Conecta el cargador de tu celular a un enchufe de pared en EE. UU. y el voltaje no se queda quieto: oscila de positivo a negativo y de vuelta 60 veces cada segundo. Si empezamos a contar el tiempo cuando el voltaje es cero y va subiendo, ¿en qué momento exacto llega por primera vez a su valor máximo? El mismo tipo de función le dice a un piloto de puerto qué profundidad tiene el agua en la marea alta y le dice a quien diseña una rueda de la fortuna a qué altura está una cabina en cada instante. Al final de esta página responderás la pregunta del enchufe en una línea.
Seno y coseno
Dibuja un ángulo de $x$ radianes en el círculo unitario. Su lado terminal corta el círculo en el punto $(\cos x, \sin x)$. Puedes dar tantas vueltas al círculo como quieras, en cualquier sentido, así que $x$ puede ser cualquier número real.
Practica★☆☆Sin empezar
Determine el dominio y el recorrido (imagen) de la función trigonométrica $f(x) = -4\cos(x) + 2$.
Determine el dominio y el recorrido (imagen) de la función trigonométrica $f(x) = -4\cos(x) + 2$.
El círculo unitario, valores exactos y ecuaciones básicas
Muchos problemas piden valores exactos como $\sin\dfrac{5\pi}{6}$, no decimales. Solo necesitas memorizar el primer cuadrante. Todos los demás ángulos reutilizan esos valores con distinto signo.
Si recorres el proceso al revés, resuelves ecuaciones como $\sin x = k$: halla el ángulo de referencia en la tabla y colócalo en todos los cuadrantes donde el signo coincida.
La figura muestra por qué $\sin x = 0.5$ tiene dos soluciones en $[0, 2\pi]$: la recta $y=0.5$ corta la onda dos veces.
Practica★☆☆Sin empezar
Evalúe la función $f(x) = \tan(x)$ en los siguientes valores exactos expresados en radianes: $x = \frac{3\pi}{4}$ $x = \frac{5\pi}{3}$
Evalúe la función $f(x) = \tan(x)$ en los siguientes valores exactos expresados en radianes:
Cómo escribir una fórmula a partir de una gráfica o datos
Ahora recorre el proceso al revés. Algunos problemas dicen "halla la expresión analítica"; eso solo significa "escribe una fórmula". Te dan un máximo, un mínimo, un periodo y un punto de partida. Tú construyes $A$, $B$ y $D$.
Practica★★☆Sin empezar
La altura $h$ (en pies) a la que se encuentra una cabina de una rueda de la fortuna respecto al suelo en función del tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la gráfica…
La altura $h$ (en pies) a la que se encuentra una cabina de una rueda de la fortuna respecto al suelo en función del tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la gráfica adjunta.
A partir de la gráfica, determine la expresión analítica de la función en la forma $h(t) = A\cos(Bt) + C$. Justifique el valor de los parámetros $A$, $B$ y $C$.
Encuentre la expresión analítica de la función $f(x) = A\sin(Bx) + C$ sabiendo que: Su valor máximo es $4$ y su valor mínimo es $-2$. Su período es $\pi$. Pasa por el…
Encuentre la expresión analítica de la función $f(x) = A\sin(Bx) + C$ sabiendo que:
Su valor máximo es $4$ y su valor mínimo es $-2$.
Su período es $\pi$.
Pasa por el punto $(0, 1)$ y es creciente en ese instante.
Halla los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ (con $a > 0$ y $b > 0$) de la función $f(x) = a\sin(bx) + c$ sabiendo que: El valor máximo de la función es $10$. El…
Halla los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ (con $a > 0$ y $b > 0$) de la función $f(x) = a\sin(bx) + c$ sabiendo que:
El seno, el coseno y la tangente repiten sus valores, así que no son uno a uno en todo $\mathbb{R}$ y no tienen inversa ahí. La solución es quedarse con un pedazo de la gráfica donde cada valor aparece una sola vez.
Practica★☆☆Sin empezar
Calcule el valor exacto en radianes de las siguientes expresiones con funciones trigonométricas inversas, sin utilizar la calculadora:…
Calcule el valor exacto en radianes de las siguientes expresiones con funciones trigonométricas inversas, sin utilizar la calculadora:
Las mareas, los resortes, el sonido y la electricidad se repiten. Si sabes leer la amplitud, el periodo y la línea media, puedes predecir cuándo ocurre el máximo, el mínimo o el cero.
La gráfica de arriba podría ser el nivel del agua en un muelle: oscila alrededor de una línea media de $9$ ft con amplitud de $5$ ft.
Practica★★☆Sin empezar
La profundidad del agua $d$ (en pies) en la entrada de un puerto varía con las mareas y se puede modelizar mediante la función…
La profundidad del agua $d$ (en pies) en la entrada de un puerto varía con las mareas y se puede modelizar mediante la función $d(t) = 12 + 4\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)$, donde $t$ es el tiempo en horas transcurrido desde la medianoche ($t=0$).
¿Cuál es la profundidad máxima y mínima del agua en el puerto?
¿A qué horas del día se alcanza la profundidad máxima por primera y segunda vez?
El voltaje $V$ (en voltios) de un circuito de corriente alterna en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dado por $V(t) = 311\sin(100\pi t)$. Calcule la frecuencia…
El voltaje $V$ (en voltios) de un circuito de corriente alterna en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dado por $V(t) = 311\sin(100\pi t)$.
Calcule la frecuencia de la corriente (número de ciclos completos por segundo).
Determine el primer instante $t > 0$ en el que el voltaje alcanza su valor máximo de $311$ V.
La posición de un peso suspendido de un resorte que oscila verticalmente se modeliza mediante la función $y(t) = -5\cos(4\pi t)$, donde $y$ es el desplazamiento en…
La posición de un peso suspendido de un resorte que oscila verticalmente se modeliza mediante la función $y(t) = -5\cos(4\pi t)$, donde $y$ es el desplazamiento en pulgadas respecto a la posición de equilibrio ($y=0$) y $t$ es el tiempo en segundos.
¿Cuál es la amplitud y el período del movimiento?
¿En qué instante $t > 0$ pasa el peso por primera vez por la posición de equilibrio?
De vuelta al principio: el voltaje del enchufe llega por primera vez a su pico cuando $\sin(120\pi t)=1$, es decir, en $t=\dfrac{1}{240}$ s, unas $4$ milésimas de segundo después de que empieza a correr el tiempo.
Ciclos estacionales y tendencias
Algunos datos se repiten en un calendario anual o mensual, como las horas de luz. A veces el ciclo se superpone a una tendencia constante hacia arriba o hacia abajo.
Practica★★★Sin empezar
En una ciudad, el número de horas de luz solar a lo largo del año se puede aproximar mediante una función del tipo…
En una ciudad, el número de horas de luz solar a lo largo del año se puede aproximar mediante una función del tipo $L(t) = A\cos\left(\frac{2\pi}{365}(t - C)\right) + D$, donde $t$ es el día del año ($t=1$ es el 1 de enero).
Sabiendo que el día con más horas de luz es el 21 de junio ($t=172$) con $15$ horas, y el día con menos horas de luz es el 21 de diciembre ($t=355$) con $9$ horas:
Halla los valores de los parámetros $A$, $C$ y $D$.
Estima el número de horas de luz el 21 de marzo ($t=80$).
Las ventas mensuales $S$ (en miles de unidades) de un producto estacional se modelizan mediante la función $S(t) = 120 + 20t + 50\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)$, donde…
Las ventas mensuales $S$ (en miles de unidades) de un producto estacional se modelizan mediante la función $S(t) = 120 + 20t + 50\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)$, donde $t$ es el tiempo en meses ($t=0$ corresponde a enero).
Calcula las ventas en enero ($t=0$) y en julio ($t=6$).
Demuestra analíticamente si las ventas en julio son mayores o menores que en enero y calcula la diferencia exacta.
Dos hechos te permiten reescribir expresiones trigonométricas de forma más simple: las fórmulas de suma y las de ángulo doble.
Practica★★★Sin empezar
Dadas las funciones $f(x) = \sin(2x)$ y $g(x) = \sin(x)$ representadas en la gráfica adjunta en el intervalo $[0, 2\pi]$. Calcula analíticamente las coordenadas exactas…
Dadas las funciones $f(x) = \sin(2x)$ y $g(x) = \sin(x)$ representadas en la gráfica adjunta en el intervalo $[0, 2\pi]$.
Calcula analíticamente las coordenadas exactas de todos los puntos de intersección entre ambas curvas en el intervalo $[0, 2\pi]$. (Pista: utiliza la identidad del seno del ángulo doble).
Expresa la función $f(x) = \sqrt{3}\sin(x) + \cos(x)$ en la forma $f(x) = A\sin(x + \alpha)$. A partir de esta nueva expresión, indica la amplitud y el desfase de la…
Expresa la función $f(x) = \sqrt{3}\sin(x) + \cos(x)$ en la forma $f(x) = A\sin(x + \alpha)$. A partir de esta nueva expresión, indica la amplitud y el desfase de la función.
Cuando un problema describe un triángulo rectángulo o un punto en un círculo, la trigonometría da una fórmula en términos de un ángulo. Entonces todo lo que sabes sobre ondas (amplitud, máximo, periodo) se aplica.
Ahora coloca el rectángulo dentro de un semicírculo de radio $R$, con su base sobre el diámetro y el centro del semicírculo en el origen. El rectángulo es simétrico respecto al eje vertical, así que sus dos esquinas superiores son imágenes especulares: $(R\cos\theta,\,R\sin\theta)$ a la derecha y $(-R\cos\theta,\,R\sin\theta)$ a la izquierda.
Practica★★☆Sin empezar
Una cámara de seguimiento está situada a $50\text{ m}$ de la base de lanzamiento de un cohete. El cohete asciende verticalmente. Expresa el ángulo de elevación $\theta$…
Una cámara de seguimiento está situada a $50\text{ m}$ de la base de lanzamiento de un cohete. El cohete asciende verticalmente.
Expresa el ángulo de elevación $\theta$ de la cámara como una función trigonométrica inversa de la altura $h$ del cohete.
Calcula el ángulo de elevación exacto (en radianes y grados) cuando el cohete se encuentra a una altura de $50\sqrt{3}\text{ m}$.
Se inscribe un rectángulo dentro de un semicírculo de radio $R = 10\text{ cm}$, de modo que su base descansa sobre el diámetro del semicírculo, como muestra la figura.…
Se inscribe un rectángulo dentro de un semicírculo de radio $R = 10\text{ cm}$, de modo que su base descansa sobre el diámetro del semicírculo, como muestra la figura.
Sea $\theta$ el ángulo que forma el radio trazado hasta un vértice superior del rectángulo con el diámetro.
Expresa el área del rectángulo en función del ángulo $\theta$. (Pista: usa la fórmula del seno del ángulo doble).
¿Para qué valor de $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ el área del rectángulo es máxima y cuál es dicho valor máximo?