El mapa de tu celular dice que el estadio está a 5 millas y que debes ir hacia el noreste. Dos datos, qué tan lejos y hacia dónde, son todo lo que necesita un vector. Esta página convierte esos dos datos en números: la magnitud (qué tan largo es) y la dirección (a lo largo de qué recta y hacia qué lado apunta). Algunos problemas llaman a la magnitud módulo y hablan del sentido de un vector. Es simplemente la parte de "hacia qué lado de la recta". Al final responderemos algo que el mapa no puede: ¿cómo saber, sin dibujar, si dos flechas apuntan a lo largo de la misma recta?
Magnitud y distancia
Arrastra el punto de abajo. Observa cómo cambian los catetos horizontal y vertical mientras el vector sigue siendo la hipotenusa.
Compruebe analíticamente si los vectores $\vec{u} = (2, -5)$ y $\vec{v} = (-4, 10)$ tienen la misma dirección. En caso afirmativo, indique si tienen el mismo sentido o…
Compruebe analíticamente si los vectores $\vec{u} = (2, -5)$ y $\vec{v} = (-4, 10)$ tienen la misma dirección. En caso afirmativo, indique si tienen el mismo sentido o sentidos opuestos.
Halle las coordenadas de un vector $\vec{v}$ sabiendo que su módulo es $5\sqrt{2}$ y que tiene la misma dirección y sentido que el vector $\vec{u} = (-1, 1)$.
Halle las coordenadas de un vector $\vec{v}$ sabiendo que su módulo es $5\sqrt{2}$ y que tiene la misma dirección y sentido que el vector $\vec{u} = (-1, 1)$.
Dos cables tiran de la parte superior de un poste. El primer cable ejerce una fuerza representada por el vector $\vec{T}1 = (120, 160)$ N. El segundo cable ejerce una…
Dos cables tiran de la parte superior de un poste. El primer cable ejerce una fuerza representada por el vector $\vec{T}_1 = (120, 160)$ N. El segundo cable ejerce una fuerza $\vec{T}_2$ de módulo $150$ N, que tiene la misma dirección pero sentido opuesto a $\vec{T}_1$. Halle las componentes exactas del vector $\vec{T}_2$.
Un robot, un bote o un rayo láser parte de un punto $A$, avanza en la dirección de $\vec d$ y recorre cierta distancia. ¿Dónde termina?
Practica★★☆Sin empezar
Una embarcación se encuentra en el punto $A(2, -1)$ y se desplaza en línea recta una distancia de $13$ millas náuticas. Si el vector director de su trayectoria es…
Una embarcación se encuentra en el punto $A(2, -1)$ y se desplaza en línea recta una distancia de $13$ millas náuticas. Si el vector director de su trayectoria es proporcional a $\vec{d} = (5, 12)$ y se mueve en el mismo sentido que $\vec{d}$, determine las coordenadas exactas del punto de llegada.
Un robot explorador se encuentra inicialmente en el punto $A(-3, 2)$. Se le programa para avanzar en línea recta en la dirección y sentido del vector $\vec{u} = (2, -1)$…
Un robot explorador se encuentra inicialmente en el punto $A(-3, 2)$. Se le programa para avanzar en línea recta en la dirección y sentido del vector $\vec{u} = (2, -1)$ hasta alcanzar un punto $B$, de forma que la distancia $AB$ sea igual a $4\sqrt{5}$. Seguidamente, gira y avanza en la dirección y sentido del vector $\vec{w} = (1, 2)$ una distancia de $3\sqrt{5}$ hasta detenerse en el punto $C$. Calcule las coordenadas exactas de los puntos $B$ y $C$.
Una señal luminosa parte del punto $A(0, 4)$ con un vector director $\vec{d} = (2, -1)$. Al llegar al eje de abscisas en un punto $P$, se refleja cambiando su dirección…
Una señal luminosa parte del punto $A(0, 4)$ con un vector director $\vec{d} = (2, -1)$. Al llegar al eje de abscisas en un punto $P$, se refleja cambiando su dirección y sentido según el nuevo vector director $\vec{d}' = (2, 1)$. Si la señal continúa su trayectoria hasta chocar con la recta vertical $x = 12$ en un punto $Q$, calcule la distancia total recorrida por la luz desde $A$ hasta $Q$.
Las fuerzas, las velocidades y los desplazamientos son vectores, y combinarlos significa sumarlos componente por componente. La suma se llama resultante.
Dos fuerzas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, forman los catetos de un triángulo rectángulo, y la resultante es la hipotenusa. Cambia los catetos de abajo y compara la hipotenusa con la suma de los dos catetos.
Practica★☆☆Sin empezar
Un jugador de ajedrez mueve su peón desde la casilla representada por el punto $(1, 2)$ hasta la casilla $(1, 4)$, y a continuación mueve un caballo desde $(1, 4)$ hasta…
Un jugador de ajedrez mueve su peón desde la casilla representada por el punto $(1, 2)$ hasta la casilla $(1, 4)$, y a continuación mueve un caballo desde $(1, 4)$ hasta $(3, 5)$. Calcule el módulo del vector desplazamiento total de la pieza desde su posición inicial hasta la final.
Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas coplanarias representadas por los vectores $\vec{F}1 = (30, -40)$ N y $\vec{F}2 = (-15, 20)$ N. Calcule el módulo de la fuerza…
Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas coplanarias representadas por los vectores $\vec{F}_1 = (30, -40)$ N y $\vec{F}_2 = (-15, 20)$ N. Calcule el módulo de la fuerza resultante $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ y determine un vector unitario en la dirección de dicha resultante.
Tres fuerzas coplanarias mantienen un objeto en equilibrio estático en el origen de coordenadas (es decir, la fuerza resultante es el vector nulo). Se conocen las…
Tres fuerzas coplanarias mantienen un objeto en equilibrio estático en el origen de coordenadas (es decir, la fuerza resultante es el vector nulo). Se conocen las componentes de dos de ellas: $\vec{F}_1 = (40, 30)$ N y $\vec{F}_2 = (-20, 50)$ N. Calcule las componentes de la tercera fuerza $\vec{F}_3$ y su módulo exacto.
Con frecuencia un vector o un punto contiene una incógnita, y el problema da una distancia o una magnitud. El plan es siempre el mismo:
Escribe el vector (o el vector entre los dos puntos) con la incógnita dentro.
Iguala $|\vec v|^2 = (\text{magnitud dada})^2$. Elevar al cuadrado elimina la raíz.
Resuelve la ecuación. Normalmente es cuadrática, así que a menudo hay dos soluciones.
Verifica cada solución en el problema original.
Algunos problemas dicen distancia rectilínea. Eso simplemente significa la distancia ordinaria en línea recta $d(A,B)$ de esta página.
Si una condición relaciona las componentes, por ejemplo "las dos componentes suman 4", sustituye: $y = 4 - x$, y luego reemplaza en $x^2 + y^2 = (\text{magnitud})^2$.
Practica★☆☆Sin empezar
Un dron se desplaza en línea recta según el vector $\vec{d} = (k, 6)$. Si la distancia total recorrida es de $10$ pies, calcule los posibles valores del parámetro $k$.
Un dron se desplaza en línea recta según el vector $\vec{d} = (k, 6)$. Si la distancia total recorrida es de $10$ pies, calcule los posibles valores del parámetro $k$.
Determine las coordenadas de los puntos situados sobre el eje de abscisas que se encuentran a una distancia exacta de $5$ unidades del punto $P(-2, 3)$.
Determine las coordenadas de los puntos situados sobre el eje de abscisas que se encuentran a una distancia exacta de $5$ unidades del punto $P(-2, 3)$.
Un avión vuela con una velocidad respecto al aire dada por el vector $\vec{v}a = (250, 150)$ mph. En esa zona, el viento sopla con una velocidad representada por…
Un avión vuela con una velocidad respecto al aire dada por el vector $\vec{v}_a = (250, 150)$ mph. En esa zona, el viento sopla con una velocidad representada por $\vec{v}_v = (k, -50)$ mph. Si sabemos que la velocidad real del avión respecto al suelo, calculada como $\vec{v}_r = \vec{v}_a + \vec{v}_v$, tiene un módulo exacto de $300$ mph, determine los posibles valores del parámetro $k$.
Considere un romboide $ABCD$ del cual se conocen tres de sus vértices: $A(0, 0)$, $B(6, 2)$ y $D(2, 4)$. Calcule las coordenadas del vértice $C$, obtenga el módulo de…
Considere un romboide $ABCD$ del cual se conocen tres de sus vértices: $A(0, 0)$, $B(6, 2)$ y $D(2, 4)$. Calcule las coordenadas del vértice $C$, obtenga el módulo de sus dos diagonales y justifique analíticamente si se trata o no de un rombo (es decir, si tiene todos sus lados iguales).
Volvamos al principio: para saber si dos flechas están a lo largo de la misma recta, compara sus pendientes o aplica la prueba $u_1v_2 - u_2v_1 = 0$. Para saber a qué distancia estás del estadio y hacia dónde ir, da la magnitud y un vector unitario.
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado