Funciones de variación inversa, límites y continuidad

Sabiendo que la función $f(x) = \frac{k}{x}$ pasa por el punto $(2, 6)$, halla el valor de la constante $k$ y calcula $\lim_{x \to 0^+} f(x)$.

Calcula los límites de la función $g(x) = \frac{-5}{x}$ cuando $x \to +\infty$ y cuando $x \to -\infty$. Interpreta geométricamente el resultado.

El tiempo $t$ (en horas) que se tarda en recorrer una distancia de $120$ millas en función de la velocidad media $v$ (en mph) viene dado por $t(v) = \frac{120}{v}$. Calcula el límite de $t(v)$ cuando $v \to +\infty$ y explica su significado físico.

La ley de Boyle-Mariotte establece que, a temperatura constante, el volumen $V$ que ocupa un gas es inversamente proporcional a la presión $P$ a la que está sometido, es decir, $V(P) = \frac{k}{P}$. Si a una presión de $1.5$ atmósferas el gas ocupa un volumen de $4$ galones:

1. a) Halla el valor de la constante $k$.
2. b) Calcula $\lim_{P \to +\infty} V(P)$ y razona qué ocurre con el gas si la presión aumenta indefinidamente.

Dada la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{4}{x-3}$, determina su dominio y calcula los límites laterales cuando $x$ tiende a $3$.

Para organizar una excursión, el costo del alquiler del autobús es de $\$600$, que se repartirá a partes iguales entre los asistentes. La función que define el costo por persona en función del número de asistentes $x$ es $C(x) = \frac{600}{x}$.

Calcula $\lim_{x \to 0^+} C(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} C(x)$. Interpreta ambos resultados en el contexto del problema.

La intensidad de una señal acústica $I$ (en vatios por pie cuadrado) recibida por un micrófono disminuye de forma inversamente proporcional a la distancia $d$ (en pies) a la bocina, siguiendo el modelo $I(d) = \frac{150}{d}$.

1. a) Calcula $\lim_{d \to 0^+} I(d)$ y explica por qué no se puede colocar el micrófono pegado a la bocina.
2. b) Calcula $\lim_{d \to +\infty} I(d)$ e interpreta el resultado.

Determina el valor de los siguientes límites para la función $f(x) = \frac{1-x}{x}$:

1. a) $\lim_{x \to 0^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 0^+} f(x)$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

La temperatura $T$ (en grados Fahrenheit) de un componente electrónico en función del tiempo $t$ (en minutos) desde que se enciende el ventilador de refrigeración viene dada por $T(t) = 25 + \frac{80}{t+2}$.

1. a) ¿Cuál es la temperatura en el instante en que se enciende el ventilador ($t=0$)?
2. b) Calcula el límite de $T(t)$ cuando $t \to +\infty$. ¿Qué representa este valor en la realidad?

A partir de la función de proporcionalidad inversa básica $f(x) = \frac{1}{x}$, se aplica una traslación de $3$ unidades hacia la derecha y $2$ unidades hacia arriba para obtener una nueva función $g(x)$.

1. a) Escribe la expresión analítica de $g(x)$ en la forma $\frac{ax+b}{cx+d}$.
2. b) Demuestra, mediante el cálculo de límites, que las asíntotas de $g(x)$ coinciden con los desplazamientos aplicados a los ejes coordenados.

Encuentra la ecuación de la asíntota horizontal y la asíntota vertical de la función homográfica $h(x) = \frac{2x+1}{x-4}$.

Dada la función $f(x) = \frac{3x-1}{x+2}$:

1. a) Calcula los puntos de corte con los ejes coordenados.
2. b) Halla las ecuaciones de sus asíntotas evaluando los límites correspondientes.

Se sabe que la función $f(x) = \frac{ax+2}{3x-b}$ tiene una asíntota vertical en $x = 2$ y una asíntota horizontal en $y = 4$.

Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$.

Estudia la continuidad de la función $f(x) = \frac{1}{x+5} - 2$. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta en su punto singular?

Dada la función $f(x) = \frac{3x-6}{x-2}$, calcula el límite cuando $x \to 2$. Ten en cuenta si se trata de una indeterminación o de una asíntota vertical.

Determina el dominio y estudia la continuidad de la función $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$. ¿Se trata de una función de proporcionalidad inversa pura? Justifica tu respuesta calculando el límite cuando $x \to 2$.

Halla el valor del parámetro $k$ para que la función definida a trozos sea continua en $x = 1$:

$f(x) = \begin{cases} \frac{k}{x+1} & \text{si } x < 1 \\ 2x - 3 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Se define la función a trozos:

$f(x) = \begin{cases} \frac{x+k}{x-2} & \text{si } x < 1 \\ x^2 - a & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Determina los valores de las constantes $a$ y $k$ sabiendo que $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$ y que la función es continua en $x = 1$.

Dada la función $f(x) = \frac{3x-2}{x+1}$:

1. a) Halla su función inversa $f^{-1}(x)$.
2. b) Calcula las asíntotas horizontales y verticales tanto de $f(x)$ como de $f^{-1}(x)$.
3. c) Explica la relación geométrica y analítica que existe entre las asíntotas de una función homográfica y las de su inversa.

Sea la función $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$.

1. a) Determina la expresión analítica de la función compuesta $(f \circ f)(x) = f(f(x))$ simplificando el resultado al máximo.
2. b) A la vista del resultado, ¿cuál es el límite de $(f \circ f)(x)$ cuando $x \to 1$? ¿Existe alguna contradicción con el dominio de la función original? Razona tu respuesta.

Una empresa de fabricación de componentes electrónicos tiene unos costos fijos mensuales de $\$2000$ y un costo variable de $\$15$ por cada unidad producida. La función de costo medio por unidad, si se producen $x$ unidades, es $C_m(x) = \frac{2000 + 15x}{x}$.

1. a) Estudia la continuidad de $C_m(x)$ en el contexto del problema ($x > 0$).
2. b) Calcula $\lim_{x \to +\infty} C_m(x)$ y demuestra analíticamente por qué el costo medio por unidad nunca podrá ser exactamente de $\$15$, por muchas unidades que se fabriquen.

Se quiere construir un rectángulo de área fija igual a $36 \text{ cm}^2$. Si llamamos $x$ a la longitud de la base, el perímetro del rectángulo en función de $x$ viene dado por $P(x) = 2x + \frac{72}{x}$.

1. a) Calcula $\lim_{x \to 0^+} P(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} P(x)$.
2. b) Interpreta geométricamente qué forma adquiere el rectángulo en cada uno de esos dos casos límite y por qué el perímetro tiende a infinito en ambas situaciones.

El costo $C$ (en miles de dólares) para eliminar el $p$ por ciento de los contaminantes de un lago se modeliza mediante la función $C(p) = \frac{120p}{100-p}$, válida para $0 \le p < 100$.

1. a) Calcula el costo de eliminar el $50\%$ y el $90\%$ de los contaminantes.
2. b) Calcula $\lim_{p \to 100^-} C(p)$ y explica, desde un punto de vista económico y medioambiental, por qué es imposible eliminar el $100\%$ de los contaminantes.

En bioquímica, la cinética de Michaelis-Menten describe la velocidad de reacción enzimática $v$ en función de la concentración de sustrato $S$. La ecuación es $v(S) = \frac{V_{max} \cdot S}{K_m + S}$, donde $V_{max} = 100 \,\mu\text{mol/s}$ es la velocidad máxima y $K_m = 5 \text{ mM}$ es una constante.

1. a) Calcula $\lim_{S \to +\infty} v(S)$ e indica qué representa $V_{max}$ gráficamente.
2. b) Encuentra la concentración de sustrato $S$ necesaria para que la velocidad de la reacción sea exactamente la mitad de su límite asintótico máximo.