Maya vive en $(1, 7)$ en el mapa de una ciudad donde cada unidad es una cuadra. Su amigo Jayden vive en $(9, 3)$. Quieren encontrarse en el lugar que queda exactamente a la mitad del camino entre sus casas. ¿Dónde es? Lo vas a responder en un momento, y verás que la misma idea aparece escondida en problemas sobre centros, diagonales, triángulos y reflexiones.
La fórmula del punto medio
En una recta numérica, el punto que queda a la mitad entre $3$ y $11$ es su promedio, $\dfrac{3+11}{2} = 7$. En el plano haces lo mismo dos veces: una con las coordenadas $x$ y otra con las coordenadas $y$.
¿Por qué funciona? Quedar a la mitad en la dirección $x$ significa $x_1$ más la mitad del cambio horizontal, y $x_1 + \dfrac{x_2 - x_1}{2} = \dfrac{x_1 + x_2}{2}$. Lo mismo vale para $y$.
Volvamos con Maya y Jayden: ya puedes calcular su punto de encuentro. Lo haremos al final de la página.
Cómo hallar un extremo desconocido
A veces conoces el punto medio $M$ y un extremo $A$, y necesitas el otro extremo $B$. Despeja la incógnita en la fórmula del punto medio.
La visión con vectores
Como $M$ está a la mitad, el paso de $A$ a $M$ es igual al paso de $M$ a $B$. En forma vectorial,
Comprueba analíticamente que, si $M$ es el punto medio del segmento de extremos $A(0, 4)$ y $B(6, -2)$, se cumple la igualdad vectorial $\vec{AM} = \vec{MB}$.
Comprueba analíticamente que, si $M$ es el punto medio del segmento de extremos $A(0, 4)$ y $B(6, -2)$, se cumple la igualdad vectorial $\vec{AM} = \vec{MB}$.
Siempre que un problema diga "centro", busca un punto medio.
Punto medio del segmento que cortan los ejes
Las intersecciones de una recta son los puntos donde cruza los ejes. Haz $y = 0$ para la intersección con el eje $x$ y $x = 0$ para la intersección con el eje $y$. Después toma el punto medio de esos dos puntos.
Si un problema pide el punto medio de dos puntos medios, aplica la fórmula dos veces: una para cada segmento y otra para los dos resultados.
Practica★☆☆Sin empezar
Los puntos $P(-3, -1)$ y $Q(5, 7)$ son los extremos del diámetro de una circunferencia. Halla las coordenadas de su centro.
Los puntos $P(-3, -1)$ y $Q(5, 7)$ son los extremos del diámetro de una circunferencia. Halla las coordenadas de su centro.
La recta $r: x - 2y + 4 = 0$ corta a los ejes de coordenadas en los puntos $P$ y $Q$. La recta $s: 2x + y - 6 = 0$ corta a los ejes en $R$ y $S$. Calcula las coordenadas…
La recta $r: x - 2y + 4 = 0$ corta a los ejes de coordenadas en los puntos $P$ y $Q$. La recta $s: 2x + y - 6 = 0$ corta a los ejes en $R$ y $S$. Calcula las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos medios de $PQ$ y $RS$.
Dos herramientas más aparecen en casi todos los problemas de punto medio.
Como $M$ está a la mitad, $AM = MB = \dfrac{1}{2}AB$.
¿Un punto está sobre una recta?
Para comprobar si un punto está sobre una recta, sustituye sus coordenadas. Si la ecuación se cumple, el punto está en la recta.
Practica★☆☆Sin empezar
En un mapa topográfico, dos antenas de telecomunicaciones están situadas en las coordenadas $A(10, 20)$ y $B(40, -10)$. Se desea instalar un repetidor exactamente a la…
En un mapa topográfico, dos antenas de telecomunicaciones están situadas en las coordenadas $A(10, 20)$ y $B(40, -10)$. Se desea instalar un repetidor exactamente a la misma distancia de ambas, en la línea recta que las une. ¿Cuáles serán las coordenadas del repetidor?
Un dron de reparto vuela en línea recta desde el almacén $A(-50, 120)$ hasta la base $B(150, -40)$. Exactamente en el punto medio de su trayecto, suelta un paquete con…
Un dron de reparto vuela en línea recta desde el almacén $A(-50, 120)$ hasta la base $B(150, -40)$. Exactamente en el punto medio de su trayecto, suelta un paquete con paracaídas. Determina las coordenadas del punto de lanzamiento y la distancia en línea recta desde el almacén hasta dicho punto.
Un haz láser parte del emisor $S(2, 8)$ y debe impactar en el receptor $T(10, 2)$ tras rebotar en un espejo plano situado sobre la recta $y = 5$. Comprueba si el punto…
Un haz láser parte del emisor $S(2, 8)$ y debe impactar en el receptor $T(10, 2)$ tras rebotar en un espejo plano situado sobre la recta $y = 5$. Comprueba si el punto medio del segmento $ST$ coincide con el punto de impacto en el espejo.
Un rombo es un paralelogramo, así que sus diagonales se bisecan. Además son perpendiculares, lo que forma cuatro triángulos rectángulos. Si las diagonales miden $d_1$ y $d_2$, cada lado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos $\dfrac{d_1}{2}$ y $\dfrac{d_2}{2}$:
Para hallar el lado necesitas la longitud (o la mitad de la longitud) de ambas diagonales. Cuando la segunda diagonal se describe con una recta, la recta te dice hacia dónde va, y un vértice sobre ella te dice cuánto mide.
¿Y si la segunda diagonal se da solo mediante su recta, sin ningún vértice ni longitud sobre ella? Entonces todavía puedes comprobar el centro y la perpendicularidad, y puedes escribir el lado de forma exacta, pero como una fórmula con una incógnita: la mitad $h$ de la segunda diagonal. Cualquier rombo con la primera diagonal dada tiene lado $\sqrt{(\text{mitad de } AC)^2 + h^2}$, y $h$ puede ser cualquier número positivo, así que el lado puede ser cualquier valor mayor que la mitad de $AC$.
Usa los mismos pasos siempre que un rombo venga dado por los extremos de una diagonal y la recta de la otra. Para el problema de práctica con $A(-1, 3)$, $C(3, 1)$ y la recta $y = 2x$: el centro es $(1, 2)$, que está en $y = 2x$; las pendientes $-\dfrac{1}{2}$ y $2$ son recíprocas negativas; y la mitad de $AC$ es $\sqrt{5}$, así que el lado es $\sqrt{5 + h^2}$, donde $h$ es la mitad de la otra diagonal. Si no puedes determinar $h$ con los datos del problema, da la respuesta en esta forma e indica qué falta, en lugar de adivinar un número.
Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero
Para demostrarlo con números, calcula los cuatro puntos medios y muestra que dos lados opuestos son el mismo vector. Para hallar un área, usa dos vectores de lados adyacentes $\mathbf{u} = \langle a, b\rangle$ y $\mathbf{v} = \langle c, d\rangle$:
$$\text{Área} = |ad - bc|$$
Compruébalo en un rectángulo: $\langle 3, 0\rangle$ y $\langle 0, 2\rangle$ dan $|3 \cdot 2 - 0| = 6$.
Practica★★☆Sin empezar
Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(6, -1)$. Utilizando la propiedad de que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su…
Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(6, -1)$. Utilizando la propiedad de que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, halla las coordenadas del cuarto vértice $D$.
Demuestra analíticamente que los puntos medios de los lados del cuadrilátero de vértices $A(0,0)$, $B(6,2)$, $C(4,8)$ y $D(-2,4)$ forman un paralelogramo (paralelogramo…
Demuestra analíticamente que los puntos medios de los lados del cuadrilátero de vértices $A(0,0)$, $B(6,2)$, $C(4,8)$ y $D(-2,4)$ forman un paralelogramo (paralelogramo de Varignon) y calcula su área.
Una de las diagonales de un rombo está contenida en la recta $y = 2x$. Los extremos de la otra diagonal son los puntos $A(-1, 3)$ y $C(3, 1)$. Comprueba que el centro…
Una de las diagonales de un rombo está contenida en la recta $y = 2x$. Los extremos de la otra diagonal son los puntos $A(-1, 3)$ y $C(3, 1)$. Comprueba que el centro del rombo pertenece a la recta dada y calcula la longitud del lado del rombo.
Reconstruir un triángulo a partir de los puntos medios de sus lados
Cada punto medio da una ecuación por coordenada. Con tres puntos medios obtienes un sistema que puedes resolver por eliminación.
La ecuación de una mediana
Una mediana es simplemente una recta que pasa por un vértice y el punto medio opuesto. Halla el punto medio y usa la pendiente y la forma punto-pendiente $y - y_1 = m(x - x_1)$.
Si ambos puntos tienen la misma coordenada $x$, la mediana es una recta vertical $x = c$, y la fórmula de la pendiente dividiría entre cero. Simplemente escribe $x = c$.
Practica★★☆Sin empezar
Los puntos medios de los lados de un triángulo son $M_1(1, 2)$, $M_2(3, 4)$ y $M_3(-1, 5)$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula las coordenadas de los tres…
Los puntos medios de los lados de un triángulo son $M_1(1, 2)$, $M_2(3, 4)$ y $M_3(-1, 5)$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula las coordenadas de los tres vértices del triángulo $A, B$ y $C$.
El baricentro de un triángulo es el punto $G(2, 1)$. Si dos de sus vértices son $A(-1, 3)$ y $B(4, -2)$, halla las coordenadas del tercer vértice $C$ basándote en la…
El baricentro de un triángulo es el punto $G(2, 1)$. Si dos de sus vértices son $A(-1, 3)$ y $B(4, -2)$, halla las coordenadas del tercer vértice $C$ basándote en la propiedad del baricentro respecto a los puntos medios de los lados.
Reflexiones respecto a un punto y respecto a una recta
La reflexión $A'$ ("$A$ prima") de $A$ respecto a un punto $P$ es el punto tal que $P$ es el punto medio de $\overline{AA'}$. Algunos problemas llaman a $A'$ el punto simétrico de $A$. La ecuación clave es otra vez $A' = 2P - A$.
Reflejar respecto al origen es el caso especial $P = (0, 0)$: $(x, y) \to (-x, -y)$. Si un problema pide una segunda reflexión, usa la respuesta de la primera como el nuevo $A$.
Reflejar respecto a una recta
Practica★★☆Sin empezar
Encuentra el punto simétrico de $P(3, -2)$ respecto del punto $C(1, 4)$. A continuación, halla el simétrico del punto resultante respecto del origen de coordenadas.
Encuentra el punto simétrico de $P(3, -2)$ respecto del punto $C(1, 4)$. A continuación, halla el simétrico del punto resultante respecto del origen de coordenadas.
Cuando una coordenada es una letra, la fórmula del punto medio da una ecuación por cada coordenada. Resuélvelas una a la vez.
Un punto medio que debe estar sobre una recta
Halla el punto medio (contendrá el parámetro) y luego sustitúyelo en la ecuación de la recta.
Minimizar una distancia
Si el punto medio depende de un parámetro $t$, la distancia del origen a él es una función de $t$. Su cuadrado $d^2$ es una cuadrática en $t$. El menor $d$ ocurre en el mismo $t$ que el menor $d^2$, y una cuadrática $at^2 + bt + c$ con $a > 0$ tiene su mínimo en el vértice, $t = -\dfrac{b}{2a}$.
Practica★☆☆Sin empezar
Sabiendo que el punto medio del segmento de extremos $A(x, 4)$ y $B(5, y)$ es $M(2, -1)$, calcula el valor de las coordenadas desconocidas $x$ e $y$.
Sabiendo que el punto medio del segmento de extremos $A(x, 4)$ y $B(5, y)$ es $M(2, -1)$, calcula el valor de las coordenadas desconocidas $x$ e $y$.
Determina el valor del parámetro $k$ para que el punto medio del segmento de extremos $A(k, 2)$ y $B(4, k-1)$ pertenezca a la bisectriz del primer cuadrante ($y = x$).
Determina el valor del parámetro $k$ para que el punto medio del segmento de extremos $A(k, 2)$ y $B(4, k-1)$ pertenezca a la bisectriz del primer cuadrante ($y = x$).
Dados los puntos $A(t, 2t)$ y $B(1-t, 3)$, que dependen del parámetro $t$, obtén la expresión de la distancia desde el origen de coordenadas al punto medio de $AB$.…
Dados los puntos $A(t, 2t)$ y $B(1-t, 3)$, que dependen del parámetro $t$, obtén la expresión de la distancia desde el origen de coordenadas al punto medio de $AB$. ¿Para qué valor de $t$ dicha distancia es mínima?
Si un segmento tiene punto medio $M$ y sus extremos están en las rectas $r$ y $s$, llama al extremo en $r$ un punto con una variable, por ejemplo $P(a, \dots)$. El otro extremo es $Q = 2M - P$. Luego exige que $Q$ esté sobre $s$.
Las respuestas pueden ser fracciones. No hay problema; déjalas exactas.
Lugar geométrico de puntos medios
Un lugar geométrico (locus) es el conjunto de todos los puntos que cumplen una condición. Para hallar el lugar geométrico de los puntos medios de segmentos desde un punto fijo $F$ hasta puntos $P$ de una recta:
Sea $M(x, y)$ un punto medio y $P(p, q)$ un punto de la recta.
Usa la fórmula del punto medio para escribir $p$ y $q$ en términos de $x$ y $y$.
Sustituye en la ecuación de la recta.
Practica★★★Sin empezar
Un segmento queda dividido en dos partes iguales por el punto $M(2, 1)$. Sabiendo que sus extremos se encuentran, respectivamente, sobre las rectas $r: x - y - 2 = 0$ y…
Un segmento queda dividido en dos partes iguales por el punto $M(2, 1)$. Sabiendo que sus extremos se encuentran, respectivamente, sobre las rectas $r: x - y - 2 = 0$ y $s: 2x + y - 5 = 0$, halla las coordenadas de dichos extremos.
Dos brazos robóticos se desplazan a lo largo de los rieles rectilíneos definidos por $y = 2x + 1$ e $y = -x + 4$. Ambos sostienen una pieza exactamente en el punto medio…
Dos brazos robóticos se desplazan a lo largo de los rieles rectilíneos definidos por $y = 2x + 1$ e $y = -x + 4$. Ambos sostienen una pieza exactamente en el punto medio del segmento que une sus pinzas. Si la pieza se encuentra en la posición $M(3, 3)$, calcula las coordenadas exactas de cada pinza.
Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de todos los segmentos que unen el origen de coordenadas con los puntos de la recta $3x + 4y - 12 = 0$.
Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de todos los segmentos que unen el origen de coordenadas con los puntos de la recta $3x + 4y - 12 = 0$.
Volvamos al inicio: Maya en $(1, 7)$ y Jayden en $(9, 3)$ se encuentran en $\left(\dfrac{1 + 9}{2}, \dfrac{7 + 3}{2}\right) = (5, 5)$, cinco cuadras al este y cinco cuadras al norte del origen del mapa.
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado