar entre sí para que el vector suma $\vec{u} + \vec{v}$ tenga un módulo…
Sabiendo que $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son dos vectores unitarios, determina el ángulo que deben formar entre sí para que el vector suma $\vec{u} + \vec{v}$ tenga un módulo igual a $\sqrt{3}$.
Condiciones de ángulo con incógnitas
Cuando un problema te da un ángulo y te pide un número o un vector desconocido, escribe la fórmula del ángulo como una ecuación y resuélvela.
Determina los posibles valores del parámetro $m$ para que los vectores $\vec{u} = (m, 1)$ y $\vec{v} = (2, m)$ formen un ángulo de $30^\circ$.
Determina los posibles valores del parámetro $m$ para que los vectores $\vec{u} = (m, 1)$ y $\vec{v} = (2, m)$ formen un ángulo de $30^\circ$.
Encuentra las coordenadas de todos los vectores $\vec{a} = (x, y)$ que formen un ángulo exacto de $45^\circ$ con el vector $\vec{b} = (2, -2)$ y cuyo módulo sea…
Encuentra las coordenadas de todos los vectores $\vec{a} = (x, y)$ que formen un ángulo exacto de $45^\circ$ con el vector $\vec{b} = (2, -2)$ y cuyo módulo sea exactamente la mitad del módulo de $\vec{b}$.
En la instalación de un panel solar, el vector normal (perpendicular a la superficie del panel) viene dado por $\vec{n} = (k, \sqrt{3})$. Los rayos del sol inciden sobre…
En la instalación de un panel solar, el vector normal (perpendicular a la superficie del panel) viene dado por $\vec{n} = (k, \sqrt{3})$. Los rayos del sol inciden sobre el panel según el vector $\vec{s} = (1, -1)$. Calcula el valor positivo del parámetro $k$ para que el ángulo de incidencia (el ángulo formado entre el vector normal $\vec{n}$ y el vector opuesto a los rayos del sol $-\vec{s}$) sea de $60^\circ$.