Tu termostato está programado a $70^\circ\text{F}$. La calefacción o el aire acondicionado se activan solo cuando la temperatura del cuarto se aleja más de $2$ grados de $70$, ya sea porque hace demasiado calor o demasiado frío. ¿Cómo puedes decir "se aleja más de 2 grados" en una sola frase corta, y qué temperaturas activan el sistema? El valor absoluto es la herramienta justa para esto: mide qué tan lejos está algo de un valor objetivo e ignora la dirección.
Definición y distancia
El valor absoluto de un número es su distancia a $0$ en la recta numérica. La distancia nunca es negativa, así que el signo del número no importa, solo su tamaño.
En algunos problemas se le llama módulo a un número. Es lo mismo.
La misma idea funciona entre dos puntos cualesquiera. La distancia entre $a$ y $b$ en la recta numérica es $|a - b|$ (o $|b - a|$, es el mismo número).
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Calcula el valor numérico de la siguiente expresión: $|-7| - |4 - 9| + |-3|$.
Calcula el valor numérico de la siguiente expresión: $|-7| - |4 - 9| + |-3|$.
Dos valores absolutos y valores absolutos anidados
Los problemas sobre distancias se convierten en estas ecuaciones. Un enunciado como "$x$ está $3$ veces más lejos de $1$ que de $5$" significa que escribes cada distancia como $|x - p|$ para el punto $p$ y planteas la ecuación.
Con barras anidadas, trabaja de afuera hacia adentro.
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Encuentra todos los valores reales de $x$ que satisfacen la ecuación con dos valores absolutos: $|3x - 1| = |x + 5|$.
Encuentra todos los valores reales de $x$ que satisfacen la ecuación con dos valores absolutos: $|3x - 1| = |x + 5|$.
Ingenieros, enfermeras y entrenadores usan el mismo patrón: un valor objetivo y un error permitido.
Volvamos al termostato: el sistema funciona cuando $|T - 70| > 2$. Eso significa $T < 68$ o $T > 72$. Permanece apagado para $68 \le T \le 72$.
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Una fábrica de rodamientos de acero estipula que la longitud ideal de una pieza es de $250 \text{ mm}$. El control de calidad rechaza cualquier pieza cuya longitud…
Una fábrica de rodamientos de acero estipula que la longitud ideal de una pieza es de $250 \text{ mm}$. El control de calidad rechaza cualquier pieza cuya longitud difiera de la ideal en más de $1.2 \text{ mm}$. Expresa esta condición mediante una inecuación con valor absoluto y determina el intervalo de longitudes válidas.
Un cultivo de bacterias en un laboratorio de biología debe mantenerse a una temperatura exacta de $37^\circ\text{C}$. El experimento se arruina si la temperatura oscila…
Un cultivo de bacterias en un laboratorio de biología debe mantenerse a una temperatura exacta de $37^\circ\text{C}$. El experimento se arruina si la temperatura oscila en $2.5^\circ\text{C}$ o más. Escribe la condición de fracaso del experimento usando valor absoluto y resuélvela para hallar los intervalos de temperatura críticos.
El precio de una acción en bolsa es hoy de $\$60$. Un modelo financiero predice que el precio $p$ de la próxima semana cumplirá la relación $|p - 60| \le 4.8…
El precio de una acción en bolsa es hoy de $\$60$. Un modelo financiero predice que el precio $p$ de la próxima semana cumplirá la relación $|p - 60| \le 4.8$. ¿Cuáles son los precios máximo y mínimo que contempla la predicción?
Desigualdades más difíciles: cuadráticas y fracciones
Las mismas dos reglas funcionan cuando $A$ es una expresión más complicada. Solo terminas resolviendo desigualdades ordinarias después.
Cuando el valor absoluto está en un denominador, primero anota qué valores no se permiten. Luego multiplica por el valor absoluto, que es positivo, así que la desigualdad no se invierte.
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Resuelve la inecuación cuadrática con valor absoluto: $|x^2 - 2x| < 3$.
Resuelve la inecuación cuadrática con valor absoluto: $|x^2 - 2x| < 3$.
La desigualdad triangular y los errores combinados
Una consecuencia muy útil: si dos errores están acotados, su suma está acotada por la suma de las cotas. Escribe $A = (A - B) + (B - C)$ y aplica la desigualdad.
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Demuestra, utilizando la desigualdad triangular ($|x + y| \le |x| + |y|$), que para cualesquiera números reales $a$ y $b$, se cumple la desigualdad…
Demuestra, utilizando la desigualdad triangular ($|x + y| \le |x| + |y|$), que para cualesquiera números reales $a$ y $b$, se cumple la desigualdad $|a - b| \ge ||a| - |b||$.
El sistema de navegación de un submarino requiere que su profundidad ideal $h$ (en pies, donde $h > 0$) se mantenga en el rango $|h - 250| \le 30$. Sin embargo, las…
El sistema de navegación de un submarino requiere que su profundidad ideal $h$ (en pies, donde $h > 0$) se mantenga en el rango $|h - 250| \le 30$. Sin embargo, las fuertes corrientes marinas introducen una perturbación, de modo que la profundidad real $h_r$ del submarino cumple $|h_r - h| \le 12$. Calcula el intervalo absoluto de profundidades reales entre las que puede moverse el submarino en el peor de los casos.
En un modelo de aprendizaje automático, el error $E$ entre la predicción $y$ y el valor real $t$ se define como $E = |y - t|$. Si se garantiza por el diseño del modelo…
En un modelo de aprendizaje automático, el error $E$ entre la predicción $y$ y el valor real $t$ se define como $E = |y - t|$. Si se garantiza por el diseño del modelo que $|y - 15| \le 1.5$ y $|t - 15| \le 2.5$, determina una cota superior para el error máximo posible $E$ utilizando las propiedades del valor absoluto, y encuentra el intervalo de valores posibles para la diferencia $y - t$.
Para quitar las barras, encuentra dónde cambia de signo cada expresión de adentro. Esos puntos dividen la recta numérica en tramos. En cada tramo, todo valor absoluto es simplemente $+(\ldots)$ o $-(\ldots)$.
Observa que la constante $3$ es la distancia entre $-1$ y $2$. La suma $|x - 2| + |x + 1|$ es la distancia total de $x$ a los dos puntos, y entre ellos ese total no cambia. Fuera de ellos, crece.
La gráfica te dice cuántas soluciones tiene $|x - 2| + |x + 1| = k$: una recta horizontal $y = k$ no toca la gráfica si $k < 3$, toca todo el tramo plano si $k = 3$ (infinitas soluciones) y la corta dos veces si $k > 3$.
Las diferencias de valores absolutos dan "rampas" que se aplanan en ambos extremos.
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Simplifica la expresión algebraica $|x - 3| + |x + 2|$ sabiendo que la variable $x$ pertenece al intervalo $(-2, 3)$.
Simplifica la expresión algebraica $|x - 3| + |x + 2|$ sabiendo que la variable $x$ pertenece al intervalo $(-2, 3)$.
La siguiente gráfica representa una función definida mediante la diferencia de dos valores absolutos, $f(x) = |x - a| - |x - b|$ con $a < b$. Observando los vértices y…
La siguiente gráfica representa una función definida mediante la diferencia de dos valores absolutos, $f(x) = |x - a| - |x - b|$ con $a < b$. Observando los vértices y los tramos constantes en la figura, determina los valores de los parámetros $a$ y $b$, y escribe la expresión analítica de $f(x)$ definida a trozos sin usar valores absolutos.