Sucesiones crecientes
Chloe publica videos cortos y su número de seguidores después de la semana $n$ se modela con $f_n = n^2 + 3n$ (en cientos). Las primeras semanas son $4, 10, 18, 28, \dots$ y sigue subiendo. Pero ¿cómo puedes estar seguro de que subirá también en la semana 1,000, sin calcular todos los términos intermedios? En esta página aprenderás a demostrarlo de una vez por todas.
Estrictamente creciente y el método de la diferencia
La diferencia $a_{n+1} - a_n$ es el "paso" de un término al siguiente. Si todos los pasos son positivos, la sucesión siempre sube.
En una sucesión aritmética el paso siempre es la diferencia común $d$, así que es estrictamente creciente exactamente cuando $d > 0$. Por ejemplo, $a_n = 3n + 1$ tiene $a_{n+1} - a_n = 3$.
Ahora la pregunta de Chloe. Sigue los pasos y haz el último tú.
Escribe los cuatro primeros términos de la sucesión $a_n = 3n - 5$ y comprueba, calculando la diferencia $a_{n+1} - a_n$, que se trata de una sucesión strictly creciente.
Escribe los cuatro primeros términos de la sucesión $a_n = 3n - 5$ y comprueba, calculando la diferencia $a_{n+1} - a_n$, que se trata de una sucesión strictly creciente.
Un estudiante decide ahorrar dinero para un viaje. El primer mes guarda $10$ dólares, y cada mes sucesivo guarda $5$ dólares más que el mes anterior. Escribe el término…
Un estudiante decide ahorrar dinero para un viaje. El primer mes guarda $10$ dólares, y cada mes sucesivo guarda $5$ dólares más que el mes anterior. Escribe el término general del dinero guardado en el mes $n$ y justifica matemáticamente por qué esta sucesión es estrictamente creciente.
Determina si la sucesión $c_n = n^2 + 2n$ es creciente. Para ello, calcula algebraicamente la diferencia entre el término $n+1$ y el término $n$, y analiza el signo del…
Determina si la sucesión $c_n = n^2 + 2n$ es creciente. Para ello, calcula algebraicamente la diferencia entre el término $n+1$ y el término $n$, y analiza el signo del resultado.
Sucesiones racionales
Cuando $a_n$ es una fracción, la diferencia es una resta de fracciones. Usa un denominador común, desarrolla el numerador y lee el signo.
Observa que los términos en $n^2$ y en $n$ se cancelaron y el numerador quedó constante. Eso es típico en $\dfrac{pn+q}{rn+s}$. El signo de esa constante lo decide todo, siempre que los denominadores sean positivos. Pruébalo con letras en el ejercicio de reto de abajo.
Identifica cuál de las siguientes sucesiones es estrictamente creciente calculando sus tres primeros términos y analizando su evolución: $x_n = -2n + 10$,…
Identifica cuál de las siguientes sucesiones es estrictamente creciente calculando sus tres primeros términos y analizando su evolución: $x_n = -2n + 10$, $y_n = \frac{1}{n}$, $z_n = \frac{n+1}{n+2}$.
Demuestra de forma algebraica que la sucesión de término general $a_n = \frac{3n-1}{2n+5}$ es estrictamente creciente. Para ello, desarrolla la inecuación…
Demuestra de forma algebraica que la sucesión de término general $a_n = \frac{3n-1}{2n+5}$ es estrictamente creciente. Para ello, desarrolla la inecuación $a_{n+1} - a_n > 0$ y justifica el signo del numerador y del denominador resultantes.
Demuestra que la sucesión racional $a_n = \frac{pn+q}{rn+s}$ (asumiendo que $r > 0$ y $rn+s > 0$ para todo $n \geq 1$) es estrictamente creciente si y solo si se cumple…
Demuestra que la sucesión racional $a_n = \frac{pn+q}{rn+s}$ (asumiendo que $r > 0$ y $rn+s > 0$ para todo $n \geq 1$) es estrictamente creciente si y solo si se cumple la condición $ps - qr > 0$.
Crecientes pero acotadas
"Estrictamente creciente" no significa "crece sin límite". La planta de frijol de Ethan tiene una altura $h_n = 8 - \dfrac{12}{n+2}$ pulgadas después de $n$ semanas. Crece cada semana, pero ¿podrá pasar de 8 pulgadas?
La razón es sencilla. A $L$ le restas una cantidad positiva cada vez más pequeña, así que te acercas a $L$ por debajo pero nunca lo alcanzas.
Un término geométrico positivo $c \cdot r^n$ con $0 < r < 1$ también se reduce, así que expresiones como $L - c \cdot r^n$ se comportan igual.
En un experimento de cinemática, la velocidad de un móvil en el instante $n$ (en segundos) viene dada por la sucesión $v_n = 10 - \frac{20}{n+1}$ en pies/s. Demuestra…
En un experimento de cinemática, la velocidad de un móvil en el instante $n$ (en segundos) viene dada por la sucesión $v_n = 10 - \frac{20}{n+1}$ en pies/s. Demuestra analíticamente que el móvil está acelerando continuamente (la sucesión de velocidades es estrictamente creciente) y observa la gráfica para determinar si superará en algún momento los $10$ pies/s.
Demuestra que la sucesión $b_n = \frac{n^2}{n^2+1}$ es estrictamente creciente para todo $n \geq 1$. ¿Existe algún valor de $n$ para el cual se cumpla que $b_n \geq 1$?…
Demuestra que la sucesión $b_n = \frac{n^2}{n^2+1}$ es estrictamente creciente para todo $n \geq 1$. ¿Existe algún valor de $n$ para el cual se cumpla que $b_n \geq 1$? Justifica tu respuesta.
En un proceso de calentamiento industrial, la temperatura de una aleación metálica en el minuto $n$ sigue la ley $T_n = 120 - 90(0.75)^n$ en grados Fahrenheit. Demuestra…
En un proceso de calentamiento industrial, la temperatura de una aleación metálica en el minuto $n$ sigue la ley $T_n = 120 - 90(0.75)^n$ en grados Fahrenheit. Demuestra matemáticamente que la temperatura es estrictamente creciente. A partir de la gráfica, deduce si la sucesión está acotada superiormente.
El método del cociente para términos positivos
Con potencias y productos, restar es engorroso pero dividir es limpio. Algunos problemas lo llaman criterio del cociente.
¿Por qué funciona? Divide ambos lados de $a_{n+1} > a_n$ entre $a_n$. Como $a_n > 0$, la desigualdad (también llamada inecuación) conserva su sentido y obtienes $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} > 1$.
En una sucesión geométrica el cociente es simplemente la razón común $r$. Un aumento de $p\%$ por periodo multiplica por $1 + \dfrac{p}{100}$, así que un aumento de $5\%$ da $r = 1.05$.
| Sucesión geométrica $a_n = a_1 r^{n-1}$ | Comportamiento |
|---|---|
| $a_1 > 0$ y $r > 1$ | estrictamente creciente |
| $a_1 > 0$ y $0 < r < 1$ | estrictamente decreciente |
| $a_1 > 0$ y $r < 0$ | los signos alternan: ninguna de las dos |
| $r = 1$ | constante |
| $a1 < 0$ y $0 < r < 1$ | estrictamente creciente (términos negativos que suben hacia 0) |
Dada la sucesión geométrica $d_n = 3^n$, utiliza el método del cociente (es decir, calcula $\frac{d_{n+1}}{d_n}$) para demostrar que es una sucesión estrictamente…
Dada la sucesión geométrica $d_n = 3^n$, utiliza el método del cociente (es decir, calcula $\frac{d_{n+1}}{d_n}$) para demostrar que es una sucesión estrictamente creciente.
Un árbol recién plantado mide $150$ pulgadas. Cada año, su altura aumenta en un $5$ % respecto a la altura del año anterior. Expresa su altura $h_n$ al cabo de $n$ años…
Un árbol recién plantado mide $150$ pulgadas. Cada año, su altura aumenta en un $5$ % respecto a la altura del año anterior. Expresa su altura $h_n$ al cabo de $n$ años y justifica mediante el criterio del cociente que la sucesión de sus alturas es creciente.
La población de una colonia de bacterias en un cultivo controlado se modeliza mediante la sucesión $P_n = 200 \cdot (1.15)^n$, donde $n \geq 1$ representa los días…
La población de una colonia de bacterias en un cultivo controlado se modeliza mediante la sucesión $P_n = 200 \cdot (1.15)^n$, donde $n \geq 1$ representa los días transcurridos. Utiliza el criterio del cociente $\frac{P_{n+1}}{P_n}$ para demostrar rigurosamente que la población está en constante crecimiento.
Sucesiones con radicales
Con raíces cuadradas, la diferencia $a_{n+1} - a_n$ es difícil de leer. Multiplica y divide por el conjugado: $\sqrt{A} - \sqrt{B}$ se convierte en $\dfrac{A - B}{\sqrt{A} + \sqrt{B}}$, porque $(\sqrt{A} - \sqrt{B})(\sqrt{A} + \sqrt{B}) = A - B$. Es la diferencia de cuadrados de Álgebra 1.
Algunas sucesiones con radicales tienen la forma raíz menos $n$, donde el conjugado hace el trabajo principal y una segunda simplificación lo termina.
Considera la sucesión con radicales $c_n = \sqrt{n+5}$. Demuestra que es estrictamente creciente. Para evitar trabajar directamente con desigualdades de raíces,…
Considera la sucesión con radicales $c_n = \sqrt{n+5}$. Demuestra que es estrictamente creciente. Para evitar trabajar directamente con desigualdades de raíces, multiplica y divide la expresión $c_{n+1} - c_n$ por su conjugado.
Demuestra que la sucesión de término general $a_n = \sqrt{n^2+n} - n$ es estrictamente creciente. Pista: Multiplica y divide por la expresión conjugada antes de analizar…
Demuestra que la sucesión de término general $a_n = \sqrt{n^2+n} - n$ es estrictamente creciente. Pista: Multiplica y divide por la expresión conjugada antes de analizar la diferencia $a_{n+1} - a_n$.
Sucesiones recursivas y sumas parciales
Algunas sucesiones se dan con una fórmula recursiva, o se construyen sumando términos. En ambos casos el paso es fácil de leer.
Si $a_{n+1} = a_n + t_n$, entonces $a_{n+1} - a_n = t_n$. Así, la sucesión es estrictamente creciente cuando $t_n > 0$ para todo $n$. Por ejemplo, $a_1 = 1$ y $a_{n+1} = a_n + 2n$ da $1, 3, 7, 13, \dots$, y el paso $2n$ siempre es positivo.
Para una suma parcial $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$, la siguiente suma es $S_{n+1} = S_n + a_{n+1}$. Entonces $S_{n+1} - S_n = a_{n+1}$, y si todos los términos son positivos, las sumas parciales son estrictamente crecientes.
Arriba, $S_n = \tfrac12 + \tfrac14 + \dots + \tfrac{1}{2^n}$. Cada término sumado es positivo, así que $S_n$ es estrictamente creciente. Los términos sumados se achican, así que las sumas se vuelven más lentas.
Algunas sucesiones recursivas usan una raíz cuadrada. Entonces compara los cuadrados.
La cota $un < 4$ viene de la inducción: si $u_n < 4$, entonces $u_{n+1} = \sqrt{12 + u_n} < \sqrt{16} = 4$.
Comprueba que la sucesión definida por recurrencia como $a_1 = 3$ y $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n}$ es estrictamente creciente para todo $n \geq 1$.
Comprueba que la sucesión definida por recurrencia como $a_1 = 3$ y $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n}$ es estrictamente creciente para todo $n \geq 1$.
Dada la sucesión definida como la suma parcial $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{n^2}$. Justifica de forma analítica…
Dada la sucesión definida como la suma parcial $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{n^2}$. Justifica de forma analítica por qué esta sucesión es estrictamente creciente y deduce si la diferencia entre términos consecutivos aumenta o disminuye a medida que $n$ se hace muy grande.
Una red de servidores registra el tiempo medio de latencia (en milisegundos) mediante la sucesión recurrente $u_1 = 2$, $u_{n+1} = \sqrt{6 + u_n}$. Sabiendo que todos…
Una red de servidores registra el tiempo medio de latencia (en milisegundos) mediante la sucesión recurrente $u_1 = 2$, $u_{n+1} = \sqrt{6 + u_n}$. Sabiendo que todos los términos generados son positivos y strictly menores que $3$, demuestra analizando el signo de $u_{n+1}^2 - u_n^2$ que la sucesión es estrictamente creciente.
Sucesiones con un parámetro
A veces una sucesión contiene un parámetro y hay que encontrar para qué valores es estrictamente creciente. Plantea $a_{n+1} - a_n > 0$ para todo $n \ge 1$ y resuelve para el parámetro. Si la diferencia depende de $n$, decide el caso más desfavorable.
Para sucesiones geométricas $a_n = b^n$, usa el método del cociente. Para que todos los términos sean positivos y la sucesión sea estrictamente creciente, necesitas $b > 1$. Si $0 < b < 1$ decrece, si $b < 0$ los signos alternan, y si $b = 1$ es constante. Por ejemplo, $(x+3)^n$ es estrictamente creciente con términos positivos cuando $x + 3 > 1$, es decir $x > -2$.
Halla los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la sucesión definida por $a_n = (k-3)n + 5$ es strictly creciente. Razona tu respuesta a partir de la…
Halla los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la sucesión definida por $a_n = (k-3)n + 5$ es strictly creciente. Razona tu respuesta a partir de la diferencia $a_{n+1} - a_n$.
Encuentra el rango de valores de $x \in \mathbb{R}$ para los que la sucesión geométrica $a_n = (2x - 1)^n$ es estrictamente creciente y de términos exclusivamente…
Encuentra el rango de valores de $x \in \mathbb{R}$ para los que la sucesión geométrica $a_n = (2x - 1)^n$ es estrictamente creciente y de términos exclusivamente positivos.
Analiza el crecimiento de la sucesión $a_n = \frac{n^2+k}{n}$, donde $k$ es un número real. Demuestra que la sucesión es estrictamente creciente para todo $n \geq 1$ si…
Analiza el crecimiento de la sucesión $a_n = \frac{n^2+k}{n}$, donde $k$ es un número real. Demuestra que la sucesión es estrictamente creciente para todo $n \geq 1$ si y solo si el parámetro $k$ cumple la condición $k < 2$.
Factoriales y crecimiento compuesto
El método del cociente es ideal con factoriales. Recuerda que $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$, así que $\dfrac{n!}{(n+1)!} = \dfrac{1}{n+1}$.
El crecimiento compuesto da una famosa sucesión creciente. Si inviertes $\$1$ al $100\%$ de interés, con capitalización $n$ veces al año, el saldo después de un año es $an = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$.
Estudia la monotonía de la sucesión $x_n = \frac{2^n}{n!}$. Demuestra que no es estrictamente creciente para todo $n$, indicando a partir de qué término específico…
Estudia la monotonía de la sucesión $x_n = \frac{2^n}{n!}$. Demuestra que no es estrictamente creciente para todo $n$, indicando a partir de qué término específico comienza a decrecer de forma estricta.
Sea la sucesión $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$. Sabiendo que esta sucesión modela el crecimiento del capital bajo un interés compuesto del 100 % anual con $n$…
Sea la sucesión $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$. Sabiendo que esta sucesión modela el crecimiento del capital bajo un interés compuesto del 100 % anual con $n$ capitalizaciones (cuyo límite es la capitalización continua), calcula sus tres primeros términos para comprobar empíricamente que crece. A continuación, plantea el inicio de su demostración general desarrollando el binomio de Newton para $a_n$ y $a_{n+1}$.
De vuelta con Chloe: $f_{n+1} - f_n = 2n + 4 > 0$ para todo $n \ge 1$, así que su número de seguidores sube cada semana, incluida la semana 1,000, sin necesidad de calcularla.