"Medida de ángulos: grados y radianes"
Abre el menú MODE de una calculadora gráfica y verás dos opciones: Degree (grados) y Radian (radianes). ¿Para qué hace falta una segunda manera de medir ángulos? Y en una rueda de la fortuna, ¿un asiento del borde viaja más rápido que uno cerca del centro? Al terminar esta página podrás responder las dos preguntas.
El radián: cuando el arco es igual al radio
Los grados dividen una vuelta completa en 360 partes iguales, lo cual es una tradición y no una ley de la naturaleza. El radián sale directamente del círculo.
Imagina que cortas un pedazo de cuerda tan largo como el radio y lo colocas sobre el borde del círculo. El ángulo central que "ve" ese pedazo de arco mide un radián. Con un círculo grande o pequeño, el ángulo es el mismo, porque el arco y el radio crecen juntos.
La circunferencia completa mide $2\pi r$, así que caben exactamente $2\pi$ de esos pedazos del tamaño del radio alrededor del círculo. Una vuelta completa es $2\pi$ rad $= 360^\circ$, y media vuelta es $\pi$ rad $= 180^\circ$. Un radián es $\dfrac{180}{\pi}\approx 57.3^\circ$.
Un ángulo está en posición estándar cuando su vértice está en el origen y su lado inicial está sobre el eje $x$ positivo. Los ángulos positivos giran en sentido contrario a las manecillas del reloj y los negativos en el sentido de las manecillas. El lado donde termina el giro es el lado terminal. Conviene conocer los valores de referencia siguientes, porque permiten ubicar un ángulo en radianes sin calculadora.
En decimales: $\dfrac{\pi}{2}\approx 1.57$, $\pi\approx 3.14$, $\dfrac{3\pi}{2}\approx 4.71$ y $2\pi\approx 6.28$.
Un ángulo mide exactamente $3$ radianes. Sin utilizar la calculadora, razona si este ángulo es mayor, menor o igual a un ángulo llano ($180^\circ$) y determina en qué…
Un ángulo mide exactamente $3$ radianes. Sin utilizar la calculadora, razona si este ángulo es mayor, menor o igual a un ángulo llano ($180^\circ$) y determina en qué cuadrante se encuentra.
Conversión entre grados y radianes
Una vuelta completa es $360^\circ$ y también $2\pi$ rad. Al tomar la mitad de ambas se obtiene la pareja más cómoda: $180^\circ = \pi$ rad. Plantea una proporción con ella.
Memoriza estos bloques básicos. Cualquier otro ángulo común es un múltiplo de alguno de ellos (por ejemplo, $120^\circ = 2\cdot 60^\circ = \tfrac{2\pi}{3}$ y $225^\circ = 5\cdot 45^\circ = \tfrac{5\pi}{4}$).
| Grados | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ | $180^\circ$ | $270^\circ$ | $360^\circ$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radianes | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\dfrac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
Cuando un ángulo en radianes se da como un número simple, no hay $\pi$ que cancelar. Para $2$ rad, $2\cdot\dfrac{180}{\pi}\approx 114.6^\circ$.
Grados, minutos y segundos
A veces una fracción de grado se escribe en minutos y segundos: $1^\circ = 60'$ y $1' = 60''$.
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De decimal a grados-minutos-segundos: conserva los grados enteros, multiplica la parte decimal por $60$ para obtener los minutos y luego multiplica la nueva parte decimal por $60$ para obtener los segundos. Por ejemplo, $28.35^\circ$: $0.35\cdot 60=21$, así que $28^\circ 21'$.
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De grados-minutos-segundos a decimal: $40^\circ 15' = 40+\tfrac{15}{60}=40.25^\circ$.
Para $2.4$ rad: $2.4\cdot\dfrac{180}{\pi}\approx 137.5099^\circ$. Luego $0.5099\cdot 60\approx 30.59'$ y $0.59\cdot 60\approx 35.5''$. Así que $2.4\text{ rad}\approx 137^\circ 30' 36''$.
Expresa en radianes, utilizando fracciones irreducibles de $\pi$, los siguientes ángulos dados en grados sexagesimales: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ y…
Expresa en radianes, utilizando fracciones irreducibles de $\pi$, los siguientes ángulos dados en grados sexagesimales: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ y $330^\circ$.
Convierte a grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ y $\frac{11\pi}{3}$.
Convierte a grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ y $\frac{11\pi}{3}$.
Ángulos en polígonos y triángulos
Los ángulos de la geometría siguen contando, y en precálculo muchas veces te los pedirán en radianes. El hecho clave: un polígono de $n$ lados se puede dividir en $n-2$ triángulos trazando diagonales desde un vértice. Cada triángulo aporta $180^\circ=\pi$ rad.
Los ángulos de cualquier triángulo suman $180^\circ=\pi$ rad. Si tres ángulos forman una sucesión aritmética, puedes escribirlos como $a,\ a+d,\ a+2d$, donde $d$ es la diferencia común. Algunos problemas la llaman progresión aritmética; es lo mismo.
Calcula la suma de los ángulos interiores de un octógono regular y expresa el valor de cada uno de sus ángulos interiores en radianes, utilizando fracciones de $\pi$.
Calcula la suma de los ángulos interiores de un octógono regular y expresa el valor de cada uno de sus ángulos interiores en radianes, utilizando fracciones de $\pi$.
Los tres ángulos de un triángulo están en progresión aritmética. Si se sabe que el ángulo mayor mide $80^\circ$, determina la medida de los tres ángulos expresada en…
Los tres ángulos de un triángulo están en progresión aritmética. Si se sabe que el ángulo mayor mide $80^\circ$, determina la medida de los tres ángulos expresada en radianes (utilizando fracciones de $\pi$).
Problemas de relojes
Un reloj es un círculo, así que es un buen lugar para practicar con ángulos. Mide el ángulo de cada manecilla en el sentido de las manecillas del reloj, a partir del 12.
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El minutero da una vuelta completa ($360^\circ$) en $60$ min, así que avanza $6^\circ$ por minuto.
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El horario da una vuelta completa en $12$ h, así que avanza $30^\circ$ por hora, es decir, $0.5^\circ$ por minuto.
A las $h$ horas y $m$ minutos: minutero $=6m$ grados, horario $=30h+0.5m$ grados. El ángulo entre ambos es la diferencia. Si es mayor que $180^\circ$, réstalo de $360^\circ$ para obtener el ángulo menor.
¿Cuándo se alinean las manecillas? Iguala las dos fórmulas de ángulo. Entre las 2:00 y las 3:00, sea $t$ los minutos después de las 2:00. El minutero está en $6t$ y el horario en $60+0.5t$:
$$6t=60+0.5t\ \Longrightarrow\ 5.5t=60\ \Longrightarrow\ t=\frac{120}{11}\approx 10.91\text{ min}.$$Las manecillas se superponen a las $2{:}10{:}55$ aproximadamente. El minutero gana $5.5^\circ$ por minuto sobre el horario, y esa "velocidad relativa" es el corazón de todo problema de relojes.
Calcula el ángulo menor, expresado en grados sexagesimales y en radianes, que forman las agujas de un reloj analógico (horaria y minutero) exactamente a las 4:20 p. m.
Calcula el ángulo menor, expresado en grados sexagesimales y en radianes, que forman las agujas de un reloj analógico (horaria y minutero) exactamente a las 4:20 p. m.
Determina la hora exacta, comprendida entre las 7:00 y las 8:00, en la que las agujas de un reloj analógico (horaria y minutero) se encuentran perfectamente…
Determina la hora exacta, comprendida entre las 7:00 y las 8:00, en la que las agujas de un reloj analógico (horaria y minutero) se encuentran perfectamente superpuestas. Expresa también el ángulo total barrido por la aguja horaria desde las 7:00 hasta ese instante preciso, en radianes.
Ángulos coterminales y cuadrantes
Dos ángulos en posición estándar son coterminales si tienen el mismo lado terminal. Sumar o restar vueltas completas no cambia dónde termina el ángulo.
Para ángulos grandes en radianes, pregúntate cuántas copias de $2\pi$ caben. Para $\dfrac{25\pi}{4}$: $2\pi=\dfrac{8\pi}{4}$, y tres copias suman $\dfrac{24\pi}{4}$. Entonces $\dfrac{25\pi}{4}-\dfrac{24\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}$.
Reduce los siguientes ángulos al primer giro (es decir, encuentra su ángulo equivalente entre $0^\circ$ y $360^\circ$) e indica en qué cuadrante se sitúa el lado final…
Reduce los siguientes ángulos al primer giro (es decir, encuentra su ángulo equivalente entre $0^\circ$ y $360^\circ$) e indica en qué cuadrante se sitúa el lado final de cada uno: $1250^\circ$ y $2460^\circ$.
Encuentra el ángulo positivo equivalente en la primera vuelta (comprendido entre $0$ y $2\pi$ rad) para los siguientes ángulos negativos: $-\frac{\pi}{4}$ y…
Encuentra el ángulo positivo equivalente en la primera vuelta (comprendido entre $0$ y $2\pi$ rad) para los siguientes ángulos negativos: $-\frac{\pi}{4}$ y $-\frac{13\pi}{6}$.
Longitud de arco
Ahora el radián da sus frutos. Como $\theta=\dfrac{s}{r}$ por definición, al despejar $s$ se obtiene la longitud de arco sin factores adicionales.
También puedes despejar el ángulo: $\theta=\dfrac{s}{r}$. Para un arco de $15$ ft en un círculo de radio $6$ ft, $\theta=\dfrac{15}{6}=2.5$ rad, que son $2.5\cdot\dfrac{180}{\pi}\approx143.2^\circ$.
Calcula el ángulo central subtendido por un arco de $12$ pulgadas de longitud en una circunferencia cuyo radio es de $4$ pulgadas. Expresa el resultado tanto en radianes…
Calcula el ángulo central subtendido por un arco de $12$ pulgadas de longitud en una circunferencia cuyo radio es de $4$ pulgadas. Expresa el resultado tanto en radianes como en grados sexagesimales.
Determina la longitud del arco que describe el extremo inferior de un péndulo de $60$ pulgadas de longitud cuando oscila un ángulo de $\frac{\pi}{8}$ radianes.
Determina la longitud del arco que describe el extremo inferior de un péndulo de $60$ pulgadas de longitud cuando oscila un ángulo de $\frac{\pi}{8}$ radianes.
Una rueda de la fortuna tiene un diámetro de $40$ pies y cuenta con $24$ cabinas espaciadas uniformemente a lo largo de su borde exterior. Calcula la distancia a lo…
Una rueda de la fortuna tiene un diámetro de $40$ pies y cuenta con $24$ cabinas espaciadas uniformemente a lo largo de su borde exterior. Calcula la distancia a lo largo del arco de la rueda de la fortuna que separa dos cabinas consecutivas y el ángulo en radianes que forman respecto al eje central.
Área de un sector
Un sector es la "rebanada de pizza" de un círculo: dos radios y el arco entre ellos. Su área es la misma fracción del círculo completo que su ángulo es de una vuelta completa.
A veces te dan el área y necesitas el ángulo. Un sector con área de $30\text{ ft}^2$ y radio de $5$ ft tiene $\theta=\dfrac{2A}{r^2}=\dfrac{60}{25}=2.4$ rad.
Un aspersor de riego agrícola cubre un sector circular. El chorro de agua alcanza una distancia máxima de $18$ pies y la cabeza del aspersor barre un ángulo de…
Un aspersor de riego agrícola cubre un sector circular. El chorro de agua alcanza una distancia máxima de $18$ pies y la cabeza del aspersor barre un ángulo de $140^\circ$. Calcula el área total del terreno regado y la longitud del arco exterior que describe el agua.
Se tiene un sector circular inicial de radio $R$ y ángulo central $\alpha$ (en radianes). Se diseña un nuevo sector circular con el objetivo de que su área sea…
Se tiene un sector circular inicial de radio $R$ y ángulo central $\alpha$ (en radianes). Se diseña un nuevo sector circular con el objetivo de que su área sea exactamente igual a la del sector original. Si por restricciones de diseño el radio del nuevo sector debe ser el triple que el original ($3R$), determina algebraicamente qué fracción del ángulo $\alpha$ debe tener el nuevo sector.
Arcos en la Tierra y en una pista
Cualquier distancia a lo largo de una curva se puede ver como un arco: un corredor en una pista circular, un barco que sigue un meridiano, el haz de un faro. Cuando conoces dos de $s$, $r$, $\theta$, el tercero sale de $s=r\theta$.
Distancias en la Tierra. Trata la Tierra como una esfera. Dos ciudades en el mismo meridiano (línea de longitud) están en el mismo círculo máximo, así que el arco entre ellas tiene un ángulo central igual a la diferencia de sus latitudes:
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hemisferios opuestos (uno Norte, otro Sur): suma las latitudes;
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mismo hemisferio: réstalas.
Hallar el radio a partir de un arco. Puedes usar la fórmula al revés: $r=\dfrac{s}{\theta}$, y la circunferencia es $2\pi r$.
En una pista. Si un corredor recorre $s$ pies por un carril de radio $r$, el ángulo que barre alrededor del centro es $\theta=\dfrac{s}{r}$ rad. Para expresar una respuesta en grados, minutos y segundos, convierte con $\dfrac{180}{\pi}$ y luego separa los decimales como en la sección de grados, minutos y segundos.
En una pista de atletismo circular, un corredor se desplaza por la calle interior manteniéndose a $50$ pies del centro. Si recorre una distancia de $120$ pies, calcula…
En una pista de atletismo circular, un corredor se desplaza por la calle interior manteniéndose a $50$ pies del centro. Si recorre una distancia de $120$ pies, calcula el ángulo que ha descrito respecto al centro de la pista en radianes. Expresa también este resultado en grados, minutos y segundos.
Dos ciudades, A y B, se encuentran situadas sobre el mismo meridiano terrestre. La latitud de la ciudad A es $41^\circ$ Norte y la latitud de la ciudad B es $28^\circ$…
Dos ciudades, A y B, se encuentran situadas sobre el mismo meridiano terrestre. La latitud de la ciudad A es $41^\circ$ Norte y la latitud de la ciudad B es $28^\circ$ Sur. Asumiendo que la Tierra es una esfera perfecta con un radio medio de $6371$ millas, calcula la distancia en línea recta sobre la superficie terrestre que separa ambas ciudades.
En el histórico experimento de Eratóstenes, se observó que en la ciudad de Siena los rayos del sol incidían perpendicularmente al suelo (ángulo $0^\circ$) en el mediodía…
En el histórico experimento de Eratóstenes, se observó que en la ciudad de Siena los rayos del sol incidían perpendicularmente al suelo (ángulo $0^\circ$) en el mediodía del solsticio de verano. Al mismo tiempo, en Alejandría, situada aproximadamente a $800$ millas al norte sobre el mismo meridiano, los rayos formaban un ángulo de $\frac{\pi}{25}$ radianes con la vertical. A partir exclusivamente de estos datos, deduce el radio de la Tierra y la longitud de su circunferencia meridiana.
Ruedas que ruedan, poleas y engranes
Una rueda que rueda sin deslizarse. La parte del borde que toca el suelo se "tiende" sobre el suelo. Así que cuando la rueda gira $\theta$ radianes, su centro avanza una distancia $s=r\theta$.
Si la rueda da $n$ vueltas completas, $\theta=2\pi n$ rad, así que $s=2\pi r n$: cada vuelta avanza una circunferencia.
Bandas y engranes. Cuando dos ruedas están unidas por una banda o sus dientes encajan, un punto del borde de una se mueve exactamente lo mismo que un punto del borde de la otra. Las longitudes de arco son iguales:
$$r_1\theta_1=r_2\theta_2\quad\Longrightarrow\quad\theta_2=\frac{r_1}{r_2}\,\theta_1.$$La rueda más pequeña gira un ángulo mayor. El sentido depende de la unión:
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banda (banda abierta): ambas poleas giran en el mismo sentido;
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engranes que encajan: los vecinos giran en sentidos opuestos.
En una cadena $A\to B\to C$, la rueda intermedia $B$ invierte el sentido dos veces, así que $C$ gira en el mismo sentido que $A$. Como $r_A\theta_A=r_B\theta_B=r_C\theta_C$, el radio intermedio se cancela en la respuesta final.
El sistema de transmisión de una máquina industrial consta de dos poleas conectadas por una correa tensa. La polea motriz tiene un radio de $15$ pulgadas y la polea…
El sistema de transmisión de una máquina industrial consta de dos poleas conectadas por una correa tensa. La polea motriz tiene un radio de $15$ pulgadas y la polea conducida tiene un radio de $45$ pulgadas. Si la polea motriz gira un ángulo de $\frac{7\pi}{2}$ radianes, calcula cuántos radianes gira la polea conducida y cuántas vueltas completas da.
Un tren de engranajes está compuesto por tres ruedas dentadas A, B y C montadas en serie, de forma que A engrana con B, y B engrana con C. Los radios primitivos de las…
Un tren de engranajes está compuesto por tres ruedas dentadas A, B y C montadas en serie, de forma que A engrana con B, y B engrana con C. Los radios primitivos de las ruedas son $R_A = 12$ pulgadas, $R_B = 8$ pulgadas y $R_C = 20$ pulgadas. Si la rueda A gira un ángulo de $150^\circ$ en sentido horario, determina el ángulo de giro de la rueda C en radianes y especifica su sentido de giro.
Un rodillo cilíndrico de $25$ pulgadas de radio se utiliza para compactar el asfalto de una calle. Al empujarlo, el rodillo avanza en línea recta rodando sin deslizar y…
Un rodillo cilíndrico de $25$ pulgadas de radio se utiliza para compactar el asfalto de una calle. Al empujarlo, el rodillo avanza en línea recta rodando sin deslizar y da exactamente $14,5$ vueltas completas. Calcula la distancia horizontal recorrida por el eje del rodillo en pies y el ángulo total girado por cualquier punto de su superficie, expresado en grados sexagesimales.
Velocidad angular
Cuando algo gira, nos interesa cuánto ángulo barre por unidad de tiempo. Eso es la velocidad angular, $\omega$ (omega), que suele darse en radianes por segundo.
Revoluciones por minuto (rpm). Una revolución es $2\pi$ rad. Hazlo en dos pasos: multiplica por $2\pi$ para obtener rad/min y luego divide entre $60$ para obtener rad/s. Para regresar, $n$ revoluciones corresponden a $\theta=2\pi n$.
Unidades de velocidad lineal. Para usar $v=\omega r$ con la velocidad de un carro o de una bicicleta, haz que las unidades coincidan. Datos útiles: $1\text{ mi}=5{,}280$ ft $=63{,}360$ in. y $60\text{ mph}=88$ ft/s.
Volvamos al principio: un radián es el ángulo cuyo arco es igual al radio, lo que hace que fórmulas como $s=r\theta$ y $v=\omega r$ no necesiten factores de conversión, y por eso las calculadoras y las ciencias usan radianes. Y sí, el asiento del borde de una rueda de la fortuna se mueve más rápido que uno cerca del centro, porque todos los asientos tienen la misma $\omega$ pero distinto $r$.
Un disco de vinilo gira en un tocadiscos a una velocidad de $33$ revoluciones por minuto (rpm). Calcula su velocidad angular en radianes por segundo y determina el…
Un disco de vinilo gira en un tocadiscos a una velocidad de $33$ revoluciones por minuto (rpm). Calcula su velocidad angular en radianes por segundo y determina el ángulo, en radianes, que describe un punto de su borde en $2,5$ segundos.
El radio de las ruedas de un automóvil es de $32$ pulgadas. Si el vehículo viaja a una velocidad constante de $90$ mph, calcula la velocidad angular de las ruedas…
El radio de las ruedas de un automóvil es de $32$ pulgadas. Si el vehículo viaja a una velocidad constante de $90$ mph, calcula la velocidad angular de las ruedas expresada en radianes por segundo. Posteriormente, determina el ángulo total girado por una rueda en un trayecto de $15$ minutos y conviértelo a número de vueltas completas.
Un faro marítimo proyecta un haz de luz que gira a una velocidad angular constante de $4$ revoluciones por minuto. El haz ilumina la superficie del mar hasta una…
Un faro marítimo proyecta un haz de luz que gira a una velocidad angular constante de $4$ revoluciones por minuto. El haz ilumina la superficie del mar hasta una distancia máxima de $5$ millas. Debido a la orografía de la costa, existe un sector ciego de $\frac{2\pi}{5}$ radianes hacia tierra adentro donde la luz no es visible. Calcula el área total del mar que ilumina el faro en cada vuelta completa y el tiempo exacto en segundos que el haz de luz tarda en atravesar la zona visible.
Arcos que se acortan: una serie geométrica
Un péndulo que oscila pierde energía, así que cada vaivén cubre un ángulo menor. Si el ángulo disminuye el mismo porcentaje cada vez, las longitudes de los arcos forman una sucesión geométrica, y la distancia total es una serie geométrica infinita.
Para un péndulo de longitud $L$, el arco de un vaivén con ángulo $\theta_k$ es $s_k=L\theta_k$. Si cada ángulo es $r$ veces el anterior ($r$ es la razón común), entonces
$$s1+s2+s3+\cdots=L\theta_1\,(1+r+r^2+\cdots)=\frac{L\theta_1}{1-r},\qquad |r|<1.$$Una disminución de $p\%$ cada vez multiplica el ángulo por $r=1-\dfrac{p}{100}$.
Un péndulo de longitud $L = 1$ pie oscila describiendo arcos de circunferencia; cada oscilación es el recorrido de un extremo al extremo opuesto. En su primera…
Un péndulo de longitud $L = 1$ pie oscila describiendo arcos de circunferencia; cada oscilación es el recorrido de un extremo al extremo opuesto. En su primera oscilación, el ángulo máximo que forma con la vertical es de $\frac{\pi}{6}$ radianes. Debido a la fricción, en cada oscilación posterior, el ángulo máximo alcanzado se reduce en un $10\%$ respecto a la oscilación inmediatamente anterior. Planteando la suma de la serie geométrica infinita correspondiente, calcula la distancia total recorrida por la masa del péndulo hasta detenerse por completo.