Resolución de problemas de cónicas

Determina las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunferencia cuya ecuación general es $x^2 + y^2 - 8x + 10y - 8 = 0$.

Dada la cónica de ecuación general $9x^2 + 25y^2 - 54x + 200y + 256 = 0$. Clasifícala completando cuadrados y halla las coordenadas de su centro, sus vértices, sus focos y el valor de su excentricidad.

Halla la longitud de los semiejes, las coordenadas de los focos y la excentricidad de la elipse de ecuación $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{64} = 1$.

Dada la hipérbola de ecuación $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$, determina sus vértices, sus focos y las ecuaciones de sus asíntotas.

Encuentra las coordenadas del vértice, del foco y la ecuación de la recta directriz de la parábola $y^2 = -20x$.

Identifica el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias, en valor absoluto, a los puntos $F_1(5, 0)$ y $F_2(-5, 0)$ es siempre igual a $8$. Escribe su ecuación reducida.

Un dron submarino se mueve de tal forma que su distancia a una boya fija en $A(-2, 0)$ es siempre el doble de su distancia a otra boya fija en $B(4, 0)$. Halla la ecuación de la trayectoria del dron, simplifícala e identifica qué tipo de curva geométrica describe.

Halla el lugar geométrico de los puntos del plano $P(x, y)$ tales que el producto de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos $A(-4, 0)$ y $B(4, 0)$ es igual a $-\frac{9}{16}$. Identifica la cónica resultante, calcula su excentricidad y represéntala gráficamente.

Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto fijo $F(4, 0)$ es igual a la mitad de su distancia a la recta vertical $x = 16$. Identifica la cónica resultante, halla sus semiejes y represéntala gráficamente ilustrando la propiedad de la directriz.

Halla la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$.

Escribe las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas $r: 3x - 4y + 12 = 0$ y $s: 5x + 12y - 10 = 0$.

Una circunferencia tiene su centro en el punto $C(-3, 5)$ y pasa por el origen de coordenadas. Escribe su ecuación reducida y su ecuación general.

Tres estaciones sísmicas detectan un terremoto en las coordenadas $A(1, 4)$, $B(-3, 2)$ y $C(5, -2)$ (en millas). Suponiendo que las ondas sísmicas viajan a la misma velocidad y llegan al mismo tiempo a las tres estaciones, halla las coordenadas del epicentro y el radio de la zona afectada (distancia a las estaciones).

Un satélite describe una órbita elíptica alrededor de un planeta, el cual se encuentra situado en uno de sus focos. La distancia mínima del satélite al planeta (periastro) es de $3 \text{ Mm}$ y la distancia máxima (apoastro) es de $9 \text{ Mm}$. Determina la ecuación de la órbita y su excentricidad, asumiendo que el centro de la elipse está en el origen y el eje focal coincide con el eje de abscisas.

La sección transversal de una torre de enfriamiento nuclear tiene forma de hipérbola. La parte más estrecha de la torre mide $40 \text{ m}$ de ancho y se encuentra a $50 \text{ m}$ de altura sobre el suelo. Si la base de la torre tiene un ancho de $80 \text{ m}$, halla la ecuación de la hipérbola asumiendo que su centro coincide con el centro de la parte más estrecha.

El cable principal de un puente colgante adopta forma parabólica. Las dos torres que lo sostienen están separadas $120 \text{ m}$ y tienen una altura de $40 \text{ m}$ sobre el tablero del puente. El punto más bajo del cable se encuentra a $10 \text{ m}$ sobre el tablero. Determina la ecuación de la parábola y calcula la altura del cable a $30 \text{ m}$ del centro del puente.

Un radar marítimo tiene un alcance de detección modelado por el círculo $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 \leq 0$. Un barco sigue una trayectoria rectilínea dada por la ecuación $3x + 4y + k = 0$. Determina los valores del parámetro $k$ para los cuales el barco es detectado por el radar en algún momento de su trayectoria.

Calcula los puntos de intersección entre la circunferencia $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ y la recta $x - y - 2 = 0$. Representa gráficamente la situación mostrando ambos lugares geométricos y los puntos de corte.

Un cometa sigue una trayectoria parabólica dada por la ecuación $y^2 = 8x$. Un asteroide sigue una órbita hiperbólica equilátera descrita por $x^2 - y^2 = 9$. Halla las coordenadas exactas de los puntos de intersección de ambas trayectorias.

Un rayo láser incide sobre un espejo elíptico cuya forma viene dada por la ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$. El punto de incidencia tiene abscisa $x = 3$ y ordenada positiva. Halla la ecuación de la recta tangente al espejo en dicho punto.

Desde una estación de control situada en el punto $P(0, 7)$ se envían señales láser a un satélite cuya órbita circular en ese instante viene dada por la ecuación $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 15 = 0$. Halla las ecuaciones de las dos trayectorias rectilíneas tangentes a la órbita desde la estación de control.

Un faro de automóvil tiene una sección transversal parabólica. La bombilla se encuentra en el foco $F(3, 0)$ y el vértice de la parábola está en el origen de coordenadas. Un rayo de luz sale de la bombilla, incide en la parábola en un punto de ordenada $y = 6$ y se refleja. Calcula la ecuación de la recta tangente en el punto de incidencia y halla el ángulo que forma el rayo incidente con dicha tangente.

Dos redes de telecomunicaciones tienen áreas de cobertura modeladas por las circunferencias $C_1: x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ y $C_2: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$. Halla la ecuación del eje radical, demuestra analíticamente que las circunferencias son secantes y calcula la distancia exacta entre sus puntos de intersección.

Una partícula subatómica se mueve en un campo magnético describiendo una trayectoria hiperbólica equilátera cuyas asíntotas coinciden con los ejes de coordenadas. Sabiendo que la partícula pasa por el punto $P(4, 2)$, halla la ecuación de la trayectoria. Determina las coordenadas exactas de los vértices y de los focos, y representa gráficamente la curva.