Funciones inversas

Comprueba, utilizando la composición de funciones, si $f(x) = \frac{x+1}{2}$ y $g(x) = 2x - 1$ son funciones inversas. Debes verificar que $(f \circ g)(x) = x$ y que $(g \circ f)(x) = x$.

Halla la expresión analítica de la función inversa o recíproca de la función afín $f(x) = 3x - 5$.

Determina la función recíproca de la función racional $g(x) = \frac{4}{x+2}$.

Calcula la función inversa de $h(x) = \sqrt{2x - 1}$, indicando el dominio de la nueva función obtenida.

Dada la gráfica de la función exponencial $f(x) = 2^x$, dibuja en tu cuaderno los ejes de coordenadas, la recta bisectriz del primer cuadrante ($y = x$) y esboza la gráfica de su función inversa $f^{-1}(x)$. Identifica las coordenadas de al menos tres puntos por los que pase $f^{-1}(x)$.

Obtén la función inversa de la función exponencial $f(x) = 2^{x-3}$.

Halla la función recíproca de la función logarítmica $g(x) = \log_3(x) + 1$.

El nivel de intensidad sonora en decibelios (dB) percibido por el oído humano se calcula mediante la función $\beta(I) = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$, donde $I$ es la intensidad acústica en $\text{W/m}^2$ e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ es la intensidad umbral de audición. Encuentra la función inversa $I(\beta)$ que determina la intensidad en función de los decibelios. Si el umbral de dolor humano se sitúa en $120 \text{ dB}$, ¿cuál es la intensidad acústica correspondiente?

Dada la función racional $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3}$, halla su función inversa $f^{-1}(x)$. A continuación, calcula el dominio de $f(x)$ y el dominio de $f^{-1}(x)$, y explica la relación que existe entre estos dominios y los recorridos (imágenes) de ambas funciones.

El costo de producción mensual en dólares de $x$ unidades de un componente electrónico viene dado por la función $C(x) = \frac{120x + 500}{x + 2}$. Halla la función inversa $C^{-1}(x)$ e interpreta qué representa esta nueva función en el contexto del problema.

Demuestre algebraicamente que si $f(x) = \frac{x^3 + 1}{x^3 - 1}$, entonces su función inversa viene dada por la expresión $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}$. A continuación, justifique mediante la resolución de una ecuación por qué la gráfica de $f(x)$ nunca interseca a la gráfica de su función inversa.

La función cuadrática $f(x) = x^2 - 6x + 8$ no tiene función inversa en todo $\mathbb{R}$ porque no es inyectiva. Restringe su dominio al intervalo $[3, +\infty)$ y calcula la expresión analítica de su función inversa en dicho intervalo.

Calcula la función inversa de la siguiente función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 + 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Comprueba analíticamente que el dominio de $f^{-1}$ coincide exactamente con el recorrido de $f$.

La relación que permite convertir una temperatura dada en grados Celsius ($C$) a grados Fahrenheit ($F$) es $F(C) = \frac{9}{5}C + 32$. Encuentra la función inversa $C(F)$ y utilízala para calcular a cuántos grados Celsius corresponden $68$ grados Fahrenheit.

En un cultivo de laboratorio, el crecimiento de una población de bacterias se modela mediante la función $P(t) = 150 \cdot e^{0.2t}$, donde $t$ se mide en horas. Determina la función inversa $t(P)$ y úsala para calcular cuánto tiempo exacto debe transcurrir para que la población alcance las $3000$ bacterias.

La propagación de un virus informático en una red cerrada se modela mediante la función logística $N(t) = \frac{5000}{1 + 49e^{-0.5t}}$, donde $N(t)$ es el número de computadoras infectadas y $t$ representa los días transcurridos desde la detección inicial. Determine la función inversa $t(N)$. ¿Qué significado tiene el dominio de esta función inversa en el contexto del límite de propagación del virus?

La depreciación anual de un equipo industrial se modela con la función $V(t) = 12000 \cdot (0.8)^t$, donde $V$ es el valor actual en dólares y $t$ el tiempo transcurrido en años desde su compra. Halla la función inversa $t(V)$ e indica cuántos años han pasado exactamente si el equipo se valora hoy en $\$6144$.

La concentración $C(t)$ de un reactivo en una reacción química de segundo orden evoluciona según la ley $C(t) = \frac{C_0}{1 + k \cdot C_0 \cdot t}$, donde $C_0$ es la concentración inicial y $k$ es la constante de velocidad. Despeja el tiempo $t$ para hallar la función inversa $t(C)$. Utilízala para demostrar que el tiempo de vida media (el tiempo necesario para que la concentración se reduzca a la mitad, $C = \frac{C_0}{2}$) es inversamente proporcional a la concentración inicial $C_0$.

Sabiendo que $f(x) = x^3 + 2x + 1$, calcula el valor numérico de $f^{-1}(4)$ sin necesidad de hallar la expresión algebraica completa de la función inversa.

Halla el valor del parámetro $k$ para que la función $f(x) = \frac{3x + 2}{x + k}$ sea su propia inversa, es decir, que se cumpla la condición $f(f(x)) = x$ para cualquier valor de su dominio.

Sabiendo que la función racional $f(x) = \frac{ax + b}{cx - 1}$ es su propia función inversa (es decir, $f^{-1}(x) = f(x)$) y que su gráfica pasa por el punto $(2, 5)$, plantea un sistema de ecuaciones y determina los valores numéricos de los parámetros $a$, $b$ y $c$.

Se muestra la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 2$ restringida al dominio $x \ge 0$. Dibuja en tu cuaderno la recta $y = x$ y la gráfica de la función inversa $f^{-1}(x)$. Determina analíticamente el punto exacto de corte entre ambas curvas.

Sea la función radical $f(x) = \sqrt{x+6}$. Calcula su función inversa $f^{-1}(x)$ indicando claramente su dominio. Determina analíticamente los puntos de corte entre las gráficas de $f(x)$ y $f^{-1}(x)$, sabiendo que por simetría dichos puntos deben encontrarse sobre la recta $y = x$.

Dadas las funciones $f(x) = \frac{x}{x-2}$ y $g(x) = \sqrt{x+1}$, obtén paso a paso la expresión analítica de la función inversa de la composición, es decir, $(f \circ g)^{-1}(x)$, y determina el dominio de validez de esta nueva función.