Continuidad
Imagina una caminata cuesta arriba en Yellowstone: tu elevación cambia de forma suave, y una fracción de segundo después estás casi a la misma altura. Ahora imagina un estacionamiento del centro que cobra por hora: a 1 hora y 59 minutos pagas un precio, y a las 2 horas exactas el precio salta. La caminata es continua; la tarifa del estacionamiento no. En esta sección convertirás esa intuición de "sin saltos" en una prueba precisa usando límites, y luego la usarás para resolver ecuaciones, hallar constantes que faltan y demostrar que existen soluciones.
Continuidad en un punto y en un dominio
Una función es continua en $x=a$ si su gráfica no se rompe ahí: el valor al que la función se acerca por ambos lados coincide con el valor que realmente tiene en $a$.
No hace falta aplicar la prueba de tres pasos a cada función. La mayoría de las funciones que conoces están formadas por piezas continuas en todos los puntos donde están definidas.
Una función es continua en un intervalo si es continua en cada punto de ese intervalo. En un extremo cerrado solo se usa el límite desde el interior del intervalo.
Determina el dominio de la función $g(x) = \sqrt{x^2 - 25}$ y justifica en qué intervalos la función es continua.
Determina el dominio de la función $g(x) = \sqrt{x^2 - 25}$ y justifica en qué intervalos la función es continua.
Tipos de discontinuidad
Cuando falla una de las tres condiciones en $x=a$, la función es discontinua ahí. Hay tres tipos que aparecen una y otra vez.
Para leer una gráfica: un círculo abierto con un punto relleno en otro lugar (o sin nada) indica un hueco; dos ramas que terminan a distinta altura indican un salto; ramas que se disparan hacia arriba o hacia abajo a lo largo de una recta vertical indican una discontinuidad infinita.
Para las funciones racionales hay una regla rápida. Factoriza el numerador y el denominador. Un factor que se cancela da un hueco (removible). Un factor que permanece en el denominador da una asíntota vertical (infinita).
Observa la siguiente representación gráfica de una función $f(x)$ y determina los puntos donde presenta discontinuidades, clasificándolas en evitables, de salto finito o…
Observa la siguiente representación gráfica de una función $f(x)$ y determina los puntos donde presenta discontinuidades, clasificándolas en evitables, de salto finito o de salto infinito.
Estudia la continuidad de la función $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4}$. Indica en qué puntos es discontinua y clasifica el tipo de discontinuidad que presenta.
Estudia la continuidad de la función $f(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4}$. Indica en qué puntos es discontinua y clasifica el tipo de discontinuidad que presenta.
Analiza la continuidad de la función racional $f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x - 6}$. Encuentra los puntos donde no es continua y especifica de qué tipo de discontinuidad…
Analiza la continuidad de la función racional $f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x - 6}$. Encuentra los puntos donde no es continua y especifica de qué tipo de discontinuidad se trata en cada caso.
Funciones definidas por partes
Si cada pieza de una función definida por partes es continua en su propio intervalo, los únicos lugares nuevos que hay que revisar son los puntos de quiebre, donde cambia la fórmula. En esos puntos se comparan los límites laterales.
El valor absoluto es una función por partes. Recuerda que $|u| = u$ cuando $u\ge 0$ y $|u| = -u$ cuando $u<0$. Entonces $|x+1|$ es la función por partes $x+1$ para $x\ge -1$ y $-(x+1)$ para $x<-1$. En $x=-1$ ambas piezas valen $0$, y también $f(-1)$. Por lo tanto, $|x+1|$ es continua en $x=-1$ (tiene una esquina ahí, pero no un corte).
Funciones escalonadas. La función mayor entero $\lfloor t\rfloor$ da el entero más grande que es $\le t$. Por ejemplo, $\lfloor 1.99\rfloor = 1$ y $\lfloor 2\rfloor = 2$. Salta en cada entero. (Algunos problemas la escriben como $\text{ENT}(t)$, "parte entera".)
Dada la función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} 3x - 2 & \text{si } x \le 2 \\ x^2 & \text{si } x > 2 \end{cases}$ Determina analíticamente si la función es…
Dada la función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} 3x - 2 & \text{si } x \le 2 \\ x^2 & \text{si } x > 2 \end{cases}$
Determina analíticamente si la función es continua en el punto $x = 2$.
Expresa la función $h(x) = |x - 3|$ como una función definida a trozos y demuestra analíticamente que es continua en $x = 3$.
Expresa la función $h(x) = |x - 3|$ como una función definida a trozos y demuestra analíticamente que es continua en $x = 3$.
La tarifa de un estacionamiento público se calcula mediante la función $C(t) = 2 + 1.5 \cdot \text{ENT}(t)$, donde $t$ es el tiempo en horas y $\text{ENT}(t)$ representa…
La tarifa de un estacionamiento público se calcula mediante la función $C(t) = 2 + 1.5 \cdot \text{ENT}(t)$, donde $t$ es el tiempo en horas y $\text{ENT}(t)$ representa la función parte entera de $t$.
Identifica los puntos de discontinuidad de esta función en el intervalo $(0, 4)$ y explica el significado real de estas discontinuidades para un usuario del estacionamiento.
Cómo hallar parámetros que hacen continua una función
Un problema clásico: una función por partes tiene una constante desconocida y debes hallar el valor que elimina el salto.
Con dos incógnitas necesitas dos ecuaciones, una por cada punto de quiebre.
Cuando una pieza contiene $\ln x$ o $e^{x-c}$, recuerda los valores clave $\ln 1=0$, $\ln e=1$, $e^0=1$. A menudo hacen fácil la sustitución.
Encuentra el valor del parámetro $k$ para que la siguiente función sea continua en todo su dominio:…
Encuentra el valor del parámetro $k$ para que la siguiente función sea continua en todo su dominio:
$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x + 3} & \text{si } x \ne -3 \\ k & \text{si } x = -3 \end{cases}$
Calcula el valor de $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en $x = 1$:…
Calcula el valor de $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en $x = 1$:
$f(x) = \begin{cases} ax^2 - 3 & \text{si } x \le 1 \\ e^{x-1} + 2a & \text{si } x > 1 \end{cases}$
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función sea continua en todo $\mathbb{R}$:…
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función sea continua en todo $\mathbb{R}$:
$f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 1 & \text{si } x \le 1 \\ 2a \ln(x) + b & \text{si } 1 < x \le e \\ e^{x-e} + a & \text{si } x > e \end{cases}$
Límites laterales cerca de asíntotas verticales
Para clasificar una discontinuidad a veces necesitas saber qué hace una fórmula cuando $x$ se acerca a un número solo por un lado. El bloque básico es $\dfrac{1}{x-a}$.
Ahora usa eso dentro de otra función. Para $e^u$: si $u\to+\infty$, entonces $e^u\to+\infty$, y si $u\to-\infty$, entonces $e^u\to 0$.
Las funciones por partes pueden incluir una rama como esta. Si una rama se dirige a $\pm\infty$ en un punto de quiebre, el límite lateral no existe como número finito, y la discontinuidad es infinita.
Otro dato útil: $\dfrac{|u|}{u}$ es igual a $1$ cuando $u>0$ y a $-1$ cuando $u<0$ (porque $|u|=u$ o $-u$). Así que $\dfrac{|x-2|}{x-2}$ es $-1$ para $x<2$ y $1$ para $x>2$. Sus límites laterales en $2$ son $-1$ y $1$: un salto de tamaño $2$.
Dada la función exponencial $g(x) = e^{\frac{1}{x-1}}$, estudia su continuidad en el punto $x = 1$ calculando los límites laterales.
Dada la función exponencial $g(x) = e^{\frac{1}{x-1}}$, estudia su continuidad en el punto $x = 1$ calculando los límites laterales.
Comprueba si la siguiente función es continua en $x = 0$: $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & \text{si } x < 0 \\ x^2 + 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$
Comprueba si la siguiente función es continua en $x = 0$:
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & \text{si } x < 0 \\ x^2 + 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$
Halla los valores de $a$ y $b$ que hacen que la siguiente función, que incluye un valor absoluto, sea continua en todo su dominio:…
Halla los valores de $a$ y $b$ que hacen que la siguiente función, que incluye un valor absoluto, sea continua en todo su dominio:
$f(x) = \begin{cases} \frac{|x - 2|}{x - 2} + ax & \text{si } x < 2 \\ b & \text{si } x = 2 \\ x^2 - ax + 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$
Herramientas de álgebra para límites $\frac{0}{0}$
Muchos problemas de continuidad terminan en un límite que da $\frac{0}{0}$ al sustituir. Tres herramientas resuelven casi todos.
-
Factorizar y cancelar (polinomios, expresiones racionales).
-
Multiplicar por el conjugado (raíces cuadradas).
-
Usar $\displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1$ (seno con denominador igual al ángulo).
Las mismas ideas permiten trabajar al revés. Si una función racional tiene una discontinuidad removible en $x=a$ con un límite dado, el numerador debe tener el factor $(x-a)$.
Halla el valor de $k$ para que la función sea continua en $x = 4$:…
Halla el valor de $k$ para que la función sea continua en $x = 4$:
$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} & \text{si } x > 4 \\ kx + \frac{1}{4} & \text{si } x \le 4 \end{cases}$
Calcula los valores de $a$ y $b$ para que la función racional $f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x^2 - 4}$ presente una discontinuidad evitable en $x = 2$ y, además, el límite…
Calcula los valores de $a$ y $b$ para que la función racional $f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x^2 - 4}$ presente una discontinuidad evitable en $x = 2$ y, además, el límite de la función en ese punto sea igual a $3$.
Estudia la continuidad de la función $f(x)$ y determina el valor de $k$ para que sea continua en $x = 0$:…
Estudia la continuidad de la función $f(x)$ y determina el valor de $k$ para que sea continua en $x = 0$:
$f(x) = \begin{cases} \frac{1 - \sqrt{1 - x^2}}{x^2} & \text{si } x < 0 \\ k & \text{si } x = 0 \\ \frac{\sin(x^2)}{2x^2} & \text{si } x > 0 \end{cases}$
Continuidad en modelos del mundo real
Los modelos formados por distintas fórmulas en distintos intervalos de tiempo están en todas partes: calentamiento y enfriamiento, crecimiento y saturación, diseño de pistas. Aquí la continuidad tiene un significado físico: la cantidad no puede cambiar de forma instantánea. Las temperaturas de un horno, las poblaciones y las alturas de una montaña rusa no se teletransportan.
El método es el mismo de antes: haz coincidir las dos piezas en el momento en que se unen. Conserva las unidades y el significado en tu respuesta.
Una expresión como $k\cdot 0.9^{t-10}$ con base entre $0$ y $1$ es un decaimiento exponencial: la cantidad disminuye el mismo porcentaje en pasos de tiempo iguales. Así se enfría un horno después de apagarlo.
El crecimiento de una población de bacterias en un cultivo de laboratorio se modela mediante la función $P(t)$, donde $t$ es el tiempo en horas y $P(t)$ la población en…
El crecimiento de una población de bacterias en un cultivo de laboratorio se modela mediante la función $P(t)$, donde $t$ es el tiempo en horas y $P(t)$ la población en miles de bacterias:
$P(t) = \begin{cases} 50(1 - e^{-0.2t}) & \text{si } 0 \le t < 10 \\ \frac{C}{t} & \text{si } t \ge 10 \end{cases}$
Calcula el valor de la constante $C$ para que el modelo poblacional sea una función continua en $t = 10$.
La temperatura de un horno industrial en grados Fahrenheit, $T(t)$, en función del tiempo en minutos $t$, viene dada por:…
La temperatura de un horno industrial en grados Fahrenheit, $T(t)$, en función del tiempo en minutos $t$, viene dada por:
$T(t) = \begin{cases} 20 + 15t & \text{si } 0 \le t < 10 \\ k \cdot 0.9^{t-10} & \text{si } t \ge 10 \end{cases}$
Determina el valor de $k$ para que no haya un salto brusco de temperatura a los 10 minutos. ¿Qué fenómeno físico representa la función a partir de $t = 10$?
Para el diseño de una montaña rusa, se deben empalmar dos tramos de vía. El perfil de la montaña rusa viene dado por la siguiente función definida a trozos, donde $x$ es…
Para el diseño de una montaña rusa, se deben empalmar dos tramos de vía. El perfil de la montaña rusa viene dado por la siguiente función definida a trozos, donde $x$ es la distancia horizontal en pies:
La ecuación del perfil es:
$f(x) = \begin{cases} \frac{100}{x + 10} + a & \text{si } 0 \le x < 10 \\ bx^2 - 2x + 15 & \text{si } x \ge 10 \end{cases}$
Sabiendo que el diseño exige que la vía sea continua en el punto de empalme $x = 10$, y que el Tramo 1 parte de una altura de $15\text{ m}$ en $x = 0$, calcula los valores de $a$ y $b$.
El teorema del valor intermedio
Si subes caminando desde la base de una colina hasta la cima sin teletransportarte, debes pasar por todas las elevaciones intermedias. Esa es la idea detrás de una de las consecuencias más útiles de la continuidad.
Para localizar raíces, haz una tabla de valores en enteros consecutivos y busca cambios de signo.
Ecuaciones de la forma $f(x)=g(x)$. Pasa todo a un lado y define $h(x)=f(x)-g(x)$. Una solución de $f=g$ es un cero de $h$. Así se demuestra que una empresa alcanza el punto de equilibrio (ingresos iguales a costos) en algún momento.
Demuestra, utilizando el Teorema de Bolzano, que la ecuación $x^3 + 2x - 4 = 0$ tiene al menos una solución real en el intervalo $(1, 2)$. Justifica todas las…
Demuestra, utilizando el Teorema de Bolzano, que la ecuación $x^3 + 2x - 4 = 0$ tiene al menos una solución real en el intervalo $(1, 2)$. Justifica todas las condiciones necesarias para aplicar el teorema.
El siguiente gráfico ilustra el principio del Teorema de Bolzano para una función polinómica continua $f(x) = x^3 - 4x - 2$. Observando la gráfica y evaluando la…
El siguiente gráfico ilustra el principio del Teorema de Bolzano para una función polinómica continua $f(x) = x^3 - 4x - 2$. Observando la gráfica y evaluando la función, encuentra un intervalo de longitud 1 (es decir, $[n, n+1]$ con $n \in \mathbb{Z}$) donde se pueda garantizar la existencia de una raíz real, justificando tu respuesta.
Una empresa tecnológica estima que sus ingresos $I(x)$ y sus costos $C(x)$, ambos en millones de dólares y en función de los años $x$ de operación, vienen dados por:…
Una empresa tecnológica estima que sus ingresos $I(x)$ y sus costos $C(x)$, ambos en millones de dólares y en función de los años $x$ de operación, vienen dados por:
$I(x) = 10 \ln(x + 1)$
$C(x) = e^{x - 2}$
Utilizando el Teorema de Bolzano, demuestra que existe un momento exacto entre el segundo y el quinto año de operación ($x \in [2, 5]$) en el que la empresa alcanza su punto de equilibrio (los ingresos igualan a los costos).
Funciones auxiliares y extremos delicados
Muchas demostraciones piden probar que dos cantidades se igualan en algún punto, o que una función cruza una curva dada. La estrategia: construir una función auxiliar cuyo cero sea lo que buscas y luego aplicar el TVI.
La misma receta funciona cuando los datos son mediciones reales. Si la batería de un celular baja de forma continua de $100\%$ a $20\%$ durante un viaje, y te preguntas si alguna vez es igual a otra cantidad que cambia, resta las dos y revisa los signos al inicio y al final del viaje.
A veces las hipótesis dan "$\le$" o "$\ge$" en lugar de desigualdades estrictas. Entonces un extremo podría ser ya un cero, y debes tratar ese caso por separado.
Sea $f$ una función continua en el intervalo cerrado $[0, 1]$ tal que $0 \le f(x) \le 1$ para todo $x \in [0, 1]$. Demuestra, apoyándote en el Teorema de Bolzano, que…
Sea $f$ una función continua en el intervalo cerrado $[0, 1]$ tal que $0 \le f(x) \le 1$ para todo $x \in [0, 1]$. Demuestra, apoyándote en el Teorema de Bolzano, que existe al menos un punto $c \in [0, 1]$ en el que la gráfica de la función interseca a la parábola $y = x^2$, es decir, demuestra que $f(c) = c^2$. (Pista: Define una función auxiliar $g(x) = f(x) - x^2$).
El nivel de carga de la batería de un vehículo eléctrico, $B(t)$ en porcentaje, desciende de forma continua durante un viaje. En el instante inicial $t = 0$ horas, la…
El nivel de carga de la batería de un vehículo eléctrico, $B(t)$ en porcentaje, desciende de forma continua durante un viaje. En el instante inicial $t = 0$ horas, la batería está al $100\%$. Al llegar al destino en $t = 5$ horas, la batería marca un $20\%$. Un ingeniero afirma que, en algún instante exacto del viaje, el porcentaje de batería coincidió numéricamente con la expresión $50 + 5t$.
Demuestra matemáticamente que el ingeniero tiene razón utilizando teoremas de continuidad.
Volvamos al inicio: la colina es continua (sin saltos de elevación), mientras que la tarifa del estacionamiento $C(t)=2+1.5\lfloor t\rfloor$ tiene una discontinuidad de salto en cada hora completa. Ahora puedes probar con límites esa diferencia en cualquier función, y sabes que, para funciones continuas, el TVI garantiza que no se puede saltar un valor.