Aproximación y errores
La báscula de tu baño marca 154 lb. La del gimnasio marca 154.2 lb. Ninguna es exacta: cada una es una aproximación con algún error. ¿Cuánto se pueden equivocar? Y cuando sumas dos lecturas, multiplicas dos longitudes para obtener un área, o elevas un radio al cubo para obtener un volumen, ¿cómo se propaga esa incertidumbre? De eso trata esta página.
Redondeo y truncamiento
Observa que si el primer dígito eliminado es menor que $5$, truncar y redondear dan el mismo número, así que ambas aproximaciones tienen el mismo error.
Una aproximación es una subestimación si es menor que el valor verdadero y una sobreestimación si es mayor. Truncar un número positivo siempre da una subestimación (o el valor exacto). Redondear puede ir en cualquier sentido. Para saber cuál tienes, compara la aproximación con un valor más preciso del número.
Redondea y trunca el número $\frac{17}{6}$ a las milésimas. Calcula el error absoluto en ambas aproximaciones e indica de forma justificada cuál de las dos es más…
Redondea y trunca el número $\frac{17}{6}$ a las milésimas. Calcula el error absoluto en ambas aproximaciones e indica de forma justificada cuál de las dos es más precisa.
Se ha aproximado el número irracional $\pi$ tomando el valor $3,14$. ¿Es una aproximación por defecto o por exceso? Justifica tu respuesta y halla una cota para el error…
Se ha aproximado el número irracional $\pi$ tomando el valor $3,14$. ¿Es una aproximación por defecto o por exceso? Justifica tu respuesta y halla una cota para el error absoluto cometido.
Error absoluto y error relativo
El error absoluto dice cuánto te equivocas. El error relativo dice qué tan grande es eso comparado con lo que mediste. Por eso solo el error relativo permite comparar aproximaciones de cantidades distintas.
Cuando el valor verdadero es irracional, usa como $V_r$ todos los dígitos que muestra tu calculadora.
El error relativo también funciona con números muy pequeños y muy grandes, usando notación científica.
Al medir la longitud de una mesa de $1,25$ pies, se ha obtenido un valor de $1,28$ pies. Por otro lado, al medir la distancia entre dos ciudades de $245$ millas, se ha…
Al medir la longitud de una mesa de $1,25$ pies, se ha obtenido un valor de $1,28$ pies. Por otro lado, al medir la distancia entre dos ciudades de $245$ millas, se ha obtenido un valor de $246$ millas. Calcula el error relativo en ambas mediciones y determina cuál de las dos es más precisa.
El número áureo $\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ se aproxima frecuentemente en diseño gráfico por el valor $1,618$. Calcula el error absoluto y el error relativo de esta…
El número áureo $\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ se aproxima frecuentemente en diseño gráfico por el valor $1,618$. Calcula el error absoluto y el error relativo de esta aproximación, utilizando para el valor exacto todas las cifras de tu calculadora. Expresa el error relativo en forma de porcentaje.
En un laboratorio de microbiología, se mide el diámetro de una célula resultando ser $0,000015$ m con un error absoluto menor que $10^{-7}$ m. En paralelo, un…
En un laboratorio de microbiología, se mide el diámetro de una célula resultando ser $0,000015$ m con un error absoluto menor que $10^{-7}$ m. En paralelo, un observatorio astronómico mide la distancia a una estrella cercana como $4,2 \cdot 10^{16}$ m con un error absoluto menor que $10^{14}$ m. ¿Qué medición tiene mayor precisión real? Justifica tu respuesta calculando y comparando el error relativo de ambas.
Cifras significativas y notación científica
| Número | Cifras significativas | Por qué |
|---|---|---|
| $0.00381$ | 3 | los ceros iniciales no cuentan |
| $40.50$ | 4 | el cero del medio y el cero final cuentan |
| $7.200$ | 4 | los ceros finales después del punto decimal cuentan |
| $1{,}200$ | poco claro | escribe $1.2\times10^3$ (2 cifras) o $1.20\times10^3$ (3 cifras) |
Para redondear a $n$ cifras significativas, escribe el número en notación científica $a\times10^k$ (con $1\le a<10$) y redondea $a$ a $n-1$ lugares decimales.
Para sumar o restar números en notación científica, escríbelos con la misma potencia de $10$ (o como números ordinarios), opera y redondea al lugar del número menos preciso. La suma no puede ser más precisa que su término más incierto.
Escribe el número $0,000045602$ en notación científica dejando exactamente tres cifras significativas. A continuación, indica una cota del error absoluto cometido al…
Escribe el número $0,000045602$ en notación científica dejando exactamente tres cifras significativas. A continuación, indica una cota del error absoluto cometido al realizar esta aproximación.
Realiza la operación matemática $3,2 \cdot 10^4 + 5,1 \cdot 10^3$ expresando el resultado final en notación científica con el número de cifras significativas adecuado.
Realiza la operación matemática $3,2 \cdot 10^4 + 5,1 \cdot 10^3$ expresando el resultado final en notación científica con el número de cifras significativas adecuado.
La velocidad de la luz en el vacío es una constante física cuyo valor exacto es de $299792458$ m/s. Expresa esta cantidad en notación científica redondeando a cuatro…
La velocidad de la luz en el vacío es una constante física cuyo valor exacto es de $299792458$ m/s. Expresa esta cantidad en notación científica redondeando a cuatro cifras significativas. ¿Cuál es la cota del error absoluto y del error relativo de esta nueva representación abreviada?
De una cota de error a un intervalo
Determina el intervalo real en el que se encuentra el valor exacto de una medida $x$ si sabemos que su aproximación es $5,4$ y la cota de error absoluto es $E_a < 0,05$.
Determina el intervalo real en el que se encuentra el valor exacto de una medida $x$ si sabemos que su aproximación es $5,4$ y la cota de error absoluto es $E_a < 0,05$.
Un termómetro digital marca una temperatura corporal de $37,5^\circ\text{C}$ garantizando un error relativo menor del $0,2\%$. ¿Cuál es el error absoluto máximo que…
Un termómetro digital marca una temperatura corporal de $37,5^\circ\text{C}$ garantizando un error relativo menor del $0,2\%$. ¿Cuál es el error absoluto máximo que puede estar cometiendo el dispositivo?
El presupuesto de licitación para la construcción de un viaducto es de $12,4$ millones de dólares. Si por motivos de fluctuación del precio de los materiales el costo…
El presupuesto de licitación para la construcción de un viaducto es de $12,4$ millones de dólares. Si por motivos de fluctuación del precio de los materiales el costo final sufre un error relativo del $3,5\%$, determina entre qué cantidades económicas exactas (en dólares) oscilará el costo final de la obra.
Error en sumas y diferencias
Los errores también se acumulan cuando repites una operación muchas veces, sobre todo si todos van en la misma dirección.
La masa de un planeta es $5,97 \cdot 10^{24}$ kg y la de su satélite natural es $7,35 \cdot 10^{22}$ kg. Calcula la masa total del sistema planetario en notación…
La masa de un planeta es $5,97 \cdot 10^{24}$ kg y la de su satélite natural es $7,35 \cdot 10^{22}$ kg. Calcula la masa total del sistema planetario en notación científica y determina una cota del error absoluto de la suma, asumiendo que los datos proporcionados ya son aproximaciones redondeadas a la última cifra decimal mostrada.
Al aproximar un número real $x$ por el valor $3,14$ se comete un error absoluto menor que $0,005$. Al aproximar otro número real $y$ por el valor $2,71$ se comete…
Al aproximar un número real $x$ por el valor $3,14$ se comete un error absoluto menor que $0,005$. Al aproximar otro número real $y$ por el valor $2,71$ se comete también un error absoluto menor que $0,005$. Determina el intervalo de error garantizado para la suma $x + y$ y para la diferencia $x - y$.
Una entidad financiera calcula los intereses diarios de una cuenta utilizando redondeo a dos cifras decimales en cada operación diaria, mientras que una segunda entidad…
Una entidad financiera calcula los intereses diarios de una cuenta utilizando redondeo a dos cifras decimales en cada operación diaria, mientras que una segunda entidad guarda internamente todos los decimales y solo redondea a dos cifras el saldo total al final del mes (considera un mes de 30 días). Si el interés diario exacto generado en la cuenta es de $\$1,234$, calcula el error absoluto total acumulado que diferencia a ambos métodos al finalizar el mes.
Error relativo en productos, cocientes y potencias
Cuando multiplicas o divides, lo que importa son los errores relativos. Un error de 1% en cada uno de dos factores da aproximadamente un error de 2% en el producto.
Demuestre algebraicamente que si dos números reales y positivos $x$ e $y$ se aproximan mediante $x_0$ e $y_0$ con un error relativo menor que $\varepsilon$ en ambos…
Demuestre algebraicamente que si dos números reales y positivos $x$ e $y$ se aproximan mediante $x_0$ e $y_0$ con un error relativo menor que $\varepsilon$ en ambos casos, entonces el error relativo del producto $x \cdot y$ está acotado aproximadamente por $2\varepsilon$ (se pueden despreciar los términos de orden superior a $\varepsilon$, es decir, los términos que contengan $\varepsilon^2$).
La ley de gravitación universal viene dada por la expresión $F = G \frac{m_1 m_2}{d^2}$. Si en un experimento medimos las masas $m_1, m_2$ y la distancia $d$ cometiendo…
La ley de gravitación universal viene dada por la expresión $F = G \frac{m_1 m_2}{d^2}$. Si en un experimento medimos las masas $m_1, m_2$ y la distancia $d$ cometiendo un error relativo máximo del $2\%$ en cada una de las tres magnitudes, y consideramos la constante $G$ como un valor matemático exacto, determine de forma justificada la cota del error relativo máximo que se cometerá al calcular la fuerza $F$.
Se fabrica una pieza esférica de acero macizo para un rodamiento industrial. El calibre digital utilizado indica que el radio es $r = 12,5$ mm, con un margen de error…
Se fabrica una pieza esférica de acero macizo para un rodamiento industrial. El calibre digital utilizado indica que el radio es $r = 12,5$ mm, con un margen de error instrumental de $\pm 0,1$ mm. Calcula el volumen nominal de la esfera y demuestra analíticamente cuál es el máximo error absoluto y el máximo error relativo que se propaga al cálculo del volumen.
Intervalos del peor caso
Las reglas de primer orden son estimaciones. Para obtener un intervalo garantizado, calcula con los valores extremos de cada medida.
Se quiere embaldosar una habitación de planta rectangular. Las medidas aproximadas de los lados, tomadas con una cinta métrica, son $a = 4,2$ pies y $b = 3,5$ pies.…
Se quiere embaldosar una habitación de planta rectangular. Las medidas aproximadas de los lados, tomadas con una cinta métrica, son $a = 4,2$ pies y $b = 3,5$ pies. Sabiendo que el instrumento introduce un error máximo de $0,05$ pies en cada medida, calcula el área nominal de la habitación y determina el intervalo estricto de valores reales en el que se encuentra dicha área.
Se quiere preparar una disolución química en la que la masa del soluto debe ser $m = 15,00$ g y el volumen del disolvente $V = 250$ ml. La balanza del laboratorio tiene…
Se quiere preparar una disolución química en la que la masa del soluto debe ser $m = 15,00$ g y el volumen del disolvente $V = 250$ ml. La balanza del laboratorio tiene una precisión garantizada de $\pm 0,01$ g y la probeta volumétrica tiene un margen de error de $\pm 1$ ml. Calcule la concentración nominal $C = \frac{m}{V}$ expresada en g/ml e indique el intervalo estricto de valores reales entre los que se encuentra dicha concentración.
En un proyecto de topografía, se miden los dos catetos de un terreno con forma de triángulo rectángulo, obteniendo $c_1 = 30,0$ pies y $c_2 = 40,0$ pies. La precisión…
En un proyecto de topografía, se miden los dos catetos de un terreno con forma de triángulo rectángulo, obteniendo $c_1 = 30,0$ pies y $c_2 = 40,0$ pies. La precisión del instrumento topográfico garantiza un error relativo menor del $1\%$ en cada longitud lineal medida. Determina la longitud nominal de la hipotenusa $h$ y acota el error absoluto y el error relativo máximo que se puede cometer al calcularla indirectamente.
¿Cuántos dígitos son correctos?
¿Por qué esta definición? Si el error es menor que media unidad en ese lugar, entonces redondear el valor verdadero a ese lugar da exactamente la aproximación. Así que la aproximación coincide con el valor verdadero salvo por el redondeo.
Un antiguo programa informático de cálculo geométrico utiliza la aproximación $\frac{22}{7}$ para el número $\pi$. ¿Cuántas cifras decimales exactas proporciona esta…
Un antiguo programa informático de cálculo geométrico utiliza la aproximación $\frac{22}{7}$ para el número $\pi$. ¿Cuántas cifras decimales exactas proporciona esta aproximación frente al valor real de $\pi$? Calcula el error relativo porcentual cometido por el software.
Un algoritmo informático aproxima la función exponencial en valores cercanos a cero mediante el polinomio de Taylor de segundo grado:…
Un algoritmo informático aproxima la función exponencial en valores cercanos a cero mediante el polinomio de Taylor de segundo grado: $e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$. Si evaluamos dicho algoritmo en $x = 0,1$, calcule el error absoluto y el error relativo porcentual de esta aproximación comparado con el valor que proporciona la calculadora científica para $e^{0,1}$. ¿Cuántas cifras significativas correctas garantiza esta aproximación polinómica?
Comparar aproximaciones de forma exacta
A veces el valor exacto no es un decimal que puedas simplemente teclear, sino una expresión que puedes simplificar primero.
Para comparar dos fracciones como aproximaciones de $\sqrt n$ sin calculadora, usa el conjugado: $$\left|\frac pq-\sqrt n\right|=\frac{|p^2-nq^2|}{q\,(p+q\sqrt n)}.$$ Esto funciona porque $\dfrac pq-\sqrt n=\dfrac{p-q\sqrt n}{q}$, y al multiplicar el numerador y el denominador por $p+q\sqrt n$ queda una diferencia de cuadrados arriba.
Calcula el valor exacto de la expresión $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ racionalizando el denominador. A continuación, aproxima el resultado a las…
Calcula el valor exacto de la expresión $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ racionalizando el denominador. A continuación, aproxima el resultado a las centésimas y determina una cota del error relativo cometido respecto al valor exacto.
Aproximamos el valor irracional de $\sqrt{10}$ utilizando la fracción racional $\frac{19}{6}$. Calcule el error absoluto cometido con esta aproximación. A continuación,…
Aproximamos el valor irracional de $\sqrt{10}$ utilizando la fracción racional $\frac{19}{6}$. Calcule el error absoluto cometido con esta aproximación. A continuación, encuentre una fracción con denominador menor que $20$ que proporcione una aproximación mejor (es decir, con un error absoluto estrictamente menor) y demuestre analíticamente que lo es.
Volvamos al principio: la báscula del baño marca $154$ lb, redondeada a la libra más cercana, así que el peso verdadero está a menos de $0.5$ lb, en $[153.5,\ 154.5]$ lb. La báscula del gimnasio marca $154.2$ lb, redondeada a la décima más cercana, así que el error es a lo sumo $0.05$ lb. Es diez veces más precisa. Si sumas dos lecturas de la báscula del baño, las cotas se suman: el total se equivoca a lo sumo en $1$ lb. Y si usas esas lecturas en un producto, sus errores relativos se suman.