"Vectores: definiciones y operaciones básicas"
Una kayakista rema directo hacia la otra orilla de un río a $4$ mph, pero la corriente la empuja río abajo a $3$ mph. ¿Dónde termina y qué tan rápido se mueve en realidad? Un solo número no basta para responder. También necesitas saber hacia dónde apunta cada velocidad. La herramienta que registra ambas cosas es el vector.
Escalares y vectores
Conviene recordar el par rapidez y velocidad. La rapidez ($60$ mph) es un escalar. La velocidad ($60$ mph hacia el este) es un vector. La rapidez es la magnitud de la velocidad.
Clasifique las siguientes magnitudes utilizadas en física y geometría en escalares o vectoriales, justificando brevemente su respuesta basándose en su definición:…
Clasifique las siguientes magnitudes utilizadas en física y geometría en escalares o vectoriales, justificando brevemente su respuesta basándose en su definición:
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Temperatura de un servidor de datos ($45^\circ \text{C}$).
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Velocidad del viento en un parque eólico ($20 \text{ km/h}$ en dirección noroeste).
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Masa de un satélite artificial ($1200 \text{ kg}$).
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Desplazamiento de un dron desde su base hasta un punto de entrega.
Forma de componentes de un vector
Para calcular con vectores, los colocamos en el plano coordenado. Un vector se dibuja como una flecha; su punto inicial es la cola y su punto final es la punta.
Muchos problemas escriben las componentes con paréntesis normales, $(a, b)$, en lugar de $\langle a, b\rangle$. Significa el mismo vector.
Entonces $\vec{AB} = \langle 5-1,\ 4-1\rangle = \langle 4, 3\rangle$.
Un brazo robótico en una línea de ensamblaje se desplaza en un plano cartesiano bidimensional. Si su posición inicial es el punto $A(3, -2)$ y su posición final tras un…
Un brazo robótico en una línea de ensamblaje se desplaza en un plano cartesiano bidimensional. Si su posición inicial es el punto $A(3, -2)$ y su posición final tras un movimiento es $B(-1, 5)$, determine las componentes del vector desplazamiento $\vec{AB}$.
Un barco pesquero se encuentra en las coordenadas $P(-4, 2)$ de una carta náutica. Si el capitán programa el piloto automático para realizar un desplazamiento rectilíneo…
Un barco pesquero se encuentra en las coordenadas $P(-4, 2)$ de una carta náutica. Si el capitán programa el piloto automático para realizar un desplazamiento rectilíneo definido por el vector $\vec{v} = (8, -3)$, determine las coordenadas del punto de destino $Q$.
Magnitud de un vector
Arrastra el punto de abajo y observa cómo las componentes forman un triángulo rectángulo.
En el diseño de un videojuego, la velocidad de un personaje viene dada por el vector $\vec{v} = (-6, 8)$ en píxeles por fotograma. Calcule el módulo de dicho vector para…
En el diseño de un videojuego, la velocidad de un personaje viene dada por el vector $\vec{v} = (-6, 8)$ en píxeles por fotograma. Calcule el módulo de dicho vector para determinar la rapidez real del personaje en la pantalla.
La fuerza aplicada sobre un objeto viene dada por el vector $\vec{F} = (5, k)$ en Newtons. Si un sensor indica que la magnitud total de la fuerza es de $13 \text{ N}$,…
La fuerza aplicada sobre un objeto viene dada por el vector $\vec{F} = (5, k)$ en Newtons. Si un sensor indica que la magnitud total de la fuerza es de $13 \text{ N}$, determine los posibles valores del parámetro $k$.
Distancia entre dos puntos
La distancia de $A$ a $B$ es la longitud del vector $\vec{AB}$:
$$AB = \|\vec{AB}\| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$Esto permite hallar los puntos que están a una distancia dada de un punto conocido. Los puntos del eje $x$ tienen la forma $(x, 0)$.
Para instalar un cable de fibra óptica entre dos edificios, los topógrafos marcan las posiciones de las conexiones en un plano como $A(-3, 5)$ y $B(2, -7)$, con las…
Para instalar un cable de fibra óptica entre dos edificios, los topógrafos marcan las posiciones de las conexiones en un plano como $A(-3, 5)$ y $B(2, -7)$, con las unidades en pies. Calcule la distancia en línea recta entre ambos puntos.
Encuentre las coordenadas de todos los puntos situados sobre el eje de abscisas (eje $X$) cuya distancia al punto $A(-2, 3)$ sea exactamente igual a $5$ unidades.
Encuentre las coordenadas de todos los puntos situados sobre el eje de abscisas (eje $X$) cuya distancia al punto $A(-2, 3)$ sea exactamente igual a $5$ unidades.
Vectores iguales
Algunos problemas llaman equipolentes a los vectores iguales, usan módulo para la magnitud y sentido para indicar hacia qué lado de una recta apunta un vector. En este curso decimos vectores iguales, magnitud y dirección.
Una consecuencia útil: $ABCD$ es un paralelogramo exactamente cuando $\vec{AB} = \vec{DC}$ (los lados opuestos son vectores iguales).
Observe los vectores representados en la siguiente cuadrícula. Identifique qué pares de vectores son equipolentes (iguales), cuáles tienen el mismo módulo pero distinta…
Observe los vectores representados en la siguiente cuadrícula. Identifique qué pares de vectores son equipolentes (iguales), cuáles tienen el mismo módulo pero distinta dirección, y cuáles tienen la misma dirección pero sentido opuesto.
Tres drones de iluminación para un espectáculo nocturno se sitúan en las coordenadas $A(1, 2)$, $B(5, 3)$ y $C(6, 7)$. Para que la figura geométrica que formen en el…
Tres drones de iluminación para un espectáculo nocturno se sitúan en las coordenadas $A(1, 2)$, $B(5, 3)$ y $C(6, 7)$. Para que la figura geométrica que formen en el cielo sea un paralelogramo $ABCD$, determine las coordenadas de la posición donde debe situarse el cuarto dron $D$.
Vectores paralelos
Multiplicar un vector por un número $k$ (un escalar) multiplica cada componente por $k$: $k\langle a, b\rangle = \langle ka, kb\rangle$. El resultado es $|k|$ veces más largo.
Para comprobar si $\vec u = \langle a_1, a_2\rangle$ y $\vec v = \langle b_1, b_2\rangle$ son paralelos, verifica que las componentes sean proporcionales multiplicando en cruz:
$$a_1 b_2 = a_2 b_1$$(Esto funciona incluso si una componente es $0$, donde una división fallaría.) Después, el signo de $k$ te dice si apuntan al mismo lado o a lados opuestos.
Puntos colineales. Tres puntos $A$, $B$, $C$ están sobre una misma recta exactamente cuando $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ son paralelos.
Dos aviones de aeromodelismo siguen trayectorias definidas por los vectores $\vec{u} = (4, -6)$ y $\vec{v} = (-2, 3)$. Compruebe, utilizando la definición de vectores…
Dos aviones de aeromodelismo siguen trayectorias definidas por los vectores $\vec{u} = (4, -6)$ y $\vec{v} = (-2, 3)$. Compruebe, utilizando la definición de vectores paralelos, si ambos aviones vuelan en la misma dirección. ¿Tienen el mismo sentido?
Para trazar una carretera recta, los ingenieros deben asegurarse de que tres puntos de control estén perfectamente alineados. Los dos primeros puntos están en $A(-1, 3)$…
Para trazar una carretera recta, los ingenieros deben asegurarse de que tres puntos de control estén perfectamente alineados. Los dos primeros puntos están en $A(-1, 3)$ y $B(2, 5)$. Si el tercer punto tiene coordenada $y = 9$, halle su coordenada $x$ utilizando el concepto de vectores paralelos.
Determine los valores de los parámetros $a$ y $b$ sabiendo que los vectores $\vec{u} = (a, 3)$ y $\vec{v} = (-2, b)$ tienen la misma dirección (son paralelos), sentido…
Determine los valores de los parámetros $a$ y $b$ sabiendo que los vectores $\vec{u} = (a, 3)$ y $\vec{v} = (-2, b)$ tienen la misma dirección (son paralelos), sentido opuesto, y además se cumple que el módulo de $\vec{u}$ es $5$.
Suma de vectores y vectores de posición
¿Por qué? Dos desplazamientos seguidos te mueven $a + c$ hacia la derecha y $b + d$ hacia arriba, así que el total es simplemente la suma de las componentes.
Ahora podemos cerrar la historia de la kayakista. Toma el este como $+x$ y el norte (directo hacia la otra orilla) como $+y$.
Vectores de posición
Como $\vec{OA} + \vec{AB} = \vec{OB}$, obtenemos una fórmula muy útil:
$$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$$Un robot de exploración marciana realiza dos desplazamientos consecutivos. Primero se mueve desde su base $O(0,0)$ hasta el punto $P$ definido por el vector…
Un robot de exploración marciana realiza dos desplazamientos consecutivos. Primero se mueve desde su base $O(0,0)$ hasta el punto $P$ definido por el vector $\vec{v_1} = (12, 5)$. Luego, desde $P$, realiza un segundo desplazamiento $\vec{v_2} = (-4, 10)$ hasta llegar al punto $Q$. Calcule las coordenadas del punto $Q$ y la distancia total en línea recta desde la base $O$ hasta $Q$.
Dado el hexágono regular $ABCDEF$ de la figura, cuyo centro es el origen de coordenadas $O(0,0)$ y el vértice $A$ tiene coordenadas $(2,0)$. Exprese los vectores…
Dado el hexágono regular $ABCDEF$ de la figura, cuyo centro es el origen de coordenadas $O(0,0)$ y el vértice $A$ tiene coordenadas $(2,0)$. Exprese los vectores $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$ como combinación lineal de los vectores de posición de los vértices (por ejemplo, operando con puntos o sumando vectores conocidos de la figura).
Un barco intenta cruzar un río perpendicularmente a las orillas con una velocidad propia dada por el vector $\vec{v_b} = (0, 12)$ mph. Sin embargo, la corriente del río…
Un barco intenta cruzar un río perpendicularmente a las orillas con una velocidad propia dada por el vector $\vec{v_b} = (0, 12)$ mph. Sin embargo, la corriente del río ejerce una velocidad constante representada por el vector $\vec{v_c} = (5, 0)$ mph. Calcule el vector velocidad real del barco respecto a un observador en la orilla y determine su rapidez real (módulo del vector resultante).
Puntos medios y división de un segmento
La misma idea funciona para cualquier fracción del recorrido: un punto que está a una fracción $t$ del camino de $A$ a $B$ es $A + t\,\vec{AB}$.
Algunos problemas dan una relación vectorial en lugar de una razón, como $\vec{PA} + 3\vec{PB} = \vec 0$. Escribe cada vector como (final) menos (inicial) y despeja $P$.
Se va a colocar un pilar de soporte exactamente en el centro de una viga de acero. Si los extremos de la viga se sitúan en las coordenadas $M(-1, 4)$ y $N(7, -2)$,…
Se va a colocar un pilar de soporte exactamente en el centro de una viga de acero. Si los extremos de la viga se sitúan en las coordenadas $M(-1, 4)$ y $N(7, -2)$, determine las coordenadas del punto donde debe ir el pilar.
Un arquitecto diseña una escalera recta que une el punto $P(-2, 1)$ del suelo con el punto $Q(7, -5)$ de una plataforma. Si desea colocar dos soportes intermedios que…
Un arquitecto diseña una escalera recta que une el punto $P(-2, 1)$ del suelo con el punto $Q(7, -5)$ de una plataforma. Si desea colocar dos soportes intermedios que dividan la escalera en tres tramos de igual longitud, calcule las coordenadas donde deben anclarse dichos soportes.
Dados los puntos $A(1, -2)$ y $B(6, 3)$, halle las coordenadas de un punto $P$ situado en el segmento que los une, tal que se cumpla la relación vectorial…
Dados los puntos $A(1, -2)$ y $B(6, 3)$, halle las coordenadas de un punto $P$ situado en el segmento que los une, tal que se cumpla la relación vectorial $2\vec{PA} + 3\vec{PB} = \vec{0}$.
Vectores unitarios
Los vectores unitarios son útiles en preguntas que solo piden la dirección. Un vector de magnitud $m$ en la dirección de $\vec v$ es $m\hat v$. Un vector de magnitud $m$ en la dirección opuesta es $-m\hat v$.
Cuando la magnitud es irracional, racionaliza el denominador. Para $\vec w = \langle 1, 1\rangle$: $\hat w = \left\langle \tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\right\rangle = \left\langle \tfrac{\sqrt2}{2}, \tfrac{\sqrt2}{2}\right\rangle$.
Bisectrices de ángulos
Dos vectores unitarios tienen la misma longitud, así que forman un rombo. La diagonal de un rombo divide su ángulo en dos partes iguales. Por lo tanto, $\hat u + \hat v$ apunta a lo largo de la bisectriz del ángulo entre $\vec u$ y $\vec v$.
En un simulador de física, la dirección del viento está dada por el vector $\vec{w} = (-3, 4)$. Para aplicar correctamente las fórmulas aerodinámicas, el motor del juego…
En un simulador de física, la dirección del viento está dada por el vector $\vec{w} = (-3, 4)$. Para aplicar correctamente las fórmulas aerodinámicas, el motor del juego necesita un vector unitario que mantenga exactamente la misma dirección y sentido que $\vec{w}$. Calcúlelo.
Halle un vector $\vec{v}$ que sea paralelo al vector $\vec{u} = (1, -2)$, que tenga sentido opuesto a $\vec{u}$, y cuyo módulo sea exactamente $10$.
Halle un vector $\vec{v}$ que sea paralelo al vector $\vec{u} = (1, -2)$, que tenga sentido opuesto a $\vec{u}$, y cuyo módulo sea exactamente $10$.
Dados los vectores $\vec{u} = (4, 0)$ y $\vec{v} = (0, 3)$. Se desea encontrar un vector $\vec{w}$ que sea la bisectriz del ángulo que forman $\vec{u}$ y $\vec{v}$.…
Dados los vectores $\vec{u} = (4, 0)$ y $\vec{v} = (0, 3)$. Se desea encontrar un vector $\vec{w}$ que sea la bisectriz del ángulo que forman $\vec{u}$ y $\vec{v}$. Sabiendo que la suma de dos vectores unitarios da como resultado un vector en la dirección de la bisectriz, calcule las coordenadas exactas de un vector director $\vec{w}$ de dicha bisectriz.
Uso de vectores en geometría
Los vectores convierten afirmaciones geométricas en cálculos cortos.
Punto simétrico. El simétrico $A'$ de $A$ respecto de un punto $P$ es el punto para el cual $P$ es el punto medio de $AA'$. Eso significa que $\vec{AP} = \vec{PA'}$, así que $A' = 2P - A$.
Demostraciones con vectores. Usa el vector de posición $\vec a$ para el punto $A$, $\vec b$ para $B$, etc. Los puntos medios se vuelven promedios, y los vectores iguales demuestran lados paralelos y de igual longitud.
Halle las coordenadas del punto simétrico $A'$ del punto $A(3, -1)$ con respecto al punto $P(1, 2)$. Plantee la resolución utilizando la definición de vector que une dos…
Halle las coordenadas del punto simétrico $A'$ del punto $A(3, -1)$ con respecto al punto $P(1, 2)$. Plantee la resolución utilizando la definición de vector que une dos puntos e indique la relación geométrica entre los vectores $\vec{AP}$ y $\vec{PA'}$.
Se dan los puntos $A(1, 1)$, $B(4, 2)$, $C(3, 5)$ y $D(0, 4)$. Calcule los vectores que forman los lados del cuadrilátero $ABCD$ y las longitudes de sus diagonales. Con…
Se dan los puntos $A(1, 1)$, $B(4, 2)$, $C(3, 5)$ y $D(0, 4)$. Calcule los vectores que forman los lados del cuadrilátero $ABCD$ y las longitudes de sus diagonales. Con base en estos cálculos (y sin usar el producto escalar), justifique si la figura es un rombo, un cuadrado, un rectángulo o ninguna de estas figuras regulares.
Dado un cuadrilátero cualquiera de vértices $A, B, C$ y $D$. Sean $M, N, P$ y $Q$ los puntos medios de los lados $AB, BC, CD$ y $DA$ respectivamente. Demuestre,…
Dado un cuadrilátero cualquiera de vértices $A, B, C$ y $D$. Sean $M, N, P$ y $Q$ los puntos medios de los lados $AB, BC, CD$ y $DA$ respectivamente. Demuestre, utilizando exclusivamente operaciones con vectores y coordenadas de puntos, que el cuadrilátero $MNPQ$ es siempre un paralelogramo.
Resumen
Volvamos a la kayakista: su velocidad hacia la otra orilla es $\langle 0, 4\rangle$ y la corriente suma $\langle 3, 0\rangle$, así que en realidad se mueve con velocidad $\langle 3, 4\rangle$, a una rapidez de $5$ mph. Se desvía $3$ millas río abajo por cada $4$ millas que avanza hacia la otra orilla.