Deja caer una pelota de baloncesto desde 10 pies de altura. Cada vez que toca el piso, rebota hasta el 60% de la altura anterior. En teoría rebota infinitas veces. ¿Recorre una distancia infinita? Al final de esta página lo sabrás. Primero necesitamos las herramientas. Algunos problemas llaman a estas sucesiones progresiones geométricas. Es lo mismo.
La fórmula explícita y la razón común
Por qué el exponente es $n-1$: para ir de $a_1$ a $a_n$ multiplicas por $r$ exactamente $n-1$ veces. Para ir de $a_k$ a $a_n$ multiplicas $n-k$ veces.
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Dada la sucesión definida por el término general $a_n = 5 \cdot (-2)^{n-1}$, calcula el valor de los términos $a_3$ y $a_6$.
Dada la sucesión definida por el término general $a_n = 5 \cdot (-2)^{n-1}$, calcula el valor de los términos $a_3$ y $a_6$.
Determina si la siguiente sucesión es una progresión geométrica. En caso afirmativo, halla su razón y su término general:…
Determina si la siguiente sucesión es una progresión geométrica. En caso afirmativo, halla su razón y su término general: $\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{18}, \frac{1}{54}, \dots$
Según la leyenda del inventor del ajedrez, el rey le ofreció un grano de trigo en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, y así sucesivamente…
Según la leyenda del inventor del ajedrez, el rey le ofreció un grano de trigo en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, y así sucesivamente duplicando la cantidad en cada casilla hasta llegar a la número $64$. Expresa la cantidad total de granos de trigo en el tablero usando la fórmula de la suma de una progresión geométrica. Si un gramo de trigo contiene unos $20$ granos y una tonelada son $10^6$ gramos, estima el orden de magnitud de las toneladas totales de trigo.
A veces necesitas multiplicar los términos en lugar de sumarlos. Mira $1, 3, 9, 27, 81$. Los términos que están a la misma distancia de los extremos tienen el mismo producto: $1\cdot 81 = 3\cdot 27 = 81$. El término del medio es $9=\sqrt{81}$.
Una consecuencia útil: si $i+j=k+l$, entonces $a_i\cdot a_j = a_k\cdot a_l$.
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Calcula el producto de los seis primeros términos de una progresión geométrica que tiene como primer término $a_1 = 2$ y como razón $r = 2$.
Calcula el producto de los seis primeros términos de una progresión geométrica que tiene como primer término $a_1 = 2$ y como razón $r = 2$.
Demuestra que el producto de los $n$ primeros términos de una progresión geométrica de términos positivos viene dado por la fórmula $P_n = \sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}$.…
Demuestra que el producto de los $n$ primeros términos de una progresión geométrica de términos positivos viene dado por la fórmula $P_n = \sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}$. Utiliza este resultado para calcular el producto de los primeros $10$ términos de una progresión geométrica en la que $a_3 = 4$ y $a_8 = 128$.
Expresa el número decimal periódico puro $0,4444\dots$ como la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica y obtén su fracción generatriz.
Expresa el número decimal periódico puro $0,4444\dots$ como la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica y obtén su fracción generatriz.
La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica es $18$ y su primer término es $6$. Determina la razón de la progresión y el valor del cuarto término.
La suma de los infinitos términos de una progresión geométrica es $18$ y su primer término es $6$. Determina la razón de la progresión y el valor del cuarto término.
Un cambio porcentual es una multiplicación, así que los cambios porcentuales repetidos forman una sucesión geométrica. Convierte el porcentaje en una razón:
Situación
Razón $r$
Aumento de $p\%$ por periodo
$r = 1 + p$ (crecimiento de 7%: $r=1.07$)
Disminución de $p\%$ por periodo
$r = 1 - p$ (decaimiento de 12%: $r=0.88$)
Se duplica / se triplica por periodo
$r=2$ / $r=3$
Si la cantidad inicial es $a_0$ (tiempo $0$), la cantidad después de $n$ periodos es $a_n=a_0 r^n$. Si llamas $a_1$ a la cantidad inicial, usa en cambio $a_n = a_1r^{n-1}$. Las dos son válidas. Solo sé consistente.
En una cuenta de ahorros con interés compuesto, la cantidad después de $t$ años es $A=P(1+r)^t$, donde $P$ es el capital inicial y $r$ la tasa anual.
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Un equipo industrial cuesta $24\,000$ dólares y se deprecia un $12\%$ cada año respecto al valor del año anterior. Escribe el término general de la sucesión que modeliza…
Un equipo industrial cuesta $24\,000$ dólares y se deprecia un $12\%$ cada año respecto al valor del año anterior. Escribe el término general de la sucesión que modeliza su valor y calcula cuánto valdrá al cabo de $6$ años.
En un cultivo de laboratorio, una población de bacterias se triplica cada $4$ horas. Si inicialmente se introducen $100$ bacterias en la placa, ¿cuántas bacterias habrá…
En un cultivo de laboratorio, una población de bacterias se triplica cada $4$ horas. Si inicialmente se introducen $100$ bacterias en la placa, ¿cuántas bacterias habrá transcurridas $24$ horas? Expresa el resultado utilizando potencias.
Se depositan $5000$ dólares en una entidad financiera a un interés compuesto anual del $3,5\%$. Escribe la expresión general del capital acumulado al final del año $n$.…
Se depositan $5000$ dólares en una entidad financiera a un interés compuesto anual del $3,5\%$. Escribe la expresión general del capital acumulado al final del año $n$. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta al cabo de $8$ años si no se retira nada?
Procesos infinitos: rebotes, cuadrados y paradojas
Muchas situaciones "para siempre" tienen una respuesta finita. Halla el primer término, halla $r$, comprueba que $|r|<1$ y usa $S_\infty$.
Volvamos al inicio: la pelota rebota infinitas veces y, aun así, recorre solo 40 pies en total, porque las alturas de rebote forman una serie geométrica con $|r|<1$.
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Se deja caer una pelota elástica desde una altura inicial de $5$ pies. En cada bote, la pelota rebota alcanzando el $80\%$ de la altura del bote anterior. Plantea la…
Se deja caer una pelota elástica desde una altura inicial de $5$ pies. En cada bote, la pelota rebota alcanzando el $80\%$ de la altura del bote anterior. Plantea la sucesión de las alturas alcanzadas y calcula la distancia total recorrida por la pelota (sumando las bajadas y las subidas) hasta que se detiene teóricamente.
Se tiene un cuadrado de lado $10$ pulgadas. Uniendo los puntos medios de sus lados se forma un segundo cuadrado. Uniendo los puntos medios de los lados de este segundo…
Se tiene un cuadrado de lado $10$ pulgadas. Uniendo los puntos medios de sus lados se forma un segundo cuadrado. Uniendo los puntos medios de los lados de este segundo cuadrado se forma un tercer cuadrado, y así sucesivamente. Calcula la suma de las áreas de los infinitos cuadrados formados mediante este proceso.
Aquiles y la tortuga disputan una carrera. Aquiles corre a $10$ pies/s y la tortuga a $1$ pies/s. La tortuga parte con una ventaja de $100$ pies. Cuando Aquiles recorre…
Aquiles y la tortuga disputan una carrera. Aquiles corre a $10$ pies/s y la tortuga a $1$ pies/s. La tortuga parte con una ventaja de $100$ pies. Cuando Aquiles recorre esos $100$ pies, la tortuga ha avanzado $10$ pies. Cuando Aquiles recorre esos $10$ pies, la tortuga avanza $1$ pie, y así sucesivamente. Plantea la distancia total que recorre Aquiles como la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica y demuestra que el resultado es finito.
Patrones geométricos en figuras: demostraciones y límites
Para demostrar que una sucesión es geométrica, muestra que $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ es la misma constante para todo $n$. En los problemas con figuras, describe qué pasa en un paso: cuántas piezas hay y de qué tamaño es cada una.
Dos hechos ayudan mucho.
Si cada longitud se multiplica por $k$, cada área se multiplica por $k^2$. Una figura escalada por $\tfrac13$ tiene $\tfrac19$ del área.
El límite de $a_n=a_1r^{n-1}$ cuando $n\to\infty$: si $|r|<1$ es $0$. Si $r>1$ y $a1>0$, los términos crecen sin cota (el límite es $\infty$).
Ahora una figura donde la longitud hace lo contrario. En el copo de nieve de Koch, no quitas el tercio central de cada segmento. Lo reemplazas por una punta.
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La curva conocida como "Copo de nieve de Koch" se construye a partir de un triángulo equilátero de lado $L$. En cada paso, el tercio central de cada segmento se…
La curva conocida como "Copo de nieve de Koch" se construye a partir de un triángulo equilátero de lado $L$. En cada paso, el tercio central de cada segmento se sustituye por dos segmentos de igual longitud que forman una punta hacia el exterior. Sea $P_n$ el perímetro de la figura en el paso $n$ (donde $P_0 = 3L$). Demuestra que $P_n$ es una progresión geométrica, halla su término general y calcula el límite del perímetro cuando $n \to \infty$.
En un cuadrado de lado $L = 20$ pulgadas se inscribe un círculo. Dentro de este círculo se inscribe un nuevo cuadrado, en el cual se inscribe otro círculo, y el proceso…
En un cuadrado de lado $L = 20$ pulgadas se inscribe un círculo. Dentro de este círculo se inscribe un nuevo cuadrado, en el cual se inscribe otro círculo, y el proceso se repite indefinidamente. Halla la expresión del área del enésimo círculo y calcula la suma de las áreas de los infinitos círculos formados.
Tres números $a, b, c$ son términos consecutivos de una sucesión geométrica cuando las razones coinciden: $\dfrac{b}{a}=\dfrac{c}{b}$. Al multiplicar en cruz se obtiene una regla que convierte "es geométrica" en una ecuación.
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Halla el valor del número real $x$ para que los términos $x-1$, $2x$, y $5x+4$ formen, en ese orden, una progresión geométrica.
Halla el valor del número real $x$ para que los términos $x-1$, $2x$, y $5x+4$ formen, en ese orden, una progresión geométrica.
En una progresión geométrica de términos positivos, la suma de los dos primeros términos es $15$ y la suma del tercer y cuarto término es $60$. Plantea el sistema de…
En una progresión geométrica de términos positivos, la suma de los dos primeros términos es $15$ y la suma del tercer y cuarto término es $60$. Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente para determinar el primer término y la razón de la progresión.
Los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo están en progresión geométrica de razón $2$. Calcula la medida de cada uno de los cuatro ángulos. ¿Sería posible…
Los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo están en progresión geométrica de razón $2$. Calcula la medida de cada uno de los cuatro ángulos. ¿Sería posible construir un pentágono convexo cuyos ángulos interiores formen una progresión geométrica de razón $2$? Justifica tu respuesta.
Los logaritmos convierten la multiplicación en suma. Así que al tomar logaritmos de una sucesión geométrica deberíamos obtener una sucesión aritmética.
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Sea $a_n$ una progresión geométrica de términos estrictamente positivos con primer término $a_1$ y razón $r$. Demuestra que la sucesión definida por $b_n = \log(a_n)$ es…
Sea $a_n$ una progresión geométrica de términos estrictamente positivos con primer término $a_1$ y razón $r$. Demuestra que la sucesión definida por $b_n = \log(a_n)$ es una progresión aritmética. Si $a_1 = 10$ y $r = 100$, calcula la suma de los $20$ primeros términos de la progresión $b_n$.