Cálculo de límites
El club de robótica de tu escuela encarga camisetas personalizadas. La tienda cobra $\$50$ de cargo inicial más $\$8$ por camiseta. Para 10 camisetas el costo promedio es de $\$13$ cada una, para 100 camisetas es de $\$8.50$ y para 1,000 camisetas es de $\$8.05$. ¿Hacia dónde se dirige ese promedio si el pedido sigue creciendo? Y, ¿qué haces cuando al sustituir un número obtienes una respuesta sin sentido como $\frac{0}{0}$? Esta página te da las herramientas para calcular límites de forma exacta, en lugar de adivinar con una tabla.
Sustitución directa
Lo primero que debes probar es siempre lo más sencillo: sustituir $x = a$. Para la mayoría de las funciones que conoces, eso es todo lo que necesitas.
Después de sustituir, el resultado te dice qué hacer a continuación.
Calcula el valor del siguiente límite sustituyendo directamente: $\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - x + 1}{x + 3}$
Calcula el valor del siguiente límite sustituyendo directamente:
$\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - x + 1}{x + 3}$
Límites en el infinito de polinomios y funciones racionales
Cuando $x$ es enorme (positiva o negativa), el término de mayor potencia domina a todos los demás. Esa es toda la idea.
Para un cociente de polinomios, compara los grados.
La gráfica se aplana hacia la asíntota horizontal $y = \frac{4}{3}$ en ambos extremos.
Determina el límite en el infinito del siguiente polinomio prestando atención a los signos: $\lim_{x \to -\infty} (-4x^3 + 2x^2 - 5x + 1)$
Determina el límite en el infinito del siguiente polinomio prestando atención a los signos:
$\lim_{x \to -\infty} (-4x^3 + 2x^2 - 5x + 1)$
Calcula el límite de la siguiente función racional cuando $x$ tiende a infinito: $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 2}{2x^2 + 4x - 1}$
Calcula el límite de la siguiente función racional cuando $x$ tiende a infinito:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 2}{2x^2 + 4x - 1}$
Halla el valor del siguiente límite observando los grados del numerador y del denominador: $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x - 7}{x^3 + 2x^2 - 5}$
Halla el valor del siguiente límite observando los grados del numerador y del denominador:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x - 7}{x^3 + 2x^2 - 5}$
Límites exponenciales y logarítmicos
Las exponenciales y los logaritmos también tienen un comportamiento claro a largo plazo.
Las propiedades de los logaritmos convierten una diferencia complicada en un solo cociente.
Determina el valor de los siguientes límites exponenciales basándote en el valor de sus bases: $\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{4}{3}\right)^x$ y…
Determina el valor de los siguientes límites exponenciales basándote en el valor de sus bases:
$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{4}{3}\right)^x$ y $\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^x$
El número de usuarios registrados en una nueva plataforma de streaming, expresado en miles, se modela mediante la función logística…
El número de usuarios registrados en una nueva plataforma de streaming, expresado en miles, se modela mediante la función logística $U(t) = \frac{500}{1 + 49 e^{-0.2t}}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento. ¿Hacia qué valor tiende el número de usuarios con el paso del tiempo?
Resuelve el siguiente límite aplicando las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión antes de evaluar la tendencia en el infinito:…
Resuelve el siguiente límite aplicando las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión antes de evaluar la tendencia en el infinito:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^3 + 2x) - \ln(x^2 - 1)}{\ln(5x) - \ln(x + 3)}$
Límites laterales y lectura de gráficas
A veces la función se comporta de manera distinta a cada lado de $a$. Escribimos $\lim_{x\to a^-} f(x)$ para el límite cuando $x$ se acerca a $a$ por la izquierda (valores menores que $a$) y $\lim_{x\to a^+} f(x)$ para el límite por la derecha.
Un cociente cuyo denominador tiende a $0$ (y cuyo numerador no) explota. Revisa el signo a cada lado.
Las funciones definidas por partes son el otro caso clásico: usa la parte que corresponde a cada lado.
Leer límites en una gráfica funciona igual: sigue la curva hacia $x=a$ por cada lado y anota la altura hacia la que se dirige. Ignora el punto real en $x=a$: un círculo abierto o un hueco no cambia un límite. Para $x\to+\infty$, observa dónde se nivela el extremo derecho de la curva (una asíntota horizontal) o si sigue subiendo o bajando.
Calcula los límites laterales de la función en $x = 1$ e indica si existe el límite ordinario: $\lim_{x \to 1} \frac{2x}{x - 1}$
Calcula los límites laterales de la función en $x = 1$ e indica si existe el límite ordinario:
$\lim_{x \to 1} \frac{2x}{x - 1}$
Dada la siguiente función definida a trozos, calcula los límites laterales en $x = 2$ y determina si existe $\lim_{x \to 2} f(x)$:…
Dada la siguiente función definida a trozos, calcula los límites laterales en $x = 2$ y determina si existe $\lim_{x \to 2} f(x)$:
$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 2 \\ x^2 + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$
Observa la gráfica de la función $f(x)$ que representa el perfil de temperatura de un proceso químico en función del tiempo $x$. Determina gráficamente los siguientes…
Observa la gráfica de la función $f(x)$ que representa el perfil de temperatura de un proceso químico en función del tiempo $x$. Determina gráficamente los siguientes límites: $\lim_{x \to 2^-} f(x)$, $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
Formas indeterminadas y factorización
Esta es la lista completa de formas que la sustitución no puede resolver:
$$\frac{0}{0} \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad \infty-\infty \qquad 0\cdot\infty \qquad 1^{\infty}$$Cuando un cociente de polinomios da $\frac{0}{0}$ en $x=a$, ambos polinomios tienen una raíz en $a$. Por el teorema del factor, $(x-a)$ divide a ambos. Factoriza, cancela y luego sustituye.
En la gráfica, la función tiene un hueco en $x=-2$ (el límite existe, pero la función no está definida ahí) y una asíntota vertical en $x=2$.
Una situación relacionada: hallar un parámetro para que exista un límite.
Resuelve la siguiente indeterminación factorizando los polinomios: $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}$
Resuelve la siguiente indeterminación factorizando los polinomios:
$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}$
Halla el valor del parámetro $k$ para que el siguiente límite exista y sea un número real, y a continuación calcula dicho límite:…
Halla el valor del parámetro $k$ para que el siguiente límite exista y sea un número real, y a continuación calcula dicho límite:
$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + kx - 6}{x - 2}$
Conjugados con radicales
Cuando el $\frac{0}{0}$ (o $\infty-\infty$) viene con una raíz cuadrada, la factorización no funciona. Multiplica mejor por el conjugado. Como $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, el conjugado convierte la raíz en una expresión sin radical.
El mismo truco funciona en el infinito para $\infty-\infty$ con una raíz. Agrega un paso más: divide el numerador y el denominador entre la mayor potencia de $x$.
Calcula el siguiente límite multiplicando numerador y denominador por la expresión conjugada adecuada: $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x^2 - 16}$
Calcula el siguiente límite multiplicando numerador y denominador por la expresión conjugada adecuada:
$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x^2 - 16}$
Resuelve la siguiente indeterminación con radicales en el infinito multiplicando por el conjugado: $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 5x} - x \right)$
Resuelve la siguiente indeterminación con radicales en el infinito multiplicando por el conjugado:
$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 5x} - x \right)$
Cómo manejar $\infty-\infty$
Tienes varias estrategias. Elige la que corresponda a la expresión:
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Dos fracciones: combínalas sobre un denominador común.
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Una raíz menos otra cosa: multiplica por el conjugado (la sección anterior).
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Raíces con índices distintos: separa la expresión y trata cada parte por separado.
Dos límites pueden terminar un problema que tiene un parámetro desconocido. Para que el límite sea finito, los términos principales deben cancelarse.
Cuando las raíces tienen índices distintos, resta y suma $x$ para que cada parte sea un $\infty-\infty$ estándar que puedas resolver por separado. Para una raíz cúbica usa $A-B=\dfrac{A^3-B^3}{A^2+AB+B^2}$.
Para una expresión como $\sqrt[3]{x^3+6x^2}-\sqrt{x^2+2x}$, escríbela como $\left(\sqrt[3]{x^3+6x^2}-x\right)-\left(\sqrt{x^2+2x}-x\right)$ y halla el límite de cada paréntesis.
Resuelve la siguiente indeterminación del tipo $\infty - \infty$ operando previamente las fracciones algebraicas:…
Resuelve la siguiente indeterminación del tipo $\infty - \infty$ operando previamente las fracciones algebraicas:
$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^3 + 1}{x^2 - 2} - \frac{x^2 - 3}{x + 1} \right)$
Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla la siguiente igualdad en el infinito:…
Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla la siguiente igualdad en el infinito:
$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{ax^2 + bx - 1}{x + 2} - 3x \right) = 5$
Resuelve la siguiente indeterminación $\infty - \infty$ con radicales de distinto índice. Presta especial atención a la estrategia algebraica necesaria para unificar o…
Resuelve la siguiente indeterminación $\infty - \infty$ con radicales de distinto índice. Presta especial atención a la estrategia algebraica necesaria para unificar o tratar por separado los términos:
$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt[3]{x^3 + 6x^2} - \sqrt{x^2 + 2x} \right)$
Límites especiales y simplificar primero
Algunos límites con funciones trigonométricas no se pueden resolver solo con álgebra. Necesitas un límite conocido.
La gráfica tiene un hueco en $x=0$, pero la curva claramente se dirige a $1$ por ambos lados.
Para usarlo, haz que el argumento del seno coincida con el denominador.
La identidad pitagórica da un segundo recurso para expresiones con $1-\cos x$: multiplica por el conjugado $1+\cos x$, ya que $(1-\cos x)(1+\cos x)=1-\cos^2x=\sin^2x$.
Otro hábito útil: cuando una cantidad es un producto, como un área, multiplícala y simplifica antes de sustituir.
(La altura en sí es una forma $\frac{0}{0}$. Al multiplicar por el conjugado se ve que $h(x)\to\frac{1}{4}$. El área del rectángulo tiende a $0$ porque su base se reduce mientras que la altura se mantiene finita.) Un triángulo rectángulo funciona igual, con área $\frac{1}{2}\cdot\text{base}\cdot\text{altura}$.
Sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, calcula el siguiente límite trigonométrico realizando las transformaciones algebraicas necesarias (pista: multiplica…
Sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, calcula el siguiente límite trigonométrico realizando las transformaciones algebraicas necesarias (pista: multiplica numerador y denominador por el conjugado del numerador):
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$
En un experimento de óptica, un rayo láser atraviesa un medio con índice de refracción variable. La desviación del rayo define un triángulo rectángulo cuya base mide $x$…
En un experimento de óptica, un rayo láser atraviesa un medio con índice de refracción variable. La desviación del rayo define un triángulo rectángulo cuya base mide $x$ y cuya altura viene dada por la curva $h(x) = \frac{1 - e^{-2x}}{x}$. Observa el diagrama y calcula el límite del área del triángulo sombreado $A(x)$ cuando $x \to 0^+$.
La forma $1^\infty$ y el número $e$
Si la base de una potencia tiende a $1$ y el exponente tiende a infinito, la respuesta suele ser una potencia de $e$. Recuerda que $e=\lim_{u\to\infty}\left(1+\frac{1}{u}\right)^u\approx 2.718$.
A veces $g-1$ requiere más álgebra, porque debes restar los dos polinomios.
Si el problema tiene un parámetro desconocido y te da la respuesta final, iguala $L$ al exponente de $e$ que te dan y resuelve para el parámetro.
Determina el valor del siguiente límite, que presenta una indeterminación del tipo $1^\infty$, utilizando la fórmula del número $e$:…
Determina el valor del siguiente límite, que presenta una indeterminación del tipo $1^\infty$, utilizando la fórmula del número $e$:
$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x + 3}{2x - 1} \right)^{3x}$
Determina el valor del parámetro $a$ para que el siguiente límite exponencial resulte en $e^4$:…
Determina el valor del parámetro $a$ para que el siguiente límite exponencial resulte en $e^4$:
$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 + ax + 1}{x^2 - x + 3} \right)^{2x}$
Límites en contexto
En una aplicación, un límite en el infinito describe el largo plazo, y un límite en una explosión describe lo que pasa en una frontera. Termina siempre diciendo qué significa el número.
Volviendo al inicio: el costo promedio nunca llega a $\$8$ (el cargo inicial siempre agrega un poco), pero se acerca tanto como quieras. Eso es lo que dice la asíntota horizontal $y=8$.
Así se leen algunos resultados comunes:
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Un límite en el infinito que es un número $L$ es un estado estable o un tope (una asíntota horizontal $y=L$).
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Un límite de $0$ significa que la cantidad se desvanece (un medicamento que sale del cuerpo).
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Un límite de $+\infty$ significa que la cantidad crece sin límite, lo cual suele ser una advertencia de que el modelo es imposible o la situación no es sostenible.
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Un límite lateral como $v\to c^-$ importa cuando la variable solo puede acercarse a una frontera por un lado.
La concentración de un cierto fármaco en la sangre de un paciente, medida en miligramos por litro, varía con el tiempo $t$ (en horas) según la función…
La concentración de un cierto fármaco en la sangre de un paciente, medida en miligramos por litro, varía con el tiempo $t$ (en horas) según la función $C(t) = \frac{15t}{t^2 + 4}$. Calcula la concentración a largo plazo, es decir, evalúa el límite cuando $t \to +\infty$ e interpreta el resultado.
El costo total de producción de $x$ unidades de un componente electrónico de alta precisión viene dado por la función $C(x) = 5000 + 12x + 0.05x^2$ dólares. El costo…
El costo total de producción de $x$ unidades de un componente electrónico de alta precisión viene dado por la función $C(x) = 5000 + 12x + 0.05x^2$ dólares. El costo medio por unidad es $C_m(x) = \frac{C(x)}{x}$. Calcula el límite del costo medio cuando el número de unidades producidas tiende a infinito y explica qué significa este resultado para la viabilidad de la empresa a gran escala.
Según la teoría de la relatividad especial, la masa relativista de un objeto que se mueve a una velocidad $v$ viene dada por…
Según la teoría de la relatividad especial, la masa relativista de un objeto que se mueve a una velocidad $v$ viene dada por $m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $m_0$ es la masa en reposo y $c$ es la velocidad de la luz en el vacío. Calcula el límite de la masa relativista cuando la velocidad del objeto se aproxima a la velocidad de la luz ($\lim_{v \to c^-} m(v)$) e interpreta matemáticamente por qué un objeto con masa no puede alcanzar dicha velocidad.