El papá de Emma apoya una escalera contra la casa de modo que llega a un canalón a 20 ft del suelo. La escalera forma un ángulo de $60^\circ$ con el suelo. ¿Cuánto mide la escalera? Como $\sin 60^\circ = \dfrac{20}{L}$, tenemos $L = \dfrac{20}{\sin 60^\circ}$. Ese "uno entre seno" aparece tan seguido que tiene su propio nombre: la cosecante. Junto con la secante y la cotangente, te ahorra pasos en la mitad de los problemas de este capítulo. Terminaremos el problema de la escalera al final de la página.
Secante, cosecante y cotangente
El seno, el coseno y la tangente tienen cada uno un "compañero": su recíproco (uno entre la razón). Las tres razones nuevas se definen así.
En un triángulo rectángulo, al invertir cada fracción obtienes las razones entre los lados. Estudia esta figura, porque la usarás en toda la página.
Aquí tienes la gráfica de $y = \cos x$ y la de su recíproco $y = \dfrac{1}{\cos x}$. Observa qué le pasa al recíproco en los puntos donde el coseno toca $0$.
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Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\csc \alpha$ y $\sec \alpha$.
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\csc \alpha$ y $\sec \alpha$.
Un reflector ilumina una pared desde el suelo. La distancia horizontal del reflector a la base de la pared es de $10$ pies. El rayo de luz superior forma un ángulo…
Un reflector ilumina una pared desde el suelo. La distancia horizontal del reflector a la base de la pared es de $10$ pies. El rayo de luz superior forma un ángulo $\alpha$ con el suelo. La longitud del rayo de luz desde el reflector hasta el punto más alto iluminado en la pared es $L$. Expresa $L$ usando la razón secante y calcula su valor exacto si $\cot \alpha = \frac{3}{4}$.
Los valores exactos de sec, csc y cot salen de invertir los valores de cos, sin y tan que ya conoces. Los dos triángulos especiales te dan todos de una vez.
Algunos valores más salen directamente del círculo unitario: $\sec 0 = 1$, $\csc\frac{\pi}{2} = 1$, $\cot\frac{\pi}{2} = 0$, $\sec\pi = -1$ y $\csc\frac{3\pi}{2} = -1$.
Practica★☆☆Sin empezar
Determina el valor exacto de $\sec 60^\circ$ y $\cot 45^\circ$ sin utilizar la calculadora.
Determina el valor exacto de $\sec 60^\circ$ y $\cot 45^\circ$ sin utilizar la calculadora.
Un recíproco siempre tiene el mismo signo que el número original. Así, $\sec\alpha$ tiene el signo de $\cos\alpha$, $\csc\alpha$ tiene el signo de $\sin\alpha$ y $\cot\alpha$ tiene el signo de $\tan\alpha$. No necesitas memorizar nada nuevo.
Para evaluar un recíproco en un ángulo no agudo, usa el ángulo de referencia para el tamaño y el cuadrante para el signo.
Practica★☆☆Sin empezar
Un ángulo $\gamma$ cumple que $\sec \gamma < 0$ y $\csc \gamma > 0$. Razona en qué cuadrante de la circunferencia goniométrica se encuentra el ángulo $\gamma$.
Un ángulo $\gamma$ cumple que $\sec \gamma < 0$ y $\csc \gamma > 0$. Razona en qué cuadrante de la circunferencia goniométrica se encuentra el ángulo $\gamma$.
Ya conoces $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Divide cada término entre $\cos^2\alpha$ y aparecen los recíprocos: $\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + 1 = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$, es decir, $\tan^2\alpha + 1 = \sec^2\alpha$. Si en cambio divides entre $\sin^2\alpha$, obtienes la tercera identidad.
Practica★☆☆Sin empezar
Si $\tan \beta = \frac{4}{3}$ y $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, utiliza la relación fundamental $1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta$ para calcular $\sec \beta$.
Si $\tan \beta = \frac{4}{3}$ y $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, utiliza la relación fundamental $1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta$ para calcular $\sec \beta$.
Si conoces una razón y el cuadrante, puedes hallar las otras cinco. Las razones también tienen una descripción sencilla en el plano cartesiano. Para un punto $(x, y)$ en el lado terminal de $\alpha$, a una distancia $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ del origen:
Estrategia: (1) convierte la razón dada en una que conozcas bien, (2) usa una identidad pitagórica o un triángulo de referencia para obtener la otra, (3) elige los signos según el cuadrante, (4) invierte para obtener los recíprocos.
Practica★★☆Sin empezar
Sabiendo que $\sec \alpha = -\frac{13}{5}$ y que $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, calcula el valor exacto de las demás razones trigonométricas (seno, coseno, tangente,…
Sabiendo que $\sec \alpha = -\frac{13}{5}$ y que $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, calcula el valor exacto de las demás razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cosecante y cotangente).
Sabiendo que $\csc x = 3$ y que el ángulo $x$ pertenece al segundo cuadrante, calcula el valor exacto de la expresión $E = \frac{\sec x + \tan x}{\cot x}$.
Sabiendo que $\csc x = 3$ y que el ángulo $x$ pertenece al segundo cuadrante, calcula el valor exacto de la expresión $E = \frac{\sec x + \tan x}{\cot x}$.
Cuando una expresión mezcla recíprocos, reescribe todo en términos de $\sin x$ y $\cos x$. Así los factores se cancelan y el resultado suele quedar claro.
A veces también necesitas una identidad o factorizar. Busca una diferencia de cuadrados.
Practica★☆☆Sin empezar
Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica: $\cos x \cdot \sec x + \sin x \cdot \csc x$.
Simplifica al máximo la siguiente expresión trigonométrica: $\cos x \cdot \sec x + \sin x \cdot \csc x$.
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica y exprésala en función de una sola razón trigonométrica o constante numérica: $\frac{\sec^4 x - 1}{\tan^2 x} - \tan^2 x$.
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica y exprésala en función de una sola razón trigonométrica o constante numérica: $\frac{\sec^4 x - 1}{\tan^2 x} - \tan^2 x$.
Demostrar una identidad es mostrar que los dos lados son iguales para todo ángulo donde estén definidos. Las reglas del juego: elige un lado (normalmente el más complicado) y transfórmalo hasta que se parezca al otro. Nunca pases términos de un lado al otro del signo igual, porque eso supone lo que quieres demostrar.
Practica★★☆Sin empezar
Demuestra que para cualquier ángulo $\alpha$ donde las razones estén definidas, se cumple la siguiente igualdad:…
Demuestra que para cualquier ángulo $\alpha$ donde las razones estén definidas, se cumple la siguiente igualdad: $\cot^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \cot^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha$.
Dos identidades pitagóricas, reescritas como diferencias de cuadrados, te dan un hecho muy útil.
Esto te da dos usos poderosos. Primero, si conoces la suma, conoces al instante la diferencia, y luego puedes despejar cada razón. Segundo, un "$1$" suelto en una demostración se puede reemplazar por $\sec^2 x - \tan^2 x$ (o $\csc^2 x - \cot^2 x$) y luego factorizar.
Practica★★★Sin empezar
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: $\frac{\tan x + \sec x - 1}{\tan x - \sec x + 1} = \tan x + \sec x$.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica: $\frac{\tan x + \sec x - 1}{\tan x - \sec x + 1} = \tan x + \sec x$.
Para resolver una ecuación con una razón recíproca, haz una de dos cosas. Si la ecuación es lineal en la razón (como $2\csc x + 4 = 0$), despeja la razón y luego invierte. Si aparecen una razón al cuadrado y la misma razón sin cuadrado (como $\sec^2 x + \tan x = 3$), usa una identidad pitagórica para dejar una sola razón y luego factoriza como una cuadrática. Por último, halla todos los ángulos del intervalo usando los cuadrantes.
Para un sistema, trata las razones recíprocas como incógnitas y usa eliminación, igual que en Álgebra 1.
Practica★★☆Sin empezar
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica indicando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi]$: $2\csc x + 4 = 0$.
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica indicando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi]$: $2\csc x + 4 = 0$.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para valores de $x, y \in [0, \pi]$: $$ \begin{cases} \csc x + \sec y = 3 \\ \csc x - \sec y = 1 \end{cases}…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para valores de $x, y \in [0, \pi]$:
$$ \begin{cases} \csc x + \sec y = 3 \\ \csc x - \sec y = 1 \end{cases} $$
Las razones recíprocas aparecen siempre que una longitud es una hipotenusa que se halla dividiendo. Volvamos a la escalera:
Si $\cot\theta = c$ para un ángulo agudo, entonces $\csc\theta = \sqrt{1 + c^2}$ y $\sec\theta = \dfrac{\sqrt{1 + c^2}}{c}$. Estas fórmulas ayudan cuando $c$ no es una fracción cómoda, por ejemplo cuando involucra una raíz cúbica.
Volvamos al principio: la escalera a $60^\circ$ que llega a 20 ft mide $L = 20\csc 60^\circ = 20\cdot\dfrac{2\sqrt3}{3} = \dfrac{40\sqrt3}{3} \approx 23.1$ ft.
Practica★★★Sin empezar
En un experimento de óptica, un rayo láser atraviesa un bloque de cristal de caras planas y paralelas. La trayectoria del rayo dentro del cristal tiene una longitud…
En un experimento de óptica, un rayo láser atraviesa un bloque de cristal de caras planas y paralelas. La trayectoria del rayo dentro del cristal tiene una longitud $L = h \cdot \sec \theta_r$, donde $h = 5$ pulgadas es el grosor del bloque y $\theta_r$ es el ángulo de refracción. Si el rayo incide desde el aire con un ángulo $\theta_i = 60^\circ$ y el índice de refracción del cristal es $n = \sqrt{2}$, calcula el valor exacto de la longitud $L$ recorrida por el láser dentro del bloque. (Dato: La ley de Snell establece que $\sin \theta_i = n \cdot \sin \theta_r$).
Un pasillo en forma de L tiene dos tramos de anchos $a = 2$ pies y $b = 3$ pies que se cruzan en ángulo recto. Una viga rígida de longitud $L$ se atasca al intentar…
Un pasillo en forma de L tiene dos tramos de anchos $a = 2$ pies y $b = 3$ pies que se cruzan en ángulo recto. Una viga rígida de longitud $L$ se atasca al intentar girar la esquina tocando ambas paredes exteriores y la esquina interior. La longitud de la viga en función del ángulo $\theta$ que forma con una de las paredes exteriores se puede modelar como $L(\theta) = a \csc \theta + b \sec \theta$. Calcula el valor exacto de $L(\theta)$ cuando $\cot \theta = \sqrt[3]{\frac{a}{b}}$.