Transformaciones en el plano

Un dron de reparto se encuentra en la posición $P(3, -2)$, expresada en millas respecto a su base. El controlador le envía una instrucción para realizar un desplazamiento rectilíneo definido por el vector de traslación $\vec{v} = (-5, 4)$. Determine las coordenadas de la nueva posición del dron.

Una máquina de corte láser se desplaza en línea recta sobre una plancha de metal desde el punto inicial $A(-1, 5)$ hasta el punto final $B(4, 2)$. Calcule el vector de traslación que describe exactamente este movimiento.

Una grúa desplaza horizontal y verticalmente una viga rectilínea cuyos extremos iniciales son $A(1, 1)$ y $B(5, 3)$. El movimiento se realiza mediante una traslación definida por el vector $\vec{t} = (0, -4)$. Calcule las coordenadas de los nuevos extremos $A'$ y $B'$ de la viga.

En el diseño de un jardín simétrico, se quiere colocar una fuente en el punto $F'$ que sea el simétrico de una estatua situada en $E(4, 7)$ con respecto a un poste central ubicado en el origen de coordenadas $O(0, 0)$. Halle las coordenadas donde debe instalarse la fuente.

Dos satélites de comunicaciones, $S_1$ y $S_2$, orbitan de manera simétrica con respecto a una estación espacial central. Si $S_1$ está en la posición $(8, -3)$ y la estación espacial se encuentra en $(2, 1)$, calcule las coordenadas de la posición del satélite $S_2$.

Un arquitecto diseña un puente cuyo arco tiene un punto de anclaje crítico en $A(-3, 5)$. Para mantener la simetría visual en un renderizado 3D respecto a la superficie del agua, que coincide con el eje de abscisas ($y=0$), necesita ubicar el reflejo virtual de este punto bajo el agua. Determine las coordenadas de este punto simétrico.

En un programa de diseño gráfico, se ha trazado un polígono con un vértice clave en el punto $V(5, -2)$. Se aplica una simetría axial respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante (recta $y=x$). Determine analíticamente las coordenadas del vértice simétrico $V'$.

Un rayo láser se emite desde un proyector situado en el punto $P(-2, 4)$. Frente a él hay un espejo plano colocado exactamente sobre la recta de ecuación $r \equiv x - 2y + 5 = 0$. Calcule las coordenadas del punto virtual $P'$ (simétrico de $P$ respecto al espejo) del cual parece provenir la luz reflejada.

Dos torres de vigilancia forestal se encuentran ubicadas en los puntos $T_1(-3, 1)$ y $T_2(5, 5)$. Se quiere trazar un cortafuegos rectilíneo que actúe como eje de simetría entre ambas torres, de forma que cualquier punto del cortafuegos equidiste de $T_1$ y $T_2$. Calcule la ecuación general de la recta que define dicho cortafuegos.

Dos pueblos, $A(1, 5)$ y $B(7, 2)$, necesitan conectarse a una tubería principal de agua que discurre en línea recta a lo largo del eje de abscisas ($y=0$). Se quiere construir una estación de bombeo $P$ sobre la tubería principal de manera que la longitud total de los tubos secundarios ($AP + PB$) sea mínima. Utilizando el concepto de simetría axial, calcule las coordenadas exactas del punto $P$ y la longitud mínima total de la tubería.

En una mesa de billar, una bola blanca está situada en el punto $B(2, 3)$ y una bola roja en $R(8, 6)$. Un jugador desea golpear la bola roja haciendo que la blanca rebote primero en la banda superior de la mesa, que se encuentra sobre la recta $y = 10$. Suponiendo que el ángulo de incidencia es igual al de reflexión, calcule las coordenadas del punto exacto de la banda donde debe impactar la bola blanca para lograr su objetivo.

La trayectoria de una cinta transportadora sigue la recta de ecuación $y = 2x - 1$. Por necesidades de espacio en la fábrica, se traslada toda la cinta $3$ unidades hacia la izquierda y $2$ unidades hacia arriba. Escriba la ecuación general de la nueva recta que define la trayectoria trasladada.

Una antena de telefonía celular proporciona cobertura en una zona circular cuya ecuación cartesiana es $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$. Por problemas de interferencias con un edificio cercano, la compañía decide trasladar la antena (el centro de la circunferencia) según el vector $\vec{v} = (-3, 5)$. Determine la ecuación general de la nueva zona de cobertura.

El reflector del faro de un carro sigue el perfil de la parábola $y = x^2 - 6x + 11$. Para facilitar la programación de la máquina de mecanizado CNC, el ingeniero necesita aplicar una traslación a la parábola de modo que su vértice coincida exactamente con el origen de coordenadas. Determine el vector de traslación necesario y la nueva ecuación de la parábola.

La órbita de un cometa se proyecta en un plano astronómico según la ecuación de la elipse $4x^2 + 9y^2 - 24x + 36y + 36 = 0$. Mediante una traslación de ejes, es posible expresar esta ecuación en su forma reducida centrada en el origen. Calcule el vector de traslación que mueve el origen geométrico de la cónica al origen de coordenadas y escriba la ecuación de la elipse tras dicha traslación.

Una vía de tren discurre siguiendo la trayectoria de la recta $r \equiv 3x + 4y - 12 = 0$. Un urbanista quiere trazar una nueva avenida $s$ que sea perfectamente simétrica a la vía del tren con respecto a un monumento central situado en $C(1, -1)$. Encuentre la ecuación general de la avenida $s$.

Un terreno agrícola tiene forma de triángulo con vértices en $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 5)$. El gobierno municipal expropia el terreno y, a cambio, le entrega al propietario otro terreno obtenido al aplicarle al triángulo original una simetría axial respecto a la recta vertical $x = 6$. Calcule los vértices del nuevo terreno y demuestre analíticamente que el área del terreno no ha variado.

Un rayo de luz viaja a lo largo de la recta $r \equiv 2x - y + 4 = 0$ y choca contra un espejo plano situado sobre la recta $s \equiv x + y - 1 = 0$. Determine la ecuación general de la recta $r'$ que contiene al rayo reflejado, sabiendo que dicha recta es la simétrica de $r$ con respecto a $s$.

El contorno de un engranaje circular tiene la ecuación $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$. Este engranaje se refleja en un espejo inclinado representado por la recta $r \equiv 3x - 4y + 10 = 0$. Determine la ecuación general de la circunferencia que representa la imagen reflejada del engranaje.

Un barco pesquero realiza dos movimientos consecutivos en alta mar. Primero se traslada según el vector $\vec{u} = (2, 6)$ y luego según el vector $\vec{v} = (3, -1)$. Si partió de un puerto situado en las coordenadas $P(-4, -5)$, determine su posición final tras ambos desplazamientos.

En la animación de un videojuego, el centro geométrico de un personaje situado en $A(1, 3)$ sufre una traslación de vector $\vec{t} = (4, -2)$ seguida inmediatamente de una simetría central respecto al punto $C(2, 0)$. Halle la posición final del personaje y compruebe analíticamente si el resultado sería el mismo aplicando primero la simetría y luego la traslación.

Demuestre analíticamente que la composición de dos simetrías axiales respecto a rectas paralelas es equivalente a una traslación. Para ello, considere las rectas $r \equiv x - 2y = 0$ y $s \equiv x - 2y + 10 = 0$. Tome un punto genérico $P(x_0, y_0)$, halle su simétrico $P'$ respecto a $r$, y luego el simétrico $P''$ de $P'$ respecto a $s$. Determine el vector de traslación $\vec{v} = \vec{PP''}$ y compruebe que es perpendicular a las rectas y que su módulo es el doble de la distancia entre ellas.

Dadas las rectas paralelas $r \equiv 2x + y - 3 = 0$ y $s \equiv 2x + y + 7 = 0$, halle el vector de traslación $\vec{v}$ de menor módulo que transforma la recta $r$ en la recta $s$. Demuestre analíticamente que este vector es perpendicular a ambas rectas y que su módulo coincide con la distancia más corta entre ellas.

Una isometría en el plano transforma el punto $A(1, 2)$ en $A'(5, 4)$ y el punto $B(3, -1)$ en $B'(7, 1)$.

1. a) Demuestre que la distancia entre $A$ y $B$ es la misma que entre $A'$ y $B'$.
2. b) Determine si el movimiento descrito corresponde a una traslación pura o a una simetría central, justificando analíticamente la respuesta y hallando el vector de traslación o el centro de simetría correspondiente.