Monotonía y extremos de una función
Marcus imprime camisetas personalizadas para los equipos de la escuela. Su ganancia es $P(x) = -2x^2 + 40x - 30$ dólares cuando imprime $x$ docenas de camisetas. Al principio, imprimir más camisetas significa más ganancia. Pasado cierto punto, los cargos por entregas urgentes y los materiales desperdiciados hacen que la ganancia baje. En algún lugar hay un nivel de producción óptimo, un máximo. Para encontrarlo con seguridad, primero necesitas formas de describir cómo cambia una función.
Razón de cambio promedio
Para describir cómo cambia $f$ entre dos valores de entrada $a$ y $b$, compara cuánto se movió la salida con cuánto se movió la entrada.
Una RCP positiva significa que la salida sube en promedio. Una RCP negativa significa que baja en promedio. Las unidades de la RCP son (unidades de $y$) por (unidad de $x$), como millas por hora o dólares por tanda.
Cuando comparas dos funciones en el mismo intervalo, la de mayor RCP es la que crece más rápido en promedio ahí.
Calcule la Tasa de Variación Media (TVM) de la función $f(x) = x^2 - 4x + 3$ en el intervalo $[2, 5]$. A partir del resultado, ¿se puede deducir si la función es, en…
Calcule la Tasa de Variación Media (TVM) de la función $f(x) = x^2 - 4x + 3$ en el intervalo $[2, 5]$. A partir del resultado, ¿se puede deducir si la función es, en promedio, creciente o decreciente en dicho intervalo?
Calcule la Tasa de Variación Media de la función racional $f(x) = \frac{4}{x}$ en el intervalo $[1, 4]$. ¿Qué nos indica el signo del resultado sobre el comportamiento…
Calcule la Tasa de Variación Media de la función racional $f(x) = \frac{4}{x}$ en el intervalo $[1, 4]$. ¿Qué nos indica el signo del resultado sobre el comportamiento de la función en ese intervalo?
En un cultivo de laboratorio, el número de bacterias $N(t)$ en función del tiempo $t$ (en horas) sigue la ley $N(t) = 20t^2 + 100t + 500$. Calcule la Tasa de Variación…
En un cultivo de laboratorio, el número de bacterias $N(t)$ en función del tiempo $t$ (en horas) sigue la ley $N(t) = 20t^2 + 100t + 500$. Calcule la Tasa de Variación Media en el intervalo $[1, 4]$ e interprete el significado del resultado en el contexto del problema.
Funciones crecientes y decrecientes
La RCP describe un promedio. Para decir que una función es creciente, necesitas un enunciado que se cumpla para cada par de puntos del intervalo.
En palabras: al moverte hacia la derecha, la gráfica siempre sube (creciente) o siempre baja (decreciente). La estrategia habitual de una demostración es tomar cualquier $x1 < x_2$, formar $f(x_2) - f(x_1)$, factorizarlo y decidir su signo.
Hipérbolas. Para $f(x) = \dfrac{5}{x}$ y $0 < x_1 < x_2$:
$$f(x_2) - f(x_1) = \frac{5}{x_2} - \frac{5}{x_1} = \frac{5(x_1 - x_2)}{x_1x_2}.$$El numerador es negativo y el denominador es positivo, así que $f(x2) < f(x_1)$. La función es decreciente en $(0, \infty)$. El mismo argumento funciona en $(-\infty, 0)$, porque ahí también $x_1x_2 > 0$.
Utilizando la definición algebraica de monotonía (evaluando $f(x)$ y $f(y)$ para dos valores arbitrarios $x < y$), demuestre que la función lineal $f(x) = 5x - 3$ es…
Utilizando la definición algebraica de monotonía (evaluando $f(x)$ y $f(y)$ para dos valores arbitrarios $x < y$), demuestre que la función lineal $f(x) = 5x - 3$ es estrictamente creciente en todo su dominio $\mathbb{R}$.
Demuestre algebraicamente que la función $f(x) = 2x^3 + 5$ es strictly creciente para todo $x \in \mathbb{R}$. Para ello, tome dos valores cualesquiera $x_1$ y $x_2$…
Demuestre algebraicamente que la función $f(x) = 2x^3 + 5$ es strictly creciente para todo $x \in \mathbb{R}$. Para ello, tome dos valores cualesquiera $x_1$ y $x_2$ tales que $x_1 < x_2$ y compruebe que $f(x_1) < f(x_2)$.
Determine los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento) de la función racional $f(x) = \frac{-3}{x-2}$. Puede justificar su respuesta analizando la Tasa de…
Determine los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento) de la función racional $f(x) = \frac{-3}{x-2}$. Puede justificar su respuesta analizando la Tasa de Variación Media en intervalos genéricos o apoyándose en las propiedades gráficas de las hipérbolas.
Extremos y el vértice de una parábola
En una cima o en un valle, la función cambia de dirección: deja de crecer y empieza a decrecer, o al revés. Estos son los extremos (singular: extremo).
Un extremo absoluto también es local. Lo contrario es falso.
En forma de vértice $f(x) = a(x - h)^2 + k$, el vértice es simplemente $(h, k)$.
Mueve los deslizadores y observa cómo se desplaza el vértice:
Cómo comprobar un candidato numéricamente. Para verificar si $x_0$ es un mínimo local, compara $f(x_0)$ con los valores justo a su izquierda y a su derecha. Para $f(x) = x^2 - 4x + 7$ y $x_0 = 2$: $f(2) = 3$, $f(1.9) = 3.61 - 7.6 + 7 = 3.01$ y $f(2.1) = 4.41 - 8.4 + 7 = 3.01$. Los dos vecinos están más arriba, lo cual es consistente con un mínimo local en $x = 2$.
Cómo hallar un parámetro. Si un problema te dice dónde está el vértice, iguala $-\dfrac{b}{2a}$ a ese valor de $x$.
Halle analíticamente el vértice de la función cuadrática $f(x) = 3x^2 - 12x + 7$. Indique si dicho punto corresponde a un máximo o a un mínimo absoluto de la función.
Halle analíticamente el vértice de la función cuadrática $f(x) = 3x^2 - 12x + 7$. Indique si dicho punto corresponde a un máximo o a un mínimo absoluto de la función.
Compruebe si el punto $x = 3$ es un mínimo local para la función $f(x) = x^2 - 6x + 10$. Para ello, evalúe la función en el propio punto y en dos valores muy cercanos a…
Compruebe si el punto $x = 3$ es un mínimo local para la función $f(x) = x^2 - 6x + 10$. Para ello, evalúe la función en el propio punto y en dos valores muy cercanos a su izquierda y derecha, por ejemplo $x = 2.9$ y $x = 3.1$.
Halle el valor del parámetro $k$ para que la función cuadrática $f(x) = -x^2 + kx + 5$ alcance su valor máximo exactamente en la abscisa $x = 4$. Una vez encontrado $k$,…
Halle el valor del parámetro $k$ para que la función cuadrática $f(x) = -x^2 + kx + 5$ alcance su valor máximo exactamente en la abscisa $x = 4$. Una vez encontrado $k$, calcule dicho valor máximo.
Optimización con modelos cuadráticos
Cuando una cantidad se modela con una función cuadrática, el mejor valor posible es el vértice. Plantear el modelo es la mitad del trabajo.
Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba. La altura en pies que alcanza en función del tiempo en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 30t + 2$.…
Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba. La altura en pies que alcanza en función del tiempo en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 30t + 2$. Calcule el instante en el que la piedra alcanza su altura máxima y determine cuál es dicha altura.
La temperatura en el interior de un reactor químico durante las primeras horas de un proceso sigue la función $T(t) = -0.2t^2 + 2.4t + 20$, con $t$ en horas y $T$ en…
La temperatura en el interior de un reactor químico durante las primeras horas de un proceso sigue la función $T(t) = -0.2t^2 + 2.4t + 20$, con $t$ en horas y $T$ en grados Fahrenheit. Determine la temperatura máxima alcanzada y el intervalo de tiempo en el que la temperatura del reactor está disminuyendo.
Un agricultor dispone de $120$ pies de valla para cercar un huerto rectangular. Uno de los lados del huerto estará apoyado contra el muro recto de un granero, por lo que…
Un agricultor dispone de $120$ pies de valla para cercar un huerto rectangular. Uno de los lados del huerto estará apoyado contra el muro recto de un granero, por lo que no necesitará valla en ese lado. Encuentre las dimensiones del huerto que hacen que su área sea máxima y calcule dicha área.
Volvamos al inicio: la mejor opción de Marcus es 10 docenas de camisetas, con una ganancia de $\$170$. Ese es el vértice $x = -\dfrac{b}{2a}$ de su parábola de ganancias.
Cómo leer extremos y monotonía en una gráfica
En una gráfica, lee de izquierda a derecha.
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Donde la gráfica sube, $f$ es creciente. Donde baja, $f$ es decreciente.
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Una cima donde la gráfica pasa de subir a bajar es un máximo local. Un valle donde pasa de bajar a subir es un mínimo local.
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Da los intervalos con valores de $x$ y los extremos como puntos $(x, y)$.
Aquí $A$ es un máximo local y $B$ es un mínimo local. La función es creciente en $(-\infty, x_1)$ y en $(x_2, \infty)$, y decreciente en $(x_1, x_2)$. Escribir intervalos abiertos es la convención estándar, ya que en los puntos de giro la función deja un comportamiento y empieza el otro.
Extremos absolutos en una gráfica. Pregúntate dónde está la gráfica más alta o más baja en todo el dominio. Si la gráfica sigue subiendo para siempre o bajando para siempre, no hay máximo ni mínimo absoluto de ese lado. La curva de arriba no tiene ninguno, porque sube hacia la derecha y baja hacia la izquierda sin fin.
Gráficas por partes. Fíjate en los puntos. Un punto cerrado pertenece a la gráfica y un punto abierto no. Un mínimo absoluto puede estar en un punto cerrado al final de una pieza, y un punto abierto nunca puede ser un extremo, porque la función nunca toma ese valor.
Observe la siguiente gráfica de una función polinómica. Identifique las coordenadas de los puntos $A$ y $B$, y clasifíquelos como máximos o mínimos relativos. A…
Observe la siguiente gráfica de una función polinómica. Identifique las coordenadas de los puntos $A$ y $B$, y clasifíquelos como máximos o mínimos relativos. A continuación, escriba los intervalos donde la función es estrictamente creciente y donde es estrictamente decreciente.
La siguiente gráfica representa una función cuadrática. Determine las coordenadas de su vértice $V$. ¿Se trata de un máximo o un mínimo? ¿Es relativo, absoluto, o ambos?
La siguiente gráfica representa una función cuadrática. Determine las coordenadas de su vértice $V$. ¿Se trata de un máximo o un mínimo? ¿Es relativo, absoluto, o ambos?
La siguiente gráfica muestra una función definida a trozos. A partir de ella, determine los intervalos donde la función es creciente y decreciente. Identifique también…
La siguiente gráfica muestra una función definida a trozos. A partir de ella, determine los intervalos donde la función es creciente y decreciente. Identifique también las coordenadas del mínimo absoluto e indique si existe algún máximo. Cada cuadrado de la cuadrícula equivale a $1$ unidad en ambos ejes.
Funciones por partes y funciones racionales
Funciones por partes
Analiza cada pieza en su propio dominio y luego examina el punto donde cambia la regla.
Cuando la unión sí es un extremo, es porque la función crece de un lado y decrece del otro, o porque un salto deja el punto por encima o por debajo de sus vecinos. Compara siempre $f$ en la unión con los valores justo a ambos lados.
Funciones racionales
Con frecuencia las analizarás a partir de una gráfica. No uses intervalos que crucen una asíntota vertical, porque la función no está definida ahí.
Para $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$: es creciente en $(-\infty, -1)$ y en $(1, \infty)$, y decreciente en $(-1, 0)$ y en $(0, 1)$. El máximo local $(-1, -2)$ es más bajo que el mínimo local $(1, 2)$. Esto es posible porque las dos ramas están separadas por la asíntota.
Cómo confirmar con la RCP. Si la RCP es positiva en un intervalo y negativa en el siguiente, la función debe cambiar de dirección en algún punto entre ambos. Para la misma $f$, la RCP en $[0.5, 1]$ es $\dfrac{2 - 2.5}{0.5} = -1$ y la RCP en $[1, 3]$ es $\dfrac{3.33 - 2}{2} \approx 0.67$. El cambio de signo indica un mínimo cerca de $x = 1$. Esto es evidencia, no demostración, ya que los promedios pueden esconder cambios.
Dada la función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} -x^2 + 6x - 5 & \text{si } x \le 4 \\ 2x - 5 & \text{si } x > 4 \end{cases}$ Estudie analíticamente sus…
Dada la función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 6x - 5 & \text{si } x \le 4 \\ 2x - 5 & \text{si } x > 4 \end{cases}$
Estudie analíticamente sus intervalos de monotonía y halle las coordenadas de sus extremos relativos o absolutos. Justifique si el punto de cambio de rama ($x=4$) representa algún tipo de extremo.
La siguiente gráfica representa una función racional con una asíntota vertical y otra oblicua. Observando la gráfica, identifique las coordenadas aproximadas de sus…
La siguiente gráfica representa una función racional con una asíntota vertical y otra oblicua. Observando la gráfica, identifique las coordenadas aproximadas de sus extremos relativos (máximo y mínimo local). A continuación, escriba los intervalos en los que la función es creciente y en los que es decreciente.
La concentración de un medicamento en sangre, medida en mg/L, en función de las horas transcurridas desde su administración, se modela mediante la función…
La concentración de un medicamento en sangre, medida en mg/L, en función de las horas transcurridas desde su administración, se modela mediante la función $C(t) = \frac{12t}{t^2+4}$ para $t \ge 0$. Observe la gráfica adjunta. Estime el instante en el que la concentración es máxima. Luego, calcule la Tasa de Variación Media en los intervalos $[0, 2]$ y $[2, 6]$ para confirmar analíticamente el cambio de monotonía.
Funciones acotadas
Algunas funciones nunca suben más allá de cierta altura, sin importar qué tan lejos llegue $x$. Se dice que están acotadas.
Demuestre que la función $f(x) = \frac{8}{x^2+4}$ tiene un máximo absoluto en $x=0$. Para lograrlo, pruebe algebraicamente que la desigualdad $f(x) \le f(0)$ se cumple…
Demuestre que la función $f(x) = \frac{8}{x^2+4}$ tiene un máximo absoluto en $x=0$. Para lograrlo, pruebe algebraicamente que la desigualdad $f(x) \le f(0)$ se cumple para cualquier número real $x$.
Demuestre que la función cuadrática $f(x) = -3x^2 + 18x - 15$ está acotada superiormente. Calcule su máximo absoluto y determine de forma exacta el intervalo en el que…
Demuestre que la función cuadrática $f(x) = -3x^2 + 18x - 15$ está acotada superiormente. Calcule su máximo absoluto y determine de forma exacta el intervalo en el que la función es estrictamente decreciente.