Parábolas
Fíjate en una antena parabólica en un techo, en el faro de un carro o en el reflector de una linterna. Tienen un truco en común: una señal que llega paralela al eje rebota hacia un único punto, el foco. Si lo haces al revés, una bombilla en el foco envía su luz en un haz paralelo. ¿Por qué ese punto, y por qué una parábola? En Álgebra 1 graficaste parábolas como $y = ax^2 + bx + c$. Aquí las verás como un lugar geométrico (un conjunto de puntos definido por una condición de distancias), y esa definición explica el truco.
La parábola como lugar geométrico
La distancia de un punto a una recta siempre se mide sobre la perpendicular. En la figura, $F = (0, 2)$ y la directriz es $y = -2$. Los segmentos discontinuos que se corresponden miden lo mismo: 4 y 4 para el punto de la derecha, 6.5 y 6.5 para el de la izquierda.
El vértice $V$ es el punto de la parábola más cercano a la directriz. Está justo a la mitad entre $F$ y la directriz. La recta que pasa por $F$ perpendicular a la directriz es el eje de simetría.
Compruébalo con el punto $P(4, 2)$ de la figura: $4^2 = 16$ y $8 \cdot 2 = 16$. ✓
¿Y si la directriz está inclinada? Entonces necesitas la distancia de un punto a una recta.
El término en $xy$ indica que el eje está inclinado. Una señal típica de parábola es que los términos de segundo grado forman un cuadrado perfecto: aquí $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$.
Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del punto $A(0, 4)$ y de la recta horizontal $y = -4$.
Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del punto $A(0, 4)$ y de la recta horizontal $y = -4$.
Halla el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a la recta $y = -2$ y pasan simultáneamente por el punto $P(0, 2)$. Identifica la…
Halla el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a la recta $y = -2$ y pasan simultáneamente por el punto $P(0, 2)$. Identifica la cónica resultante y detalla sus elementos principales.
Utilizando la definición de parábola como lugar geométrico, halla la ecuación general de la parábola cuyo foco es el punto $F(2, 3)$ y cuya directriz es la recta oblicua…
Utilizando la definición de parábola como lugar geométrico, halla la ecuación general de la parábola cuyo foco es el punto $F(2, 3)$ y cuya directriz es la recta oblicua $x + y - 1 = 0$.
Forma estándar con el vértice en el origen
Pon el vértice en $(0, 0)$ y el foco en $(p, 0)$, así que la directriz es $x = -p$. La definición $PF = $ distancia a la directriz da
$$\sqrt{(x - p)^2 + y^2} = |x + p| \;\Longrightarrow\; x^2 - 2px + p^2 + y^2 = x^2 + 2px + p^2 \;\Longrightarrow\; y^2 = 4px.$$Los términos $x^2$ y $p^2$ se cancelan; por eso la ecuación queda tan limpia.
Halla la ecuación reducida de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el punto $F(0, 3)$.
Halla la ecuación reducida de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el punto $F(0, 3)$.
Determina las coordenadas del vértice, el foco y la ecuación de la directriz de la parábola de ecuación $y^2 = -10x$.
Determina las coordenadas del vértice, el foco y la ecuación de la directriz de la parábola de ecuación $y^2 = -10x$.
Halla la ecuación de la parábola con vértice en el origen, eje de simetría coincidente con el eje de abscisas y que pasa por el punto $P(-2, 4)$.
Halla la ecuación de la parábola con vértice en el origen, eje de simetría coincidente con el eje de abscisas y que pasa por el punto $P(-2, 4)$.
Parábolas trasladadas y forma general
Si el vértice está en $(h, k)$ en lugar del origen, desplaza todo el dibujo: cambia $x$ por $x - h$ e $y$ por $y - k$.
Mueve los deslizadores. Aquí $a = \dfrac{1}{4p}$, así que una $a$ pequeña da una parábola ancha con una distancia focal grande.
Si desarrollas una parábola trasladada obtienes una forma general. Por ejemplo, $(y - 2)^2 = 6(x - 1)$ se convierte en $y^2 - 4y - 6x + 10 = 0$. Una variable está al cuadrado, la otra solo aparece a la primera potencia, y no hay término en $xy$. Para volver atrás, completa el cuadrado en la variable que está al cuadrado.
Escribe la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto $V(2, -1)$ y cuya directriz es la recta $x = 4$.
Escribe la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto $V(2, -1)$ y cuya directriz es la recta $x = 4$.
Identifica si la ecuación general $y^2 - 4y - 6x + 10 = 0$ corresponde a una parábola y, en caso afirmativo, halla las coordenadas de su vértice.
Identifica si la ecuación general $y^2 - 4y - 6x + 10 = 0$ corresponde a una parábola y, en caso afirmativo, halla las coordenadas de su vértice.
Dada la ecuación general de la parábola $x^2 - 6x - 8y + 25 = 0$, completa cuadrados para expresarla en su forma reducida trasladada y determina las coordenadas de su…
Dada la ecuación general de la parábola $x^2 - 6x - 8y + 25 = 0$, completa cuadrados para expresarla en su forma reducida trasladada y determina las coordenadas de su vértice, su foco y la ecuación de su directriz.
La propiedad de reflexión
Por eso las antenas parabólicas llevan el receptor en el foco, los faros llevan ahí la bombilla y los telescopios reflectores usan espejos parabólicos. Un satélite está tan lejos que su señal llega en rayos paralelos. Al final de esta página verás por qué se cumple la propiedad.
El perfil de un faro halógeno de automóvil tiene forma de parábola. Si su ecuación respecto a un sistema de referencia centrado en el vértice es $y^2 = 12x$ (con las…
El perfil de un faro halógeno de automóvil tiene forma de parábola. Si su ecuación respecto a un sistema de referencia centrado en el vértice es $y^2 = 12x$ (con las medidas expresadas en pulgadas), ¿a qué distancia del vértice debe colocarse la bombilla para que los rayos de luz se reflejen paralelos al eje de simetría?
El reflector de una antena parabólica tiene un diámetro exterior de $2\text{ m}$ y una profundidad máxima de $0,25\text{ m}$. Determina a qué distancia del vértice se…
El reflector de una antena parabólica tiene un diámetro exterior de $2\text{ m}$ y una profundidad máxima de $0,25\text{ m}$. Determina a qué distancia del vértice se encuentra el foco donde debe situarse el receptor de la señal.
Modelar con parábolas
Los arcos, las trayectorias de proyectiles y los cables a menudo se modelan con parábolas. El paso clave es elegir bien las coordenadas y luego encontrar la ecuación con la información que te dan.
Una parábola de eje vertical también es una función cuadrática de Álgebra 1. De $(x - h)^2 = 4p(y - k)$ sale
$$y = \frac{1}{4p}(x - h)^2 + k,$$que es la forma de vértice con $a = \dfrac{1}{4p}$. Así que si conoces el vértice $(h, k)$ y un punto más, usa $y = a(x - h)^2 + k$ y despeja $a$. Si conoces tres puntos, usa $y = ax^2 + bx + c$ y resuelve un sistema.
Un arco parabólico de un puente de piedra tiene una luz (anchura en la base) de $40\text{ m}$ y una altura máxima de $10\text{ m}$. Calcula la altura a la que se…
Un arco parabólico de un puente de piedra tiene una luz (anchura en la base) de $40\text{ m}$ y una altura máxima de $10\text{ m}$. Calcula la altura a la que se encuentra el arco a una distancia horizontal de $8\text{ m}$ del centro de la base.
Determina la ecuación de la parábola de eje vertical que pasa por los puntos $A(-1, 0)$, $B(1, -2)$ y $C(3, 4)$.
Determina la ecuación de la parábola de eje vertical que pasa por los puntos $A(-1, 0)$, $B(1, -2)$ y $C(3, 4)$.
Un cañón de agua lanza un chorro cuya trayectoria describe una parábola. El agua sale desde el origen de coordenadas y el chorro alcanza una altura máxima de…
Un cañón de agua lanza un chorro cuya trayectoria describe una parábola. El agua sale desde el origen de coordenadas y el chorro alcanza una altura máxima de $15\text{ m}$ a una distancia horizontal de $20\text{ m}$. Determina analíticamente si el chorro de agua logrará pasar por encima de un muro de $10\text{ m}$ de altura situado a $30\text{ m}$ de distancia horizontal del punto de salida.
Rectas y parábolas: intersecciones
Para saber dónde corta una recta a una parábola, sustituye la ecuación de la recta en la de la parábola. Obtienes una ecuación cuadrática cuyo discriminante te dice qué pasa.
-
$\Delta > 0$: la recta corta la parábola en dos puntos (recta secante).
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$\Delta = 0$: un punto, y la recta es tangente (mira la sección siguiente).
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$\Delta < 0$: la recta no toca la parábola.
Si los dos puntos de intersección son $A$ y $B$, el segmento $\overline{AB}$ es una cuerda. Su longitud sale de la fórmula de la distancia.
Calcula las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola $x^2 = 4y$ con la recta bisectriz del primer cuadrante $y = x$.
Calcula las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola $x^2 = 4y$ con la recta bisectriz del primer cuadrante $y = x$.
Estudia la posición relativa de la recta $r: 2x + y - 3 = 0$ y la parábola $y^2 = 4x$. Si se cortan, halla la longitud exacta de la cuerda que determina la recta al…
Estudia la posición relativa de la recta $r: 2x + y - 3 = 0$ y la parábola $y^2 = 4x$. Si se cortan, halla la longitud exacta de la cuerda que determina la recta al intersecar con la parábola.
Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice de la parábola $y^2 = 8x$ y por los dos puntos de intersección de dicha parábola con la recta vertical…
Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice de la parábola $y^2 = 8x$ y por los dos puntos de intersección de dicha parábola con la recta vertical $x = 2$.
Rectas tangentes
Una recta tangente toca la parábola en un solo punto sin entrar en ella. Algebraicamente: sustituye y exige $\Delta = 0$ (una raíz doble). Desliza $k$ hasta que la recta $y = x + k$ apenas toque la parábola $y = \tfrac{x^2}{4}$.
Compruébalo: $\tfrac{x^2}{4} = x + k$ da $x^2 - 4x - 4k = 0$, y $\Delta = 16 + 16k = 0$ da $k = -1$.
Cuando se conoce el punto de tangencia, hay una fórmula directa.
Encuentra la ecuación de la recta tangente a la parábola $y^2 = 8x$ en el punto de ordenada $y = 4$.
Encuentra la ecuación de la recta tangente a la parábola $y^2 = 8x$ en el punto de ordenada $y = 4$.
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta $y = 2x + k$ sea tangente a la parábola $x^2 = 2y$.
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta $y = 2x + k$ sea tangente a la parábola $x^2 = 2y$.
Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola $y^2 = 4x$ trazadas desde el punto exterior $P(-1, 0)$.
Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola $y^2 = 4x$ trazadas desde el punto exterior $P(-1, 0)$.
La tangencia en optimización y diseño
Las tangentes resuelven dos tipos de problemas de "encuentra el mejor".
Punto más cercano a una recta. Traza rectas paralelas a la recta dada y deslízalas hacia la parábola. La primera que la toca es tangente. Así que el punto más cercano es aquel donde la tangente es paralela a la recta dada.
Tangente a una recta dada. Si una parábola tiene un parámetro desconocido y debe ser tangente a una recta, sustituye y haz $\Delta = 0$.
Determina las coordenadas del punto de la parábola $x^2 = 4y$ que se encuentra a la menor distancia posible de la recta $r: x - y - 4 = 0$. Calcula, además, dicha…
Determina las coordenadas del punto de la parábola $x^2 = 4y$ que se encuentra a la menor distancia posible de la recta $r: x - y - 4 = 0$. Calcula, además, dicha distancia mínima.
Una parábola tiene su vértice en el punto $V(1, 2)$ y su eje de simetría es paralelo al eje de ordenadas. Si se sabe que la parábola es tangente a la recta $y = x - 1$,…
Una parábola tiene su vértice en el punto $V(1, 2)$ y su eje de simetría es paralelo al eje de ordenadas. Si se sabe que la parábola es tangente a la recta $y = x - 1$, halla la ecuación general de dicha parábola y las coordenadas exactas de su foco.
Por qué funciona la propiedad de reflexión
Toma $y^2 = 4px$ y un punto $P(x_0, y_0)$ de la curva. Sea $T$ el punto donde la tangente en $P$ corta el eje.
Reflexión. Un rayo que llega paralelo al eje es paralelo a $\overline{TF}$. Por ángulos correspondientes, el ángulo que forma con la tangente es igual a $\angle PTF$. Como $TF = PF$, los ángulos de la base del triángulo isósceles son iguales: $\angle PTF = \angle TPF$. Así que el ángulo entre el rayo que llega y la tangente es igual al ángulo entre la tangente y $\overline{PF}$. Eso es exactamente la ley de la reflexión (ángulo de entrada = ángulo de salida), así que el rayo reflejado va por $\overline{PF}$, directo al foco.
Proyecciones del foco. Como $FT = FP$, el punto $F$ está en la mediatriz de $\overline{TP}$. Así que el pie $M$ de la perpendicular desde $F$ a la tangente es el punto medio de $\overline{TP}$:
$$M = \left(\frac{-x_0 + x_0}{2},\ \frac{y_0}{2}\right) = \left(0,\ \frac{y_0}{2}\right).$$Su coordenada $x$ siempre es 0, así que todos esos pies están en el eje $y$, la tangente en el vértice. Algunos problemas escriben la parábola como $y^2 = 2px$, donde $p$ es la distancia del foco a la directriz. Esa $p$ es el doble de la nuestra, pero el razonamiento es idéntico.
Volvamos al principio. Un satélite está tan lejos que su señal llega en rayos paralelos. Por la propiedad de reflexión, todos los rayos rebotan hacia el foco. Ahí va el receptor, y por eso la antena tiene que ser una parábola y no cualquier curva.
Dada la parábola de ecuación $y^2 = 2px$, demuestra analíticamente que el lugar geométrico de las proyecciones ortogonales del foco sobre las infinitas rectas tangentes…
Dada la parábola de ecuación $y^2 = 2px$, demuestra analíticamente que el lugar geométrico de las proyecciones ortogonales del foco sobre las infinitas rectas tangentes a la parábola es exactamente la recta tangente en el vértice.
Se considera un espejo parabólico cuya sección responde a la ecuación $y^2 = 4x$. Un rayo de luz, paralelo al eje de abscisas, incide sobre el espejo en el punto…
Se considera un espejo parabólico cuya sección responde a la ecuación $y^2 = 4x$. Un rayo de luz, paralelo al eje de abscisas, incide sobre el espejo en el punto $P(1, 2)$. Demuestra de forma analítica que la recta que contiene al rayo reflejado pasa exactamente por el foco de la parábola.