Cálculo de límites
Escribe $\dfrac{x^2-25}{x-5}$ en tu calculadora gráfica y evalúala en $x=5$. Obtienes un error, porque la calculadora se encuentra con $\frac{0}{0}$. Sin embargo, la gráfica es una recta suave que se dirige directo hacia la altura $10$. ¿Cómo puede una función no tener valor en un punto y aun así "dirigirse" a algún lugar? En esta página aprenderás a calcular límites de forma exacta, sin tablas ni adivinanzas.
Sustitución directa y límites infinitos
La mayoría de las veces, hallar un límite es fácil: solo sustituyes el número.
Intenta siempre primero la sustitución. Observa qué obtienes:
| Al sustituir $x=a$ se obtiene | Qué significa |
|---|---|
| Un número | Ese número es el límite. Listo. |
| $\dfrac{k}{0}$ con $k\neq 0$ | No es indeterminado. Los valores crecen hacia $+\infty$ o $-\infty$. Revisa el signo en cada lado. |
| $\dfrac{0}{0}$ (y otras formas que verás más adelante) | Indeterminado. Sustituir todavía no te dice nada, así que debes reescribir la expresión. |
Para $\frac{k}{0}$, el signo importa. Cuando $x$ está cerca de $a$, el denominador es un número muy pequeño que puede ser positivo o negativo. Combina su signo con el de $k$ para decidir entre $+\infty$ y $-\infty$ en cada lado.
La temperatura de un componente electrónico (en grados Fahrenheit) en función del tiempo $t$ (en horas) viene dada por la expresión…
La temperatura de un componente electrónico (en grados Fahrenheit) en función del tiempo $t$ (en horas) viene dada por la expresión $T(t) = \frac{3t^2 - 5t + 12}{t + 2}$. Calcula el límite de la temperatura cuando $t$ se aproxima a $3$ horas.
Estudia los límites laterales de la función $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$ cuando $x$ tiende a $4$ y determina si existe el límite global en dicho punto.
Estudia los límites laterales de la función $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 4}$ cuando $x$ tiende a $4$ y determina si existe el límite global en dicho punto.
La velocidad de un vehículo de prueba (en pies/s) en función del tiempo $t$ (en segundos) está definida a trozos como $v(t) = 3t + 2$ si $0 \le t < 4$, y…
La velocidad de un vehículo de prueba (en pies/s) en función del tiempo $t$ (en segundos) está definida a trozos como $v(t) = 3t + 2$ si $0 \le t < 4$, y $v(t) = t^2 - 2$ si $t \ge 4$. Determina mediante límites laterales si la función velocidad es continua en el instante $t = 4$.
Límites laterales y funciones definidas por partes
Hay dos situaciones que obligan a trabajar un lado a la vez: las funciones definidas por partes (piecewise functions) en el punto donde cambia la fórmula, y los valores absolutos, ya que $|x|=x$ cuando $x>0$ y $|x|=-x$ cuando $x<0$.
Por ejemplo, $\dfrac{|x|}{x}$ es igual a $1$ para $x>0$ y a $-1$ para $x<0$. Aquí está $f(x)=\dfrac{|x|}{x}+x^2$ cerca de $0$:
Los límites laterales son $-1$ y $1$. Son distintos, así que $\lim_{x\to0}f(x)$ no existe.
Un límite lateral también puede ser infinito, y las raíces restringen qué lado tiene sentido. Para $\displaystyle\lim_{x\to 3^-}\dfrac{1}{\sqrt{9-x^2}}$: cuando $x$ es un poco menor que $3$, $9-x^2$ es un número positivo muy pequeño, su raíz es un número positivo muy pequeño, y el cociente tiende a $+\infty$. Por la derecha, $9-x^2<0$ y la función ni siquiera está definida, así que solo existe el límite por la izquierda.
Estudia la existencia del límite en $x = 0$ de la función $f(x) = \frac{|x|}{x} + x^2$ calculando previamente sus límites laterales.
Estudia la existencia del límite en $x = 0$ de la función $f(x) = \frac{|x|}{x} + x^2$ calculando previamente sus límites laterales.
Una compañía eléctrica establece su tarifa $T(x)$ en dólares en función del consumo $x$ en kWh. Para consumos menores a $100$ kWh, la tarifa es $T(x) = 0,15x + 5$. Para…
Una compañía eléctrica establece su tarifa $T(x)$ en dólares en función del consumo $x$ en kWh. Para consumos menores a $100$ kWh, la tarifa es $T(x) = 0,15x + 5$. Para consumos mayores o iguales a $100$ kWh, la tarifa cambia a $T(x) = \frac{ax^2 + 200}{x}$. Halla el valor del parámetro $a$ para que el límite de la tarifa exista cuando el consumo se acerca a $100$ kWh.
La masa relativista de una partícula en movimiento viene dada por $m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $m_0$ es la masa en reposo, $v$ es la velocidad…
La masa relativista de una partícula en movimiento viene dada por $m(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $m_0$ es la masa en reposo, $v$ es la velocidad de la partícula y $c$ es la velocidad de la luz. Calcula el límite de la masa cuando la velocidad $v$ tiende a la velocidad de la luz $c$ por la izquierda ($v \to c^-$) e interpreta el resultado matemático en el contexto físico.
Formas indeterminadas y factorización
Algunas formas esconden la respuesta. Si las partes compiten (una tiende a $0$, otra a $\infty$, etc.), el resultado puede ser cualquier número, $0$ o infinito.
Comencemos con la más común, $\frac{0}{0}$ con polinomios. Si el numerador y el denominador valen $0$ en $x=a$, entonces, por el teorema del residuo, ambos tienen el factor $(x-a)$. Factorízalo, cancélalo y sustituye de nuevo.
Resta de fracciones. Una diferencia como $\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{6}{x^2-9}$ es del tipo $\infty-\infty$ en $x=3$. Primero combina las fracciones con un denominador común. Normalmente eso produce un $\frac{0}{0}$ que puedes factorizar.
Parámetros desconocidos. Supón que te dicen que $\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{P(x)}{x-a}=L$ con $L$ un número. El denominador tiende a $0$, así que el numerador también debe tender a $0$. Si no, obtendrías $\frac{k}{0}$ y el límite sería infinito. Esto da una ecuación para las incógnitas.
Calcula el siguiente límite algebraico resolviendo la indeterminación mediante factorización: $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x^2 - 7x + 10}$
Calcula el siguiente límite algebraico resolviendo la indeterminación mediante factorización:
$\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x^2 - 7x + 10}$
Calcula el valor del límite que presenta una indeterminación del tipo resta de fracciones algebraicas: $\lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x^2 - 4} \right)$
Calcula el valor del límite que presenta una indeterminación del tipo resta de fracciones algebraicas:
$\lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x^2 - 4} \right)$
Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que se cumpla la siguiente condición de límite: $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x^2 - 1} = 3$
Determina los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que se cumpla la siguiente condición de límite:
$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x^2 - 1} = 3$
Límites con raíces cuadradas: el conjugado
Cuando un $\frac{0}{0}$ contiene una raíz cuadrada, factorizar no ayuda. En su lugar, multiplica el numerador y el denominador por el conjugado. El conjugado de $\sqrt{A}-B$ es $\sqrt{A}+B$. Con $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$, la raíz desaparece de esa parte.
Con dos radicales, conjuga el numerador de la misma manera.
A veces solo necesitas simplificar primero y luego revisar el signo de un límite lateral. Mira $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{x\sqrt{25-x^2}}{x^2}$. Cancela una $x$ para obtener $\dfrac{\sqrt{25-x^2}}{x}$. El numerador tiende a $5$ y el denominador tiende a $0^+$, así que el límite es $+\infty$.
Resuelve el siguiente límite multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada correspondiente: $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3}$
Resuelve el siguiente límite multiplicando el numerador y el denominador por la expresión conjugada correspondiente:
$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} - 3}{x - 3}$
Resuelve el siguiente límite con indeterminación $\frac{0}{0}$ que contiene dos radicales en el numerador: $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 + x} - \sqrt{4 - x}}{3x}$
Resuelve el siguiente límite con indeterminación $\frac{0}{0}$ que contiene dos radicales en el numerador:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 + x} - \sqrt{4 - x}}{3x}$
Considera un rectángulo inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ pulgadas. Si $x$ es la longitud de la base del rectángulo, el área del mismo viene dada por la…
Considera un rectángulo inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ pulgadas. Si $x$ es la longitud de la base del rectángulo, el área del mismo viene dada por la función $A(x) = x \sqrt{400 - x^2}$. Un arquitecto necesita saber cómo se comporta la proporción entre el área del rectángulo y el cuadrado de su base cuando la base se hace muy pequeña. Calcula $\lim_{x \to 0^+} \frac{A(x)}{x^2}$.
Límites en el infinito de funciones racionales
Ahora deja que $x$ se haga enorme. Para $|x|$ grande, en un polinomio el término de mayor potencia domina sobre todos los demás. Por ejemplo, en $x=1000$, $-2x^3$ es $-2$ mil millones (es decir, $-2{,}000{,}000{,}000$, que en inglés se dice 2 billion), mientras que $50x^2$ es solo $50$ millones, o sea $50{,}000{,}000$. Así, $\lim_{x\to+\infty}(-2x^3+50x^2+1000)=\lim_{x\to+\infty}(-2x^3)=-\infty$.
Para un cociente de polinomios, divide el numerador y el denominador entre la mayor potencia de $x$ del denominador. Entonces cada término $\frac{c}{x^n}$ tiende a $0$.
El número de bacterias en un cultivo sigue el modelo de crecimiento $B(x) = -2x^3 + 50x^2 + 1000$, donde $x$ son los días transcurridos. Determina el límite de $B(x)$…
El número de bacterias en un cultivo sigue el modelo de crecimiento $B(x) = -2x^3 + 50x^2 + 1000$, donde $x$ son los días transcurridos. Determina el límite de $B(x)$ cuando $x \to +\infty$ e indica el comportamiento a largo plazo de este cultivo según el modelo matemático.
El costo medio de producción de $x$ miles de unidades de un artículo está dado por la función $C(x) = \frac{4x^2 + 150x}{2x^2 + 5}$. Calcula el límite del costo medio…
El costo medio de producción de $x$ miles de unidades de un artículo está dado por la función $C(x) = \frac{4x^2 + 150x}{2x^2 + 5}$. Calcula el límite del costo medio cuando el número de unidades producidas tiende a infinito.
Evalúa el límite de la siguiente función racional cuando la variable independiente tiende a menos infinito: $\lim_{x \to -\infty} \frac{7x^4 - 3x^2 + 1}{5x^3 + 2x - 8}$
Evalúa el límite de la siguiente función racional cuando la variable independiente tiende a menos infinito:
$\lim_{x \to -\infty} \frac{7x^4 - 3x^2 + 1}{5x^3 + 2x - 8}$
Radicales, parámetros y significado en el infinito
Un radical se comporta como su término dominante. Para $x$ positivo grande, $\sqrt{4x^2+x}\approx\sqrt{4x^2}=2x$. Para ser exactos, divide entre $x$ y mete $x$ dentro de la raíz. Para $x>0$, $\dfrac{\sqrt{4x^2+x}}{x}=\sqrt{4+\frac1x}$.
Parámetros desconocidos en el infinito. Si te dan un límite en el infinito, usa la regla de grados iguales y despeja la incógnita.
Interpretar límites. Un límite en el infinito responde "¿qué pasa a la larga?". Toma la concentración de cafeína (en mg/L) en tu sangre $t$ horas después de tomar una bebida energética, modelada por $C(t)=\dfrac{40t}{t^2+9}$. El numerador tiene grado $1$ y el denominador grado $2$, así que $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}C(t)=0$. Esto significa que, con el tiempo, el cuerpo elimina la cafeína del torrente sanguíneo. La concentración se acerca a $0$, pero nunca lo alcanza.
Calcula el límite en el infinito de la siguiente función que contiene radicales, analizando los grados del numerador y del denominador:…
Calcula el límite en el infinito de la siguiente función que contiene radicales, analizando los grados del numerador y del denominador:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^2 + 4x} - 2x}{5x + 1}$
La concentración de un medicamento en el torrente sanguíneo (en mg/L) después de $t$ horas de su administración viene dada por $C(t) = \frac{25t}{t^2 + 4}$. Si el…
La concentración de un medicamento en el torrente sanguíneo (en mg/L) después de $t$ horas de su administración viene dada por $C(t) = \frac{25t}{t^2 + 4}$. Si el paciente no toma ninguna dosis adicional, halla el límite de la concentración cuando el tiempo tiende a infinito e interpreta el resultado.
Calcula el valor del parámetro $k$ para que se cumpla la siguiente igualdad en el límite: $\lim_{x \to +\infty} \frac{kx^3 - 5x + 1}{2x^3 + x^2 - 8} = 4$
Calcula el valor del parámetro $k$ para que se cumpla la siguiente igualdad en el límite:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{kx^3 - 5x + 1}{2x^3 + x^2 - 8} = 4$
Exponenciales en el infinito
Para una exponencial $b^x$:
| Base | Cuando $x\to+\infty$ | Cuando $x\to-\infty$ |
|---|---|---|
| $b>1$ | $+\infty$ | $0$ |
$0| $0$ |
$+\infty$ |
|
¿Por qué? Multiplicar una y otra vez por $b>1$ hace que todo se vuelva enorme. Multiplicar por $b<1$ lo encoge hacia $0$. Sumar una constante solo desplaza el comportamiento final: $3\left(\tfrac12\right)^x+2\to 2$ cuando $x\to+\infty$.
Cuando compiten varias exponenciales, domina la de mayor base. Así que divide el numerador y el denominador entre la exponencial dominante. Entonces cada cociente como $\left(\frac{2}{3}\right)^x$ tiende a $0$.
Calcula el límite de la función exponencial $h(x) = 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x + 8$ cuando $x$ tiende a $+\infty$.
Calcula el límite de la función exponencial $h(x) = 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x + 8$ cuando $x$ tiende a $+\infty$.
Calcula el siguiente límite en el infinito que involucra funciones exponenciales de distintas bases: $\lim_{x \to +\infty} \frac{3^{x+1} - 5^x}{2^x + 5^{x-1}}$
Calcula el siguiente límite en el infinito que involucra funciones exponenciales de distintas bases:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{3^{x+1} - 5^x}{2^x + 5^{x-1}}$
La forma ∞ − ∞ con raíces cuadradas
Algo como $\sqrt{x^2+8x}-x$ es $\infty-\infty$: ambos términos crecen sin cota. No puedes saber el resultado a simple vista. La solución es otra vez el conjugado, y luego dividir entre $x$.
Calcula el siguiente límite que presenta una indeterminación del tipo $\infty - \infty$ involucrando raíces cuadradas:…
Calcula el siguiente límite que presenta una indeterminación del tipo $\infty - \infty$ involucrando raíces cuadradas:
$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 6x} - x \right)$
Asíntotas oblicuas
Si $f(x)$ se acerca cada vez más a una recta inclinada cuando $x\to\pm\infty$, esa recta es una asíntota oblicua (slant asymptote). Esto ocurre, por ejemplo, cuando el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador.
Sea la función racional $f(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$. Encuentra la ecuación de la recta asíntota oblicua $y = mx + n$ de esta función calculando rigurosamente los…
Sea la función racional $f(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$. Encuentra la ecuación de la recta asíntota oblicua $y = mx + n$ de esta función calculando rigurosamente los límites $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ y $n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx)$.
La forma 1^∞ y el número e
El número $e\approx2.718$ se define por $\displaystyle\lim_{u\to\infty}\left(1+\frac1u\right)^u=e$. La base está cerca de $1$, pero el exponente enorme empuja el resultado hacia arriba. Los dos efectos se equilibran en $e$, no en $1$.
La misma regla funciona en un punto finito: $\displaystyle\lim_{x\to0}(1+3x)^{1/x}$ tiene $L=\lim\dfrac1x\cdot3x=3$, así que el límite es $e^3$.
Determina el valor del siguiente límite resolviendo la indeterminación asociada al número $e$: $\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x + 5}{x - 2} \right)^{3x}$
Determina el valor del siguiente límite resolviendo la indeterminación asociada al número $e$:
$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x + 5}{x - 2} \right)^{3x}$
Calcula el límite paramétrico $\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x^2 + 3}{2x^2 - x} \right)^{ax+1}$ y determina el valor de $a$ para que el resultado exacto sea $e^2$.
Calcula el límite paramétrico $\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x^2 + 3}{2x^2 - x} \right)^{ax+1}$ y determina el valor de $a$ para que el resultado exacto sea $e^2$.
De vuelta al inicio: en $x=5$ la función $\dfrac{x^2-25}{x-5}$ da $\frac{0}{0}$. Al factorizar, $\dfrac{(x-5)(x+5)}{x-5}=x+5$ para todo $x\ne5$, así que la gráfica es la recta $y=x+5$ con un hueco en $x=5$, y el límite es $5+5=10$.