Estás junto al asta de la bandera frente a tu escuela. No puedes subir hasta arriba, pero sí puedes medir su sombra en el suelo, y sabes qué tan alto está el sol en el cielo. ¿Cómo conviertes esos dos datos en la altura del asta? La trigonometría es la herramienta, y en esta página la vas a construir para ángulos de cualquier tamaño, no solo para los ángulos de un triángulo rectángulo.
Razones en un triángulo rectángulo
Elige un ángulo agudo $\theta$ de un triángulo rectángulo. El lado que está frente a él es el cateto opuesto, el lado que lo toca (aparte de la hipotenusa) es el cateto adyacente, y el lado más largo es la hipotenusa.
¿Por qué estas razones dependen solo del ángulo? Dos triángulos rectángulos con el mismo ángulo agudo son semejantes, así que sus lados son proporcionales y las razones salen iguales, sin importar el tamaño del triángulo. Fíjate también en que $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, porque la hipotenusa se cancela.
Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios, y el cateto opuesto de uno es el cateto adyacente del otro. Por eso $\sin\theta=\cos(90^\circ-\theta)$.
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Calcula el valor exacto del seno, coseno y tangente del ángulo más pequeño de un triángulo rectángulo sabiendo que sus catetos miden $5$ pulgadas y $12$ pulgadas.
Calcula el valor exacto del seno, coseno y tangente del ángulo más pequeño de un triángulo rectángulo sabiendo que sus catetos miden $5$ pulgadas y $12$ pulgadas.
Para optimizar la captación de energía solar en invierno, un panel rectangular de $2$ pies de largo se levanta apoyando uno de sus lados menores en el suelo plano, de…
Para optimizar la captación de energía solar en invierno, un panel rectangular de $2$ pies de largo se levanta apoyando uno de sus lados menores en el suelo plano, de forma que el lado opuesto queda exactamente a $1.2$ pies de altura. Determina el valor exacto del coseno y la tangente del ángulo de inclinación del panel.
El círculo unitario y los ángulos de cualquier tamaño
Un triángulo solo puede tener ángulos menores que $90^\circ$. Para ir más allá, coloca el ángulo en posición estándar: su vértice está en el origen, su lado inicial está sobre el eje $x$ positivo, y se gira en sentido contrario a las manecillas del reloj para los ángulos positivos (en el sentido de las manecillas para los negativos). El círculo unitario tiene radio $1$ y centro en el origen.
Sea $P(x,y)$ el punto donde el lado terminal del ángulo corta el círculo unitario. Baja un segmento vertical desde $P$ hasta el eje $x$. Para un ángulo agudo obtienes un triángulo rectángulo con hipotenusa $1$, cateto adyacente $x$ y cateto opuesto $y$. Entonces $\cos\theta=\dfrac{x}{1}$ y $\sin\theta=\dfrac{y}{1}$.
Los signos de las coordenadas dependen del cuadrante, y por lo tanto también los signos de las razones. El seno es la coordenada $y$, el coseno es la coordenada $x$, y el signo de la tangente sale de dividirlas.
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Determina en qué cuadrante se encuentra el ángulo $\beta$ si se cumple simultáneamente que $\sin \beta < 0$ y $\tan \beta > 0$.
Determina en qué cuadrante se encuentra el ángulo $\beta$ si se cumple simultáneamente que $\sin \beta < 0$ y $\tan \beta > 0$.
Otras tres razones son simplemente las primeras tres "al revés".
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En un triángulo rectángulo, la tangente de uno de sus ángulos agudos es $\frac{3}{4}$. Determina el valor exacto de la secante y la cosecante de dicho ángulo.
En un triángulo rectángulo, la tangente de uno de sus ángulos agudos es $\frac{3}{4}$. Determina el valor exacto de la secante y la cosecante de dicho ángulo.
Los grados dividen una vuelta completa en $360$ partes, una elección arbitraria. En matemáticas se prefiere medir un ángulo por el arco que corta en un círculo.
Para convertir, multiplica por una fracción igual a $1$:
Deja $\pi$ en la respuesta para los valores exactos y simplifica la fracción.
Los radianes también sirven para medir máquinas que giran. Una revolución son $2\pi$ rad, y un minuto tiene $60$ segundos.
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Transforma a radianes los ángulos de $135^\circ$ y $330^\circ$, y expresa en grados sexagesimales los ángulos de $\frac{5\pi}{6}$ rad y $\frac{7\pi}{4}$ rad.
Transforma a radianes los ángulos de $135^\circ$ y $330^\circ$, y expresa en grados sexagesimales los ángulos de $\frac{5\pi}{6}$ rad y $\frac{7\pi}{4}$ rad.
Un disco de esmeriladora gira a $7200$ revoluciones por minuto. Expresa esta velocidad angular en radianes por segundo y calcula el ángulo exacto (en radianes) barrido…
Un disco de esmeriladora gira a $7200$ revoluciones por minuto. Expresa esta velocidad angular en radianes por segundo y calcula el ángulo exacto (en radianes) barrido por una partícula de su borde exterior en $0.15$ segundos.
Algunos ángulos tienen valores exactos que se obtienen de dos triángulos sencillos. Corta un cuadrado por su diagonal y obtienes un triángulo de $45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$ con catetos $1$ e hipotenusa $\sqrt2$. Corta un triángulo equilátero de lado $2$ con su altura y obtienes un triángulo de $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ con lados $1$, $\sqrt3$ y $2$.
Los puntos $(1,0)$, $(0,1)$, $(-1,0)$ y $(0,-1)$ del círculo unitario dan directamente los ángulos cuadrantales $0^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$ y $270^\circ$.
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Evalúa la siguiente expresión sustituyendo las razones trigonométricas por sus valores exactos, sin utilizar la calculadora:…
Evalúa la siguiente expresión sustituyendo las razones trigonométricas por sus valores exactos, sin utilizar la calculadora:
Todo punto $P(\cos\theta,\sin\theta)$ del círculo unitario está exactamente a $1$ unidad del origen. El teorema de Pitágoras en el triángulo de abajo da la relación más usada en trigonometría.
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Sabiendo que $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo agudo, halla el valor exacto de $\sin \alpha$ y $\tan \alpha$ utilizando las identidades…
Sabiendo que $\cos \alpha = \frac{4}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo agudo, halla el valor exacto de $\sin \alpha$ y $\tan \alpha$ utilizando las identidades trigonométricas fundamentales.
Dos ángulos son coterminales si tienen el mismo lado terminal. Difieren en vueltas completas, así que tienen razones idénticas. Suma o resta $360^\circ$ (o $2\pi$) hasta que el ángulo quede en $[0^\circ,360^\circ)$. Para un ángulo negativo, suma $360^\circ$.
El ángulo de referencia $\theta'$ es el ángulo agudo entre el lado terminal y el eje $x$. Sus razones son iguales a las de $\theta$ salvo por el signo, y el signo viene del cuadrante.
Ángulos de la forma $\pi\pm x$, $\dfrac{\pi}{2}\pm x$ y similares
Expresiones como $\sin(\pi-x)$ o $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)$ son problemas de ángulo de referencia con una variable. Imagina que $x$ es un ángulo agudo pequeño y mira en qué cuadrante cae el ángulo. Eso da el signo. Si el ángulo se construye a partir de $\dfrac{\pi}{2}$ o $\dfrac{3\pi}{2}$, la función se intercambia con su cofunción ($\sin\leftrightarrow\cos$, $\tan\leftrightarrow\cot$), porque el triángulo de referencia queda "de lado". Si se construye a partir de $\pi$ o $2\pi$, la función se queda igual.
Ángulo
$\sin$
$\cos$
$\tan$
$\pi-x$
$\sin x$
$-\cos x$
$-\tan x$
$\pi+x$
$-\sin x$
$-\cos x$
$\tan x$
$2\pi-x$
$-\sin x$
$\cos x$
$-\tan x$
$\frac{\pi}{2}-x$
$\cos x$
$\sin x$
$\cot x$
$\frac{\pi}{2}+x$
$\cos x$
$-\sin x$
$-\cot x$
$\frac{3\pi}{2}-x$
$-\cos x$
$-\sin x$
$\cot x$
$\frac{3\pi}{2}+x$
$-\cos x$
$\sin x$
$-\cot x$
No memorices la tabla; reconstruye cada fila con la regla del cuadrante.
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Halla el ángulo equivalente en la primera vuelta (comprendido entre $0^\circ$ y $360^\circ$) para el ángulo de $1950^\circ$ y determina el signo de su secante y de su…
Halla el ángulo equivalente en la primera vuelta (comprendido entre $0^\circ$ y $360^\circ$) para el ángulo de $1950^\circ$ y determina el signo de su secante y de su cotangente.
Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica, asumiendo que $x$ es un ángulo del primer cuadrante. Presta especial atención a los signos al reducir a dicho…
Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica, asumiendo que $x$ es un ángulo del primer cuadrante. Presta especial atención a los signos al reducir a dicho cuadrante:
Un ángulo de elevación se mide hacia arriba desde la horizontal. Para usar la trigonometría en un problema con palabras: dibuja el triángulo rectángulo, marca el ángulo, rotula opuesto, adyacente e hipotenusa, elige la razón que relaciona lo conocido con lo desconocido y resuelve.
Practica★★☆Sin empezar
Un edificio proyecta una sombra de $24$ pies cuando el ángulo de elevación del sol sobre el horizonte es de $53^\circ$. Escribe la expresión trigonométrica para calcular…
Un edificio proyecta una sombra de $24$ pies cuando el ángulo de elevación del sol sobre el horizonte es de $53^\circ$. Escribe la expresión trigonométrica para calcular la altura del edificio y determina su valor. Si el ángulo de elevación se reduce a la mitad, ¿la longitud de la sombra se duplica? Justifica tu respuesta basándote en la no linealidad de la razón tangente.
Un péndulo de $80$ pulgadas de longitud se desplaza desde su posición vertical de equilibrio hasta formar un ángulo de $18^\circ$ con la vertical. Calcula la distancia…
Un péndulo de $80$ pulgadas de longitud se desplaza desde su posición vertical de equilibrio hasta formar un ángulo de $18^\circ$ con la vertical. Calcula la distancia horizontal exacta que se ha desplazado la masa del péndulo y la altura que ha ascendido respecto a su punto más bajo. Expresa los resultados en función de las razones trigonométricas de $18^\circ$.
Modelos con triángulos rectángulos: polígonos y bandas
Área de un polígono regular
Une el centro de un $n$-ágono regular inscrito en un círculo de radio $R$ con sus vértices. Obtienes $n$ triángulos isósceles congruentes con dos lados de longitud $R$ y un ángulo de $\dfrac{360^\circ}{n}$ entre ellos.
Para hallar el área de un triángulo con dos lados $R$ y ángulo comprendido $\varphi$, toma uno de los $R$ como base. La altura es la perpendicular desde el otro vértice: en el triángulo rectángulo que se forma, la altura es el cateto opuesto a $\varphi$, así que $h=R\sin\varphi$. Por lo tanto el área es $\dfrac12\cdot R\cdot R\sin\varphi$. Al multiplicar por $n$ se obtiene la fórmula del polígono regular.
Una banda cruzada alrededor de dos poleas
Una banda que se cruza entre dos poleas (radios $R$ y $r$, centros a distancia $d$) toca los círculos en $T_1$ y $T_2$. La banda cruza la línea de los centros en un punto $X$ y forma un ángulo $\alpha$ con ella. Los radios $O_1T_1$ y $O_2T_2$ son perpendiculares a la banda, así que forman dos triángulos rectángulos.
En los triángulos rectángulos $O_1T_1X$ y $O_2T_2X$ los radios son opuestos a $\alpha$: $\sin\alpha=\dfrac{R}{O_1X}=\dfrac{r}{O_2X}$. Por lo tanto $O_1X=\dfrac{R}{\sin\alpha}$ y $O_2X=\dfrac{r}{\sin\alpha}$. Como $O_1X+O_2X=d$, obtenemos
$$\sin\alpha=\frac{R+r}{d}$$
La parte recta de la banda es $T_1T_2=XT_1+XT_2$. En cada triángulo rectángulo el lado a lo largo de la banda es adyacente a $\alpha$, así que $XT_1=O_1X\cos\alpha$ y $XT_2=O_2X\cos\alpha$. Por lo tanto $T_1T_2=d\cos\alpha$.
Practica★★★Sin empezar
Demuestra que el área de un polígono regular de $n$ lados inscrito en una circunferencia de radio $R$ viene dada por la expresión…
Demuestra que el área de un polígono regular de $n$ lados inscrito en una circunferencia de radio $R$ viene dada por la expresión $A = \frac{n \cdot R^2}{2} \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$. A continuación, aplica la fórmula para calcular el área exacta de un octágono regular inscrito en una circunferencia de radio $10$ pulgadas.
Dos poleas circulares de radios $R = 15$ pulgadas y $r = 5$ pulgadas están conectadas por una correa tensa que se cruza entre ellas. La distancia entre los centros de…
Dos poleas circulares de radios $R = 15$ pulgadas y $r = 5$ pulgadas están conectadas por una correa tensa que se cruza entre ellas. La distancia entre los centros de las poleas es de $40$ pulgadas. Si $\alpha$ es el ángulo que forma el tramo recto de la correa con la línea imaginaria que une los centros, calcula el valor exacto de $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ y la longitud total del tramo recto de la correa comprendido entre los dos puntos de tangencia.
Una identidad es una ecuación que es verdadera para todo ángulo en el que ambos lados están definidos. Para simplificar o demostrar una, reescribe el lado más complicado paso a paso hasta que coincida con el otro.
Practica★★☆Sin empezar
Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica utilizando las identidades fundamentales, expresando el resultado en función de una única razón…
Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica utilizando las identidades fundamentales, expresando el resultado en función de una única razón trigonométrica:
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, indicando los pasos algebraicos y las relaciones fundamentales utilizadas. Asume que $\alpha$ es un ángulo para el cual…
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, indicando los pasos algebraicos y las relaciones fundamentales utilizadas. Asume que $\alpha$ es un ángulo para el cual todas las razones están definidas:
Demuestra que si $\alpha$ y $\beta$ son dos ángulos agudos complementarios (es decir, $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$ rad), entonces se verifica siempre la siguiente…
Demuestra que si $\alpha$ y $\beta$ son dos ángulos agudos complementarios (es decir, $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$ rad), entonces se verifica siempre la siguiente relación trigonométrica:
Ecuaciones trigonométricas y relaciones entre razones
Hay dos situaciones frecuentes. En la primera, una relación une $\sin\theta$ y $\cos\theta$ (por ejemplo $\sin\theta=2\cos\theta$) y se quieren sus valores. En la segunda, una ecuación mezcla $\sin^2$ y $\cos$, y se reescribe con la identidad pitagórica para que quede una sola razón.
Ecuaciones como estas también aparecen en física. La ley de Snell dice que cuando la luz pasa de un medio con índice $n_1$ a otro con índice $n_2$, $n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$. Los ángulos se miden desde la normal a la superficie y son agudos, así que los cosenos son positivos.
Practica★★★Sin empezar
Dada la relación $5\sin \theta - 2\cos \theta = 0$, determina todos los valores exactos posibles para $\sin \theta$, $\cos \theta$ y $\tan \theta$. Discute razonadamente…
Dada la relación $5\sin \theta - 2\cos \theta = 0$, determina todos los valores exactos posibles para $\sin \theta$, $\cos \theta$ y $\tan \theta$. Discute razonadamente en qué cuadrantes puede encontrarse el ángulo $\theta$.
Encuentra todos los ángulos $\alpha \in [0^\circ, 360^\circ)$ que satisfacen la siguiente ecuación trigonométrica: $2\cos^2 \alpha - 3\sin \alpha = 0$ (Pista: expresa…
Encuentra todos los ángulos $\alpha \in [0^\circ, 360^\circ)$ que satisfacen la siguiente ecuación trigonométrica:
$2\cos^2 \alpha - 3\sin \alpha = 0$
(Pista: expresa toda la ecuación en función de una única razón trigonométrica utilizando la identidad fundamental).
Un rayo de luz pasa de un medio líquido con índice de refracción $n_1 = 1.33$ a un cristal con índice $n_2 = 1.52$. La ley de Snell establece que…
Un rayo de luz pasa de un medio líquido con índice de refracción $n_1 = 1.33$ a un cristal con índice $n_2 = 1.52$. La ley de Snell establece que $n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$, donde $\theta_1$ y $\theta_2$ son los ángulos de incidencia y refracción medidos respecto a la normal a la superficie. Si el rayo incide con un ángulo $\theta_1 = \frac{\pi}{4}$ rad, determina el valor exacto del coseno del ángulo de refracción $\theta_2$.