El producto punto

Dados los vectores $\vec{u} = (3, -2)$ y $\vec{v} = (4, 5)$, calcule su producto escalar y determine si son ortogonales.

Sabiendo que los módulos de dos vectores son $|\vec{a}| = 4$ y $|\vec{b}| = 6$, y que el ángulo que forman es de $60^\circ$, calcule el valor exacto de su producto escalar $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Dados los puntos del plano $A(1, 2)$, $B(4, 3)$ y $C(0, 5)$, calcule el valor del producto escalar $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.

Calcule el ángulo que forman los vectores $\vec{u} = (1, \sqrt{3})$ y $\vec{v} = (-\sqrt{3}, 1)$.

Un panel solar plano está orientado de manera que su vector normal (perpendicular a la superficie) es $\vec{n} = (1, \sqrt{3})$. Los rayos del sol inciden sobre el panel siguiendo la dirección del vector $\vec{s} = (2, -1)$. Calcula el ángulo de incidencia de los rayos solares, definido como el ángulo que forma el vector normal $\vec{n}$ con el vector de los rayos solares invertido $-\vec{s}$.

Calcula el valor (o los valores) del parámetro $k$ para que el ángulo formado por los vectores $\vec{u} = (k, 3)$ y $\vec{v} = (1, -2)$ sea exactamente de $45^\circ$.

Encuentre el valor del parámetro $m$ para que los vectores $\vec{p} = (m, -3)$ y $\vec{q} = (6, 2)$ sean perpendiculares.

Halle las coordenadas de un vector $\vec{w}$ que sea perpendicular al vector $\vec{v} = (-5, 12)$ y que tenga su mismo módulo.

Determina las coordenadas de un vector $\vec{v}$ que sea ortogonal al vector $\vec{u} = (3, -4)$ y cuyo módulo sea exactamente $10$. Ten en cuenta que existen dos soluciones posibles; indícalas ambas.

Utilizando las propiedades del producto escalar, desarrolle y calcule el valor de la expresión $(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$ sabiendo que $|\vec{u}| = 5$ y $|\vec{v}| = 3$.

Calcule el módulo del vector $\vec{w} = 3\vec{u} - 2\vec{v}$ conociendo las componentes de los vectores $\vec{u} = (1, -1)$ y $\vec{v} = (0, 4)$.

Sabiendo que los módulos de dos vectores son $|\vec{a}| = 3$ y $|\vec{b}| = 5$, y que su producto escalar es $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2$, calcula el valor exacto de la expresión $(2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 3\vec{b})$.

Demuestra, utilizando exclusivamente las propiedades algebraicas del producto escalar, que las diagonales de cualquier rombo son perpendiculares entre sí.

Nota: Puedes modelar los lados del rombo mediante dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ con el mismo origen y el mismo módulo ($|\vec{u}| = |\vec{v}|$). Expresa las diagonales en función de $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

Demuestra analíticamente la "Ley del Paralelogramo" utilizando las propiedades del producto escalar. Es decir, demuestra que para cualesquiera dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, se cumple la identidad:

$|\vec{u} + \vec{v}|^2 + |\vec{u} - \vec{v}|^2 = 2|\vec{u}|^2 + 2|\vec{v}|^2$

Explica cada paso algebraico basándote en la definición de módulo al cuadrado como el producto escalar de un vector por sí mismo.

Se sabe que $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son dos vectores unitarios. Si los vectores construidos como $\vec{a} = \vec{u} + 2\vec{v}$ y $\vec{b} = 5\vec{u} - 4\vec{v}$ resultan ser ortogonales entre sí, determina el ángulo exacto que forman los vectores originales $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

En una obra de construcción, una grúa arrastra un bloque de concreto aplicando una fuerza constante representada por el vector $\vec{F} = (450, 600)$ expresada en Newtons. El bloque experimenta un desplazamiento rectilíneo dado por el vector $\vec{d} = (12, 5)$ en pies. Sabiendo que el trabajo mecánico se define como $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$, calcule el trabajo realizado por la grúa y el ángulo que forman la fuerza aplicada y el desplazamiento.

En el desarrollo de un motor físico para un videojuego, un personaje se desplaza siguiendo la dirección y sentido del vector $\vec{d} = (8, 4)$. La gravedad en este entorno virtual está definida por el vector $\vec{g} = (0, -9.8)$. Calcula la proyección ortogonal del vector gravedad sobre la dirección del movimiento del personaje.

En gráficos por computadora, la intensidad de luz difusa sobre una superficie se calcula mediante la ley de Lambert: $I = I_0 \max(0, \vec{n} \cdot \vec{l})$, donde $\vec{n}$ es el vector normal unitario a la superficie y $\vec{l}$ es el vector unitario que apunta hacia la fuente de luz. Si una superficie tiene un vector normal con la misma dirección y sentido que $\vec{v} = (-\sqrt{3}, 1)$ y la fuente de luz se encuentra en la dirección y sentido del vector $\vec{w} = (1, 1)$, calcula la intensidad exacta de luz $I$ como una fracción de $I_0$.

Comprueba, utilizando exclusivamente el producto escalar, si el triángulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(1, 12)$ es rectángulo, acutángulo u obtusángulo. Identifica en qué vértice se encuentra el ángulo recto en caso de serlo.

Considera los puntos fijos $A(0, 3)$ y $B(5, 2)$. Encuentra todos los puntos $C$ situados sobre el eje de abscisas tales que el triángulo $ABC$ sea rectángulo con el ángulo recto situado en el vértice $C$.

En un triángulo cuyos vértices son los puntos $P(-3, -1)$, $Q(5, -1)$ y $R(1, 6)$, utiliza el concepto de producto escalar y ortogonalidad de vectores para determinar las coordenadas exactas de su ortocentro (el punto donde se intersecan las tres alturas del triángulo).

Encuentra el valor de $x$ para que el vector $\vec{u} = (x, 2)$ forme un ángulo de $30^\circ$ con el semieje positivo de abscisas. Utiliza el producto escalar con el vector unitario $\vec{i} = (1, 0)$ para plantear la ecuación.

Encuentra las coordenadas de un vector $\vec{w} = (x, y)$ sabiendo que su producto escalar con el vector $\vec{u} = (2, -1)$ es igual a $4$, y que su producto escalar con el vector $\vec{v} = (1, 3)$ es igual a $-5$.

Dados los vectores dependientes del parámetro $t$, $\vec{a} = (t, 2)$ y $\vec{b} = (t-1, t)$, determina el valor de $t$ que hace que el producto escalar $\vec{a} \cdot \vec{b}$ alcance su valor mínimo. Calcula también el ángulo que forman los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ para ese valor específico de $t$.