Rectas paralelas, secantes y coincidentes
Una urbanista está dibujando en un mapa dos ciclovías rectas. ¿Se cruzarán alguna vez? ¿Correrán una al lado de la otra para siempre? ¿O son en secreto la misma ciclovía dibujada dos veces? En esta sección aprenderás a responder eso solo con las ecuaciones, sin graficar nada.
Tres maneras en que dos rectas pueden encontrarse
Cuando las dos rectas están en forma pendiente-intersección $y = mx + b$, puedes leer la posición directamente de las ecuaciones.
Pruébalo: mueve el deslizador para que la segunda recta tenga la misma pendiente que la primera. ¿Qué observas?
Dadas las rectas $r: y = \frac{3}{2}x - 1$ y $s: y = \frac{3}{2}x + 4$, indica su posición relativa justificando tu respuesta a partir del valor de sus pendientes.
Dadas las rectas $r: y = \frac{3}{2}x - 1$ y $s: y = \frac{3}{2}x + 4$, indica su posición relativa justificando tu respuesta a partir del valor de sus pendientes.
Comparación de coeficientes en $Ax + By + C = 0$
Con frecuencia las rectas vienen dadas en forma estándar $Ax + By + C = 0$. Podrías despejar $y$ cada vez, pero hay un criterio más rápido. La pendiente de $Ax + By + C = 0$ es $m = -\dfrac{A}{B}$, así que dos rectas tienen la misma pendiente exactamente cuando $\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2}$.
Determina la posición relativa de las rectas $r: 2x - 3y + 5 = 0$ y $s: -4x + 6y - 10 = 0$ comparando directamente sus coeficientes.
Determina la posición relativa de las rectas $r: 2x - 3y + 5 = 0$ y $s: -4x + 6y - 10 = 0$ comparando directamente sus coeficientes.
Averigua el valor del parámetro $k$ para que las rectas $r: kx + 4y - 2 = 0$ y $s: 3x - 2y + 5 = 0$ sean estrictamente paralelas.
Averigua el valor del parámetro $k$ para que las rectas $r: kx + 4y - 2 = 0$ y $s: 3x - 2y + 5 = 0$ sean estrictamente paralelas.
Halla el valor de $m$ para que las rectas $r: mx - 6y + 1 = 0$ y $s: 2x + 3y - 4 = 0$ sean secantes y no paralelas.
Halla el valor de $m$ para que las rectas $r: mx - 6y + 1 = 0$ y $s: 2x + 3y - 4 = 0$ sean secantes y no paralelas.
Vectores de dirección, formas paramétrica y simétrica
Si una recta viene dada en forma paramétrica, como un par de puntos o en forma simétrica, no necesitas convertirla. Compara los vectores de dirección $\vec u_r = \langle a_1, b_1 \rangle$ y $\vec u_s = \langle a_2, b_2 \rangle$.
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Forma paramétrica: $x = x_0 + at,\ y = y_0 + bt$ tiene vector de dirección $\langle a, b \rangle$ y pasa por $(x_0, y_0)$.
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Forma simétrica: $\dfrac{x - x_0}{a} = \dfrac{y - y_0}{b}$ tiene el mismo vector de dirección y el mismo punto.
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Dos puntos: la recta que pasa por $A$ y $B$ tiene vector de dirección $\overrightarrow{AB} = B - A$.
Determina la posición relativa de las rectas dadas en forma paramétrica $r: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3 + t \end{cases}$ y…
Determina la posición relativa de las rectas dadas en forma paramétrica $r: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -3 + t \end{cases}$ y $s: \begin{cases} x = 5 - 4\lambda \\ y = 2 - 2\lambda \end{cases}$.
Estudia la posición relativa de la recta $r$, que pasa por los puntos $A(1, 2)$ y $B(3, 5)$, y la recta $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{3}$.
Estudia la posición relativa de la recta $r$, que pasa por los puntos $A(1, 2)$ y $B(3, 5)$, y la recta $s: \frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{3}$.
Dadas las rectas $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3}$ y $s: 3x - 2y + k = 0$, averigua si existe algún valor del parámetro $k$ para el cual las rectas sean coincidentes.…
Dadas las rectas $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3}$ y $s: 3x - 2y + k = 0$, averigua si existe algún valor del parámetro $k$ para el cual las rectas sean coincidentes. Razona tu respuesta de forma analítica.
Cómo hallar el punto de intersección
Si dos rectas son secantes, su punto común cumple ambas ecuaciones. Así que lo hallas resolviendo el sistema, igual que en Álgebra 1: sustitución o eliminación.
Resolver el sistema también te dice la posición, aunque no la supieras de antemano:
| Qué pasa al resolver | Posición |
|---|---|
| Obtienes un valor para cada variable | secantes |
| Obtienes una afirmación falsa como $0 = 4$ | paralelas (sin solución) |
| Obtienes una afirmación verdadera como $0 = 0$ | coincidentes (infinitas soluciones) |
Calcula las coordenadas exactas del punto de corte de las rectas secantes $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: 3x - y - 5 = 0$.
Calcula las coordenadas exactas del punto de corte de las rectas secantes $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: 3x - y - 5 = 0$.
Dos drones de exploración siguen trayectorias rectilíneas descritas por las ecuaciones $r: x - y + 2 = 0$ y $s: 2x + y - 8 = 0$. Calcula las coordenadas del punto del…
Dos drones de exploración siguen trayectorias rectilíneas descritas por las ecuaciones $r: x - y + 2 = 0$ y $s: 2x + y - 8 = 0$. Calcula las coordenadas del punto del plano donde sus trayectorias se cruzan.
Un rayo de luz en un experimento de óptica sigue la trayectoria descrita por la recta $r: x - 2y + 4 = 0$. Un espejo plano está colocado exactamente sobre el eje de…
Un rayo de luz en un experimento de óptica sigue la trayectoria descrita por la recta $r: x - 2y + 4 = 0$. Un espejo plano está colocado exactamente sobre el eje de abscisas ($y = 0$). Determina las coordenadas del punto de incidencia del rayo sobre el espejo.
Combinación de formas
Los problemas rara vez dan ambas rectas en la misma forma. Un plan confiable:
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Convierte cada recta a la forma más fácil de comparar: la forma general para el criterio de los coeficientes, o vector de dirección + punto para una verificación rápida.
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Decide la posición.
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Si las rectas son secantes, resuelve el sistema.
Para escribir una recta que pasa por un punto con una pendiente dada o una dirección dada $\langle a, b \rangle$, usa la forma punto-pendiente $y - y_1 = m(x - x_1)$ con $m = \dfrac{b}{a}$ y luego pasa todo a un lado.
En un sistema de seguridad, dos haces láser se modelan en un plano coordenado. El primer haz sigue la recta $r: x + y - 6 = 0$ y el segundo pasa por los emisores…
En un sistema de seguridad, dos haces láser se modelan en un plano coordenado. El primer haz sigue la recta $r: x + y - 6 = 0$ y el segundo pasa por los emisores ubicados en $P(2, 1)$ y $Q(-2, -1)$. Determina si los haces láser son paralelos, coincidentes o si se cruzan. Si se cruzan, halla el punto exacto de intersección.
Las trayectorias de dos aviones en la pantalla de un radar bidimensional vienen dadas por $r: \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 1 - t \end{cases}$ y…
Las trayectorias de dos aviones en la pantalla de un radar bidimensional vienen dadas por $r: \begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = 1 - t \end{cases}$ y $s: \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 4 + \lambda \end{cases}$. Comprueba si las rutas se cruzan y, en caso afirmativo, calcula el punto de intersección de las trayectorias en el plano.
Un arquitecto diseña dos pasarelas rectas en un parque. La pasarela A sigue la dirección del vector $\vec{u} = (4, -2)$ y pasa por la fuente ubicada en $F(0, 5)$. La…
Un arquitecto diseña dos pasarelas rectas en un parque. La pasarela A sigue la dirección del vector $\vec{u} = (4, -2)$ y pasa por la fuente ubicada en $F(0, 5)$. La pasarela B viene dada por la ecuación $x + 2y - 10 = 0$. Demuestra analíticamente que ambas pasarelas se superponen, siendo en realidad la misma recta.
Posición según un parámetro
Cuando una ecuación contiene un parámetro como $m$, la posición puede cambiar con $m$. Este es el procedimiento estándar.
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Escribe la condición de "misma dirección" $A_1B_2 - A_2B_1 = 0$ y resuélvela para el parámetro. Esos son los valores críticos.
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Para cada valor crítico, sustitúyelo en ambas ecuaciones y compara las tres razones: ¿paralelas o coincidentes?
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Para cualquier otro valor del parámetro, las rectas son secantes.
Discute la posición relativa de las rectas $r: (m-1)x + 2y - 3 = 0$ y $s: 4x + (m+1)y - 6 = 0$ en función de los posibles valores del parámetro $m$.
Discute la posición relativa de las rectas $r: (m-1)x + 2y - 3 = 0$ y $s: 4x + (m+1)y - 6 = 0$ en función de los posibles valores del parámetro $m$.
Discute la posición relativa de las rectas $r: ax + y - b = 0$ y $s: 2x - ay + 4 = 0$ realizando un análisis exhaustivo en función de los parámetros simultáneos $a$ y…
Discute la posición relativa de las rectas $r: ax + y - b = 0$ y $s: 2x - ay + 4 = 0$ realizando un análisis exhaustivo en función de los parámetros simultáneos $a$ y $b$.
Las órbitas proyectadas de dos cometas en un plano espacial siguen las trayectorias $r: (m+1)x + my - 2 = 0$ y $s: mx + (m-1)y - 1 = 0$. Determina si existe algún…
Las órbitas proyectadas de dos cometas en un plano espacial siguen las trayectorias $r: (m+1)x + my - 2 = 0$ y $s: mx + (m-1)y - 1 = 0$. Determina si existe algún momento (valor de $m$) en el que las trayectorias sean estrictamente paralelas. ¿Para qué valores de $m$ las órbitas se cruzan en un único punto?
Tres rectas a la vez
Tres rectas en el plano pueden formar un triángulo, o no. Tres rectas son concurrentes si todas pasan por un mismo punto.
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Para obtener los vértices del triángulo, halla la intersección de las rectas de dos en dos (tres pares, tres vértices).
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Para comprobar o forzar la concurrencia, halla la intersección de dos de las rectas y sustituye ese punto en la tercera ecuación.
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No se forma triángulo cuando las rectas son concurrentes o cuando al menos dos de ellas son paralelas (o coincidentes).
Calcula el valor de $k$ para que las rectas $r: 2x - y + 1 = 0$, $s: x + y - 4 = 0$ y $t: 3x + ky - 2 = 0$ se corten exactamente en el mismo punto del plano.
Calcula el valor de $k$ para que las rectas $r: 2x - y + 1 = 0$, $s: x + y - 4 = 0$ y $t: 3x + ky - 2 = 0$ se corten exactamente en el mismo punto del plano.
Halla las coordenadas de los vértices del triángulo formado por la intersección de las tres rectas $r: x - y - 2 = 0$, $s: 2x + 3y - 9 = 0$ y $t: x + 4y - 12 = 0$.
Halla las coordenadas de los vértices del triángulo formado por la intersección de las tres rectas $r: x - y - 2 = 0$, $s: 2x + 3y - 9 = 0$ y $t: x + 4y - 12 = 0$.
Tres carreteras rectas se modelan en un plano topográfico mediante las ecuaciones $r: x + 2y - 4 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ y $t: ax + y - 2 = 0$. Determina los valores…
Tres carreteras rectas se modelan en un plano topográfico mediante las ecuaciones $r: x + 2y - 4 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ y $t: ax + y - 2 = 0$. Determina los valores del parámetro $a$ para los cuales las tres carreteras se cortan en un único punto o son paralelas entre sí, impidiendo que se forme un triángulo delimitado por ellas.
Familias de rectas
Toma dos rectas secantes $L_1 = 0$ y $L_2 = 0$ y forma $L_1 + kL_2 = 0$, donde $k$ es cualquier número real. Cada valor de $k$ da una recta distinta. (Algunos problemas llaman a esta colección haz de rectas; es una familia de rectas.)
La misma idea de "fijar el punto de intersección" ayuda cuando el problema dice que la intersección está en una recta dada.
Determina el valor o valores de $k$ para que el punto de intersección de las rectas secantes $r: 2x + ky - 6 = 0$ y $s: x - y + 2 = 0$ pertenezca a la bisectriz del…
Determina el valor o valores de $k$ para que el punto de intersección de las rectas secantes $r: 2x + ky - 6 = 0$ y $s: x - y + 2 = 0$ pertenezca a la bisectriz del primer y tercer cuadrante ($y = x$).
Se considera la familia o haz de rectas definido por la expresión matemática $(2x - y + 1) + k(x + 2y - 3) = 0$. Demuestra que todas las rectas que componen este haz se…
Se considera la familia o haz de rectas definido por la expresión matemática $(2x - y + 1) + k(x + 2y - 3) = 0$. Demuestra que todas las rectas que componen este haz se cortan en un mismo punto fijo y calcula sus coordenadas. A continuación, halla la ecuación general de la recta de este haz que es paralela a $s: 3x - 4y + 5 = 0$.
Aplicaciones geométricas
Aquí hay tres herramientas que aparecen en problemas más difíciles.
Rebote en un espejo (reflexión)
Cuando un rayo llega a un espejo recto, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Una manera limpia de hallar el rebote: refleja un punto del rayo incidente respecto del espejo. El rayo reflejado está en la recta que pasa por el punto de impacto y ese punto reflejado.
Un paralelogramo tiene dos de sus lados sobre las rectas $r: x - 2y + 4 = 0$ y $s: x - 2y - 6 = 0$. Otro de sus lados se encuentra sobre la recta $t: 2x + y - 2 = 0$.…
Un paralelogramo tiene dos de sus lados sobre las rectas $r: x - 2y + 4 = 0$ y $s: x - 2y - 6 = 0$. Otro de sus lados se encuentra sobre la recta $t: 2x + y - 2 = 0$. Sabiendo que uno de los vértices del paralelogramo es el punto $P(4, 4)$, calcula la ecuación de la recta que contiene al cuarto lado y determina las coordenadas exactas de los cuatro vértices.
Una bola de billar sigue la trayectoria dada por la recta $r: x - y + 2 = 0$ y rebota en la banda representada por la recta $s: x + 2y - 8 = 0$. Sabiendo que el ángulo…
Una bola de billar sigue la trayectoria dada por la recta $r: x - y + 2 = 0$ y rebota en la banda representada por la recta $s: x + 2y - 8 = 0$. Sabiendo que el ángulo de incidencia es igual al de reflexión, calcula las coordenadas del punto exacto donde la bola impacta con la banda y averigua la ecuación de la recta que describe la trayectoria tras el rebote.
Dadas las rectas $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - 2\lambda \end{cases}$ y $s: ax + by - 5 = 0$, calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que…
Dadas las rectas $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - 2\lambda \end{cases}$ y $s: ax + by - 5 = 0$, calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que ambas rectas sean idénticas. Posteriormente, halla la ecuación general de una recta perpendicular a ambas que pase por el origen de coordenadas.
Volvamos al principio: ahora puedes saber, solo con las ecuaciones, si las dos ciclovías son paralelas, se cruzan en un punto o son la misma. Comparas las pendientes, los coeficientes $A$, $B$, $C$ o los vectores de dirección, y si se cruzan resuelves el sistema para hallar exactamente dónde.