Funciones exponenciales

La función exponencial

Compara $x^2$ con $2^x$. En $x^2$ la variable es la base y el exponente es fijo. En $2^x$ la base es fija y la variable es el exponente. Solo $2^x$ es exponencial.

Toda exponencial $f(x)=a^x$ pasa por $(0,1)$, porque $a^0=1$. También pasa por $(1,a)$, porque $a^1=a$. Mueve el control deslizante para cambiar la base y observa esos dos puntos.

Una base es especial: el número irracional $e\approx 2.71828\ldots$. La función $f(x)=e^x$ es la exponencial "natural" y aparece en el crecimiento continuo, el decaimiento radiactivo y el enfriamiento. Escribe $e$ de forma exacta y usa un decimal solo cuando el problema lo pida.

Para evaluar una exponencial necesitas dos reglas de los exponentes: $a^{-n}=\dfrac1{a^n}$ y $a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$.

Cuando conoces dos puntos de $f(x)=k\cdot a^x$, puedes hallar $k$ y $a$.

Crecimiento y decaimiento

La razón es el factor de crecimiento: al pasar de $x$ a $x+1$ el valor de salida se multiplica por $a$ siempre, pues $\dfrac{a^{x+1}}{a^x}=a$. Un factor mayor que $1$ hace cada paso más grande. Un factor menor que $1$ hace cada paso más pequeño.

Observa que $\left(\tfrac12\right)^x=2^{-x}$. La gráfica de $2^{-x}$ es la de $2^x$ reflejada respecto al eje $y$. Esto lleva a dos reglas de reflexión.

Usa estas pistas para emparejar una gráfica con su ecuación:

• ¿Dónde cruza el eje $y$? Por $(0,1)$ es $a^x$. Por $(0,-1)$ es $-a^x$.

• ¿Sube o baja al moverte a la derecha? Sube: base mayor que $1$. Baja: base menor que $1$, o un signo negativo delante.

• Entre las curvas crecientes, la de mayor base es más empinada a la derecha del eje $y$ y más plana a la izquierda.

Pruébalo: las curvas de abajo son $2^x$, $3^x$, $0.5^x$ y $-2^x$, las mismas cuatro funciones del ejercicio de emparejar.

Transformaciones, asíntotas e intersecciones

Ahora desplaza y estira la gráfica. Toma $g(x)=A\cdot b^{\,x-h}+k$:

• $x-h$ en el exponente mueve la gráfica $h$ unidades a la derecha. Un signo más, como en $x+2$, la mueve a la izquierda.

• $+k$ al final mueve la gráfica $k$ unidades hacia arriba.

• La asíntota se mueve con la gráfica: pasa a ser $y=k$.

• Una $A$ negativa refleja la gráfica respecto a la recta horizontal $y=k$.

¿Por qué la asíntota pasa a ser $y=k$? Si $b>1$, cuando $x\to-\infty$ el término $b^{x-h}\to 0$, así que $g(x)\to k$. Si $0

Mueve $p$ y $q$ y observa cómo se mueven la asíntota y la gráfica.

Un truco útil: los puntos clave $(0,1)$ y $(1,2)$ de $2^x$ pasan a $(h,\,1+k)$ y $(h+1,\,2+k)$.

En cuanto a las intersecciones: la intersección con el eje $y$ es $g(0)$. Para una intersección con el eje $x$, resuelve $g(x)=0$. En la siguiente sección verás cómo resolver estas ecuaciones en general. Por ahora, escribe ambos lados con la misma base.

Ecuaciones: misma base y factor común

Una ecuación exponencial tiene la incógnita en un exponente. Dos técnicas resuelven muchas de ellas. Ambas se apoyan en las reglas de las potencias $a^{m+n}=a^m a^n$, $a^{m-n}=\dfrac{a^m}{a^n}$ y $(a^m)^n=a^{mn}$.

Míralo en una gráfica: la recta $y=9$ cruza $y=3^x$ exactamente una vez, en $x=2$.

Ecuaciones: logaritmos y sustitución

A veces no puedes llegar a una base común: $2^x=5$ no tiene una respuesta fácil. Para eso sirven los logaritmos.

Con dos datos basta para esta página:

Para resolver una ecuación exponencial: aísla la potencia, aplica $\ln$ a ambos lados, baja el exponente y resuelve.

Sustitución. Si una ecuación tiene tanto $a^{2x}$ como $a^x$, es una cuadrática disfrazada. Como $a^{2x}=(a^x)^2$, sea $t=a^x$ (con $t>0$), resuelve la cuadrática en $t$ y luego regresa a $x$.

Sistemas. Si las incógnitas están en exponentes de bases distintas, sustituye $u=a^x$ y $v=b^y$. Obtienes un sistema lineal común, que puedes resolver por eliminación.

La gráfica de arriba es $y=4^x-2^x-6$. Cruza el eje $x$ una sola vez, en $x\approx1.585$. El valor imposible $t=-2$ nunca produce un segundo cruce.

Modelos de crecimiento y decaimiento

Cualquier cantidad que cambia por el mismo factor en periodos iguales sigue $$f(t)=a\cdot b^{\,t},$$ donde $a$ es la cantidad inicial (la intersección con el eje $y$) y $b$ es el factor de crecimiento. Para obtener $b$ a partir de un cambio porcentual $r$ (escrito como decimal): $b=1+r$ para crecimiento y $b=1-r$ para decaimiento. Un aumento de $15\%$ tiene $b=1.15$, y una disminución de $15\%$ tiene $b=0.85$.

Pruébalo: cambia los números y observa cómo se capitaliza el interés.

Volvamos al inicio: el Plan A (sumar $300$ vistas por hora) da $200+300t$, que son $3{,}200$ vistas después de $10$ horas. El Plan B (duplicar) da $V(t)=200\cdot2^t$, que son $200\cdot1024=204{,}800$ vistas después de $10$ horas. Multiplicar repetidamente supera por mucho a sumar repetidamente.

Más modelos: depreciación, enfriamiento y crecimiento logístico

Algunos modelos necesitan logaritmos para hallar cuándo ocurre algo.

Ley de enfriamiento de Newton. La temperatura de un objeto se acerca a la temperatura ambiente $T_a$ según $$T(t)=T_a+(T_0-T_a)\,e^{-kt},$$ donde $T_0$ es la temperatura inicial y $k>0$ es la constante de enfriamiento. La parte exponencial $e^{-kt}\to0$ cuando $t\to\infty$, así que $T(t)\to T_a$. La recta $y=T_a$ es una asíntota horizontal.

Crecimiento logístico. Las poblaciones reales no pueden crecer para siempre. Un modelo logístico $$P(t)=\frac{L}{1+Ce^{-kt}}$$ empieza como una exponencial y luego se estabiliza en el límite $L$. Cuando $t\to\infty$, $e^{-kt}\to0$ y $P\to L$, así que $y=L$ es una asíntota horizontal.

Dominio, signo e intersecciones

Las exponenciales se combinan con otras expresiones, así que valen las herramientas usuales de análisis de funciones. Un hecho hace casi todo el trabajo: $a^{g(x)}>0$ para todo $x$. Un factor exponencial nunca es cero ni negativo.

Asíntotas y continuidad

El comportamiento de una exponencial en los extremos te dice sus asíntotas horizontales.

Así que para $f(x)=e^{g(x)}$:

• Asíntota horizontal: si $g(x)\to L$ cuando $x\to\pm\infty$, entonces $f(x)\to e^L$, y $y=e^L$ es una asíntota horizontal.

• Asíntota vertical: si $g(x)\to+\infty$ cuando $x\to c$ por un lado, entonces $f(x)\to\infty$ ahí, así que $x=c$ es una asíntota vertical. Si en cambio $g(x)\to-\infty$, entonces $f(x)\to0$ y no hay asíntota de ese lado.

Continuidad. Una función definida por partes es continua en una unión $x=c$ cuando $$\lim_{x\to c^-}f(x)=\lim_{x\to c^+}f(x)=f(c).$$ Las exponenciales y los polinomios son continuos por sí solos, así que solo debes revisar los lugares donde se unen las partes.

Resumen