Funciones pares e impares
Los cables principales del puente Golden Gate cuelgan formando una curva que se ve igual a ambos lados del centro del tramo. Si te paras 500 ft a la izquierda del centro, el cable está a la misma altura que 500 ft a la derecha. ¿Podemos demostrar esa simetría usando solo una ecuación, sin dibujar nada? Eso es justamente lo que nos dice la paridad de una función.
Funciones pares e impares: la prueba de $f(-x)$
Dos tipos de simetría aparecen una y otra vez. Una gráfica puede ser la imagen en espejo de sí misma respecto al eje $y$, o puede verse igual después de un giro de 180° alrededor del origen.
¿Por qué ese nombre? Las potencias pares $x^2, x^4, x^6, \dots$ cumplen $(-x)^2 = x^2$, así que son funciones pares. Las potencias impares $x, x^3, x^5, \dots$ cumplen $(-x)^3 = -x^3$, así que son impares.
Pruébalo con los deslizadores. La función es $a x^3 + b x^2$: la parte $x^3$ es impar y la parte $x^2$ es par. Observa qué pasa con la simetría cuando $a = 0$, cuando $b = 0$ y cuando ambos son distintos de cero.
Para un polinomio hay un atajo: si todos los términos tienen exponente par (una constante cuenta, porque $c = c x^0$), el polinomio es par. Si todos tienen exponente impar, es impar. Una mezcla de ambos tipos no es ni par ni impar.
Determine analíticamente si la función polinómica $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$ es par, impar o ninguna de las dos.
Determine analíticamente si la función polinómica $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$ es par, impar o ninguna de las dos.
Compruebe matemáticamente si la función polinómica $h(x) = x^3 - 5x + 2$ presenta algún tipo de simetría respecto al eje de ordenadas o respecto al origen.
Compruebe matemáticamente si la función polinómica $h(x) = x^3 - 5x + 2$ presenta algún tipo de simetría respecto al eje de ordenadas o respecto al origen.
Uso de valores y tablas
Si sabes que $f$ es par o impar, un solo valor te da el de su "gemelo" gratis.
Sabiendo que el costo de mantenimiento de una máquina sigue una función par $C(t)$ respecto al tiempo óptimo $t=0$, y que es de $\$C(4) = 150…
Sabiendo que el costo de mantenimiento de una máquina sigue una función par $C(t)$ respecto al tiempo óptimo $t=0$, y que es de $\$C(4) = 150$, ¿cuál será el valor de $C(-4)$?
La posición de un objeto en un entorno virtual tridimensional se rige por una función impar $p(t)$. Si en el instante $t=3$ s su posición en uno de los ejes es…
La posición de un objeto en un entorno virtual tridimensional se rige por una función impar $p(t)$. Si en el instante $t=3$ s su posición en uno de los ejes es $p(3) = -12$ pies, ¿cuál era su posición en el instante $t=-3$ s?
Complete los valores que faltan para que la función $f(x)$ sea impar en todo su dominio: $f(1)=4$, $f(2)=-1$, $f(-1)=\dots$, $f(-2)=\dots$
Complete los valores que faltan para que la función $f(x)$ sea impar en todo su dominio: $f(1)=4$, $f(2)=-1$, $f(-1)=\dots$, $f(-2)=\dots$
Leer la simetría en una gráfica
Una gráfica solo puede sugerir la simetría, pero es una forma rápida de detectarla. Usa dos pruebas mentales.
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Prueba del espejo (par): dobla la hoja por el eje $y$. Si la mitad izquierda cae sobre la derecha, la función es par.
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Prueba del giro (impar): gira la hoja 180° alrededor del origen. Si la gráfica cae sobre sí misma, la función es impar.
Cuando hay puntos marcados en una gráfica, compara los pares en $x$ y $-x$. Valores de $y$ iguales indican función par. Valores de $y$ opuestos indican función impar. Si unos pares coinciden y otros no, no hay simetría.
La figura siguiente muestra solo la mitad derecha de una gráfica (línea continua). La curva verde discontinua la completa como función par. La curva naranja discontinua la completa como función impar.
Observe la siguiente gráfica y clasifique la función representada como par, impar o sin simetría evidente, justificando su respuesta a partir de los puntos destacados.
Observe la siguiente gráfica y clasifique la función representada como par, impar o sin simetría evidente, justificando su respuesta a partir de los puntos destacados.
La gráfica muestra la mitad derecha (para $x \ge 0$) del perfil de una antena parabólica. Sabiendo que su ecuación global corresponde a una función par, describa cómo…
La gráfica muestra la mitad derecha (para $x \ge 0$) del perfil de una antena parabólica. Sabiendo que su ecuación global corresponde a una función par, describa cómo sería la mitad izquierda y qué valor tomará $f(-x)$ en función de $f(x)$.
Funciones racionales y trigonométricas
La prueba es la misma, pero ahora debes sustituir $-x$ en el numerador y en el denominador. La paridad de cada pieza te dice qué esperar.
Como $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, obtenemos $\tan(-x) = \dfrac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$, así que la tangente es impar.
Compárala con la siguiente función, que es par. Solo aparecen potencias pares de $x$, así que sustituir $-x$ no cambia nada.
Estudie la paridad de la función racional $g(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$, indicando si presenta simetría respecto al eje de ordenadas o respecto al origen.
Estudie la paridad de la función racional $g(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$, indicando si presenta simetría respecto al eje de ordenadas o respecto al origen.
Determine analíticamente la paridad de la función trigonométrica $f(x) = 2\sin(x)$, recordando las propiedades del seno para ángulos negativos.
Determine analíticamente la paridad de la función trigonométrica $f(x) = 2\sin(x)$, recordando las propiedades del seno para ángulos negativos.
El perfil de un arco arquitectónico se modela mediante la función $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x^2 + 4}$, donde $x$ es la distancia horizontal al centro en pies. Demuestre…
El perfil de un arco arquitectónico se modela mediante la función $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x^2 + 4}$, donde $x$ es la distancia horizontal al centro en pies. Demuestre analíticamente si este perfil es simétrico respecto al eje central vertical (función par).
Funciones de valor absoluto, exponenciales, logarítmicas y radicales
La prueba funciona para todas las familias. Solo necesitas recordar cómo se comporta cada una cuando $x$ se convierte en $-x$.
| Función | $f(-x)$ | Paridad |
|---|---|---|
| $\lvert x \rvert$ | $\lvert -x \rvert = \lvert x \rvert$ | par |
| $x\lvert x \rvert$ | $-x\lvert x \rvert$ | impar |
| $3^x + 3^{-x}$ | $3^{-x} + 3^{x}$ | par |
| $3^x - 3^{-x}$ | $3^{-x} - 3^{x}$ | impar |
Para los logaritmos, la identidad clave es $\ln\dfrac{1}{A} = -\ln A$. Cuando $x \to -x$, un cociente dentro de un logaritmo suele invertirse, y la inversión cambia el signo de todo el logaritmo.
En las expresiones radicales de la forma $\sqrt{x^2 + px + q} \pm \sqrt{x^2 - px + q}$, al sustituir $-x$ se intercambian los dos radicandos. Las dos raíces cuadradas cambian de lugar, así que obtienes $f(x)$ (con signo más) o $-f(x)$ (con signo menos). Comprueba siempre que el dominio también sea simétrico. Cuando el cuadrático bajo la raíz es siempre positivo, el dominio son todos los números reales.
Una empresa de análisis de datos utiliza la función $E(x) = 3^x + 3^{-x}$ para medir el error simétrico de un algoritmo de predicción. Analice y demuestre la paridad de…
Una empresa de análisis de datos utiliza la función $E(x) = 3^x + 3^{-x}$ para medir el error simétrico de un algoritmo de predicción. Analice y demuestre la paridad de esta función.
Estudie la paridad de la función $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$, utilizada en física para modelar ciertos potenciales eléctricos en el intervalo $(-1, 1)$.
Estudie la paridad de la función $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$, utilizada en física para modelar ciertos potenciales eléctricos en el intervalo $(-1, 1)$.
Analice la paridad de la función $f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 - x + 1}$, que representa la diferencia de distancias de un punto $P(x, 0)$ del eje de abscisas a…
Analice la paridad de la función $f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 - x + 1}$, que representa la diferencia de distancias de un punto $P(x, 0)$ del eje de abscisas a dos focos emisores de calor situados en $F_1\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ y $F_2\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
Productos, sumas y composiciones
Muchas veces puedes hallar la paridad de una función combinada sin sustituir nada, usando las paridades de sus piezas.
Las composiciones funcionan de manera parecida. Mira qué pasa dentro de $h(x) = f(g(x))$ cuando $x \to -x$.
Compara cómo se ven las gráficas de una función par, una función impar y su producto.
Dadas dos funciones, $f(x)$ que es par y $g(x)$ que es impar, demuestre analíticamente qué tipo de paridad tiene la función producto $h(x) = f(x) \cdot g(x)$.
Dadas dos funciones, $f(x)$ que es par y $g(x)$ que es impar, demuestre analíticamente qué tipo de paridad tiene la función producto $h(x) = f(x) \cdot g(x)$.
Estudie la paridad de la función $f(x) = x|x|$, que describe la fuerza de arrastre aerodinámico de un vehículo en función de su velocidad $x$.
Estudie la paridad de la función $f(x) = x|x|$, que describe la fuerza de arrastre aerodinámico de un vehículo en función de su velocidad $x$.
Si $f(x)$ es una función par y $g(x)$ es una función impar, determine y demuestre rigurosamente la paridad de la función compuesta $h(x) = f(g(x))$.
Si $f(x)$ es una función par y $g(x)$ es una función impar, determine y demuestre rigurosamente la paridad de la función compuesta $h(x) = f(g(x))$.
Hallar parámetros en polinomios pares
Cuando se exige que una función sea par, la ecuación $f(-x) = f(x)$ debe cumplirse para todo $x$. Compara los coeficientes de ambos lados, o usa el hecho de que un polinomio par solo tiene potencias pares.
Un polinomio par de grado 4 siempre tiene la forma $f(x) = ax^4 + bx^2 + c$, porque solo se permiten potencias pares. Eso deja tres incógnitas, así que tres condiciones lo determinan.
Calcule el valor del parámetro $k$ para que la función de ganancias de una empresa, dada por $B(x) = x^2 + (k-3)x + 10$, sea una función par y, por tanto, simétrica…
Calcule el valor del parámetro $k$ para que la función de ganancias de una empresa, dada por $B(x) = x^2 + (k-3)x + 10$, sea una función par y, por tanto, simétrica respecto a $x=0$.
Sea $f(x)$ una función polinómica de grado 4. Si $f(x)$ es una función par, $f(0)=3$, $f(1)=4$ y $f(2)=11$, determine la expresión analítica completa de $f(x)$.
Sea $f(x)$ una función polinómica de grado 4. Si $f(x)$ es una función par, $f(0)=3$, $f(1)=4$ y $f(2)=11$, determine la expresión analítica completa de $f(x)$.
Funciones racionales impares con parámetros desconocidos
Supón que una función racional $F(x) = \dfrac{N(x)}{D(x)}$ tiene un denominador par (solo potencias pares de $x$). Entonces $F$ es impar exactamente cuando el numerador $N$ es impar. Así que todos los términos de potencia par del numerador deben desaparecer. Después, las demás condiciones (puntos y asíntotas) dan ecuaciones para los otros parámetros.
Dos datos que usarás:
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Un punto $(x_0, y_0)$ de la gráfica da la ecuación $F(x_0) = y_0$.
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Una asíntota vertical en $x = x_0$ significa que el denominador es $0$ en $x_0$ (mientras que el numerador no lo es).
La fuerza de atracción electromagnética entre dos componentes metálicos se modela con una función impar $F(d) = \frac{ad^3 + bd^2 + 5d}{d^2 + 1}$, donde $d$ es la…
La fuerza de atracción electromagnética entre dos componentes metálicos se modela con una función impar $F(d) = \frac{ad^3 + bd^2 + 5d}{d^2 + 1}$, donde $d$ es la distancia. Determine el valor que debe tener obligatoriamente el parámetro $b$ para que se cumpla dicha simetría.
Un ingeniero diseña una pieza mecánica cuyo contorno superior viene dado por $f(x) = \frac{ax^3 + cx}{x^2 + b}$. Sabiendo que el contorno es una función impar, pasa por…
Un ingeniero diseña una pieza mecánica cuyo contorno superior viene dado por $f(x) = \frac{ax^3 + cx}{x^2 + b}$. Sabiendo que el contorno es una función impar, pasa por los puntos $(2, \frac{10}{3})$ y $(3, \frac{15}{4})$, y tiene una asíntota vertical en $x=1$ (para $x>0$), calcule los valores exactos de los parámetros $a, b$ y $c$.
Partes par e impar, y derivadas
Un hecho sorprendente: toda función definida para todos los números reales se puede descomponer en una pieza par y una pieza impar.
La función exponencial muestra muy bien la idea. Toma $f(x) = 2^x$ en la gráfica de abajo (el mismo método funciona para $e^x$). La parte par es el promedio de $2^x$ y $2^{-x}$, y la parte impar es la mitad de su diferencia. Para $f(x) = e^x$ esto da $e^x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} + \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$.
Un vistazo al cálculo. La derivada de $f$ en un punto es la pendiente de su recta tangente allí. Piensa en una función impar: su gráfica se ve igual después de un giro de 180° alrededor del origen, y un giro de 180° no cambia la pendiente de una recta. Así que las pendientes tangentes en $x$ y en $-x$ son iguales. En símbolos, si $f$ es impar y derivable, entonces $f'$ es par.
Demuestre que cualquier función $f(x)$ definida en $\mathbb{R}$ puede expresarse como la suma de una función par $P(x)$ y una función impar $I(x)$ utilizando las…
Demuestre que cualquier función $f(x)$ definida en $\mathbb{R}$ puede expresarse como la suma de una función par $P(x)$ y una función impar $I(x)$ utilizando las expresiones $P(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$ e $I(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}$.
Aplicando el principio del ejercicio anterior, descomponga la función exponencial $f(x) = e^x$ en la suma de una función par y una función impar.
Aplicando el principio del ejercicio anterior, descomponga la función exponencial $f(x) = e^x$ en la suma de una función par y una función impar.
La derivada de una función nos da la pendiente de su recta tangente en cada punto. Si $f(x)$ es una función impar y derivable en todo $\mathbb{R}$, demuestre…
La derivada de una función nos da la pendiente de su recta tangente en cada punto. Si $f(x)$ es una función impar y derivable en todo $\mathbb{R}$, demuestre matemáticamente que su función derivada $f'(x)$ debe ser obligatoriamente una función par.
Volvamos al inicio: un modelo para la altura del cable, como $h(x) = 0.0001x^2 + 220$ (en pies, con $x$ medido desde el centro del tramo), da $h(-x) = 0.0001(-x)^2 + 220 = h(x)$. La función es par, lo cual demuestra la simetría izquierda-derecha usando solo álgebra.