Sucesiones decrecientes
Chloe se sirve una taza de chocolate caliente y la deja sobre su escritorio. Cada minuto está un poco más frío que el minuto anterior. Un carro nuevo pierde valor cada año. Una pelota de básquetbol rebota más bajo después de cada rebote. En cada caso, cada término es menor que el anterior. Pero ¿cómo puedes estar seguro de que un patrón sigue bajando siempre, y no solo en los primeros términos? En esta sección aprenderás a demostrarlo.
Qué significa "decreciente"
Una sucesión que siempre crece o siempre decrece se llama monótona. Así se ve una sucesión decreciente cuando graficas sus términos: cada punto queda más abajo que el anterior.
La forma más rápida de tener una idea de una sucesión es escribir sus primeros términos. Para $a_n = 5 - 2n$ obtienes $3, 1, -1, -3, \ldots$, que parece decreciente. Para $b_n = n^2 - 4$ obtienes $-3, 0, 5, 12, \ldots$, que es creciente. Para $d_n = (-1)^n n$ obtienes $-1, 2, -3, 4, \ldots$, que sube y baja, así que no es ni creciente ni decreciente.
Escribir términos te da evidencia, nunca una demostración. Un patrón en los primeros cuatro términos puede romperse en el quinto.
Dadas las siguientes sucesiones definidas por su término general, identifica cuáles son estrictamente decrecientes calculando empíricamente sus cuatro primeros términos:…
Dadas las siguientes sucesiones definidas por su término general, identifica cuáles son estrictamente decrecientes calculando empíricamente sus cuatro primeros términos: $a_n = 5 - 2n$, $b_n = n^2 - 4$, $c_n = \frac{1}{2^n}$, $d_n = (-1)^n \cdot n$.
Indica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifica tu respuesta con un contraejemplo numérico: "Toda sucesión cuyos términos son todos negativos es…
Indica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifica tu respuesta con un contraejemplo numérico: "Toda sucesión cuyos términos son todos negativos es obligatoriamente una sucesión decreciente".
El criterio de la diferencia
Para demostrar que $a_{n+1} < a_n$ para todo $n$, observa el signo de la diferencia.
La receta tiene tres pasos:
-
Escribe $a_{n+1}$ reemplazando cada $n$ por $(n+1)$.
-
Resta $a_n$ y simplifica.
-
Decide el signo del resultado para todo $n \ge 1$.
Este patrón siempre se cumple en las sucesiones $a_n = a_1 + (n-1)d$ con diferencia constante $d$: la diferencia $a_{n+1} - a_n$ es igual a $d$. Por lo tanto, una sucesión aritmética es estrictamente decreciente exactamente cuando $d < 0$.
Cuando una sucesión se da con una recurrencia $a_{n+1} = a_n + (\text{algo})$, puedes leer la diferencia directamente. Para $a_1 = 8$ y $a_{n+1} = a_n - \dfrac{1}{2^n}$, tenemos $a_{n+1} - an = -\dfrac{1}{2^n} < 0$ para todo $n$. No hace falta una fórmula para $a_n$.
Demuestra, analizando el signo de la diferencia $a_{n+1} - a_n$, que la sucesión polinómica de término general $a_n = -4n + 7$ es estrictamente decreciente para todo…
Demuestra, analizando el signo de la diferencia $a_{n+1} - a_n$, que la sucesión polinómica de término general $a_n = -4n + 7$ es estrictamente decreciente para todo número natural $n$.
Una sucesión viene dada en forma recurrente por el primer término $a_1 = 15$ y la ley de formación $a_{n+1} = a_n - \frac{1}{n}$. Justifica matemáticamente por qué esta…
Una sucesión viene dada en forma recurrente por el primer término $a_1 = 15$ y la ley de formación $a_{n+1} = a_n - \frac{1}{n}$. Justifica matemáticamente por qué esta sucesión es estrictamente decreciente para todo $n \ge 1$.
Un alpinista desciende por una montaña a un ritmo constante. Su altitud en pies al final de cada hora $n$ de trayecto viene modelada por la sucesión $h_n = 3500 - 150n$.…
Un alpinista desciende por una montaña a un ritmo constante. Su altitud en pies al final de cada hora $n$ de trayecto viene modelada por la sucesión $h_n = 3500 - 150n$. Demuestra analíticamente que la sucesión de altitudes $(h_n)$ es estrictamente decreciente.
Sucesiones racionales
Cuando $a_n$ es una fracción, la diferencia $a_{n+1} - a_n$ es una resta de fracciones. Usa un denominador común y recuerda que los denominadores son positivos, así que el signo del resultado es el signo del numerador.
Observa que los términos con $n^2$ y con $n$ se cancelaron. Eso siempre pasa con este tipo de fracción, y da un atajo.
Compruébalo con el ejemplo anterior: $p = 1$, $q = 6$, $r = 2$, $s = 1$ da $ps - qr = 1 - 12 = -11$. ✓. Cuando un problema tiene un parámetro como $p$, esto convierte la pregunta en una desigualdad sencilla sobre $p$. En un examen, muestra de todos modos el álgebra que lleva a ese resultado.
Comprueba si la sucesión racional $b_n = \frac{3}{n+2}$ es decreciente. Para ello, plantea la expresión $b_{n+1} - b_n$ y determina si el resultado es menor o igual a…
Comprueba si la sucesión racional $b_n = \frac{3}{n+2}$ es decreciente. Para ello, plantea la expresión $b_{n+1} - b_n$ y determina si el resultado es menor o igual a cero para cualquier $n \ge 1$.
Demuestra que la sucesión de término general $a_n = \frac{2n+5}{3n+1}$ es estrictamente decreciente. Para ello, plantea la desigualdad $a_{n+1} < a_n$, opera…
Demuestra que la sucesión de término general $a_n = \frac{2n+5}{3n+1}$ es estrictamente decreciente. Para ello, plantea la desigualdad $a_{n+1} < a_n$, opera algebraicamente y llega a una afirmación que sea cierta para todo $n \ge 1$.
Encuentra la condición matemática rigurosa que debe cumplir el parámetro real $p$ para que la sucesión racional $a_n = \frac{pn+4}{2n+3}$ sea estrictamente decreciente…
Encuentra la condición matemática rigurosa que debe cumplir el parámetro real $p$ para que la sucesión racional $a_n = \frac{pn+4}{2n+3}$ sea estrictamente decreciente en todo su dominio natural $n \ge 1$.
Decreciente a partir de cierto término
Muchas sucesiones primero suben y luego bajan para siempre. Debes encontrar dónde cambia el comportamiento. Resuelve la desigualdad (también llamada inecuación) $a_{n+1} - an < 0$ para $n$ y quédate con los números naturales que la cumplen.
La misma idea sirve con un parámetro. La condición debe cumplirse para todo $n \ge 1$, así que hay que encontrar el peor caso.
Calcula los cinco primeros términos de la sucesión cuadrática $c_n = -n^2 + 6n$. ¿Es una sucesión decreciente desde el primer término? Determina a partir de qué valor de…
Calcula los cinco primeros términos de la sucesión cuadrática $c_n = -n^2 + 6n$. ¿Es una sucesión decreciente desde el primer término? Determina a partir de qué valor de $n$ la sucesión comienza a ser estrictamente decreciente.
Dada la sucesión polinómica $a_n = -kn^2 + 8n - 3$, determina el conjunto de valores que debe tomar el parámetro real $k$ para garantizar que la sucesión sea…
Dada la sucesión polinómica $a_n = -kn^2 + 8n - 3$, determina el conjunto de valores que debe tomar el parámetro real $k$ para garantizar que la sucesión sea estrictamente decreciente para todo $n \ge 1$.
El criterio del cociente para términos positivos
Para sucesiones con potencias, un cociente suele ser más sencillo que una diferencia.
Algunos problemas lo llaman criterio del cociente o ratio test. Es el mismo criterio.
La misma idea funciona para una pelota que rebota hasta $70\%$ de su altura anterior: $h_n = 6(0.7)^n$ pies después de soltarla desde $6$ pies, con razón $0.7 < 1$. En general, una sucesión geométrica positiva decrece exactamente cuando la razón común está entre $0$ y $1$.
Utiliza el criterio del cociente $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ para demostrar que la sucesión geométrica de términos positivos $a_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n$ es…
Utiliza el criterio del cociente $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ para demostrar que la sucesión geométrica de términos positivos $a_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n$ es estrictamente decreciente.
Una máquina industrial pierde cada año un $12\%$ de su valor respecto al año inmediatamente anterior. Si su valor inicial de compra es de $\$45000…
Una máquina industrial pierde cada año un $12\%$ de su valor respecto al año inmediatamente anterior. Si su valor inicial de compra es de $\$45000$, encuentra la expresión del término general $Vn$ que indica su valor tras $n$ años y demuestra matemáticamente que la sucesión $(Vn)$ es decreciente.
Se deja caer una pelota de goma desde una altura inicial de $5$ pies. En cada rebote sucesivo, la pelota alcanza una altura igual a los $\frac{3}{4}$ de la altura máxima…
Se deja caer una pelota de goma desde una altura inicial de $5$ pies. En cada rebote sucesivo, la pelota alcanza una altura igual a los $\frac{3}{4}$ de la altura máxima del rebote anterior. Sea $h_n$ la altura máxima alcanzada tras el $n$-ésimo impacto con el suelo. Escribe el término general de la sucesión y demuestra que es estrictamente decreciente.
Cocientes con potencias y factoriales
Cuando $a_n$ tiene un factorial, usa $(n+1)! = (n+1)\cdot n!$ para que casi toda la expresión se cancele en el cociente.
Las potencias de $n$ funcionan igual, pero ahora el cociente tiene $(n+1)^2$ o algo similar, así que debes resolver una desigualdad.
Considera la sucesión que combina una potencia y un factorial $b_n = \frac{5^n}{n!}$. Calcula sus primeros seis términos y observa su comportamiento. Utilizando el…
Considera la sucesión que combina una potencia y un factorial $b_n = \frac{5^n}{n!}$. Calcula sus primeros seis términos y observa su comportamiento. Utilizando el criterio del cociente, determina analíticamente a partir de qué valor exacto de $n$ la sucesión se vuelve estrictamente decreciente.
Sea la sucesión definida por $a_n = \frac{n^n}{n! \cdot e^n}$. Sabiendo que se cumple la desigualdad $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e$ para cualquier número natural…
Sea la sucesión definida por $a_n = \frac{n^n}{n! \cdot e^n}$. Sabiendo que se cumple la desigualdad $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < e$ para cualquier número natural $n$, demuestra mediante el criterio del cociente que $(a_n)$ es una sucesión estrictamente decreciente.
Radicales, exponenciales desplazadas y signos alternados
A veces el truco es reescribir $a_n$ en una forma donde la monotonía se vea fácilmente.
Radicales: multiplica por el conjugado
Una constante más una exponencial que decae
Para $T_n = A + B\,r^n$ con $0 < r < 1$, la constante $A$ se cancela en la diferencia:
$T_{n+1} - T_n = B r^{n+1} - B r^n = B r^n (r - 1)$.
Signos alternados y valor absoluto
Una sucesión como $d_n = \dfrac{(-1)^n}{n^2}$ tiene términos $-1, \tfrac14, -\tfrac19, \tfrac1{16}, \ldots$. Baja, sube, baja, sube, así que no es monótona. Pero sus valores absolutos $e_n = |d_n| = \dfrac{1}{n^2}$ son positivos, así que el criterio del cociente funciona: $\dfrac{e_{n+1}}{e_n} = \dfrac{n^2}{(n+1)^2} < 1$. Por lo tanto $(e_n)$ es estrictamente decreciente.
Demuestra que la sucesión construida mediante radicales $c_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n}$ es strictly decreciente. Multiplica y divide por la expresión conjugada antes de…
Demuestra que la sucesión construida mediante radicales $c_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n}$ es strictly decreciente. Multiplica y divide por la expresión conjugada antes de analizar si $c_{n+1} < c_n$.
La temperatura en grados Fahrenheit de una pieza de metal que se enfría en una sala a temperatura ambiente viene dada por la sucesión $T_n = 20 + 80 \cdot (0.85)^n$,…
La temperatura en grados Fahrenheit de una pieza de metal que se enfría en una sala a temperatura ambiente viene dada por la sucesión $T_n = 20 + 80 \cdot (0.85)^n$, donde $n$ representa el tiempo transcurrido en minutos. Demuestra que $(T_n)$ es una sucesión decreciente y calcula algebraicamente la expresión del descenso de temperatura exacto que ocurre entre el minuto $n$ y el minuto $n+1$.
Estudia la monotonía de la sucesión $d_n = \frac{(-1)^n}{n}$. ¿Es una sucesión decreciente? Define una nueva sucesión $e_n = |d_n|$ tomando el valor absoluto de cada…
Estudia la monotonía de la sucesión $d_n = \frac{(-1)^n}{n}$. ¿Es una sucesión decreciente? Define una nueva sucesión $e_n = |d_n|$ tomando el valor absoluto de cada término y demuestra paso a paso que $(e_n)$ sí es una sucesión estrictamente decreciente.
Acotadas inferiormente, ¿y qué tan grandes son los pasos?
Una sucesión estrictamente decreciente siempre está acotada superiormente por su primer término $a_1$. Que esté acotada inferiormente depende de la sucesión. Para mostrar una cota inferior, reescribe $a_n$ de modo que una parte positiva se sume a una constante.
Para exponentes más grandes, resuelve $2^{n+1} > 3000$ con logaritmos: $(n+1)\ln 2 > \ln 3000$.
Considera la sucesión definida por $a_n = \frac{3^n + 2}{3^n}$. Demuestra que está acotada inferiormente por $1$ y que es estrictamente decreciente. Finalmente,…
Considera la sucesión definida por $a_n = \frac{3^n + 2}{3^n}$. Demuestra que está acotada inferiormente por $1$ y que es estrictamente decreciente. Finalmente, determina a partir de qué valor de $n$ la diferencia entre dos términos consecutivos es menor en valor absoluto que $10^{-4}$.
Construir sucesiones nuevas: sumas y productos
Productos de sucesiones decrecientes
Si $(a_n)$ y $(b_n)$ son estrictamente decrecientes, entonces $(a_n + b_n)$ también lo es: suma las desigualdades $a_{n+1} < a_n$ y $b_{n+1} < b_n$.
Los productos son más delicados. Multiplicar desigualdades requiere números positivos.
Sumas parciales
La suma parcial $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ cumple $S_{n+1} - S_n = a_{n+1}$. Así que si todos los términos $a_n$ son negativos, entonces $(S_n)$ es estrictamente decreciente: sigues sumando números negativos.
Otra herramienta útil es la suma de una serie geométrica: $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_1 r^{\,i-1} = a_1\,\frac{1 - r^n}{1 - r}$. Por ejemplo, $S_n = \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{2^i} = 1 - \dfrac{1}{2^n}$. La distancia al límite $1$ es $E_n = 1 - S_n = \dfrac{1}{2^n}$, que es estrictamente decreciente porque su razón es $\tfrac12 < 1$.
Sean $(u_n)$ y $(v_n)$ dos sucesiones de números reales estrictamente positivos. Si se sabe que $(u_n)$ es estrictamente decreciente y $(v_n)$ también es estrictamente…
Sean $(u_n)$ y $(v_n)$ dos sucesiones de números reales estrictamente positivos. Si se sabe que $(u_n)$ es estrictamente decreciente y $(v_n)$ también es estrictamente decreciente, demuestra algebraicamente que la sucesión producto definida por $w_n = u_n \cdot v_n$ es, a su vez, estrictamente decreciente.
Considera la sucesión de sumas parciales $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{3^i}$. Sea $E_n = \frac{1}{2} - S_n$ la sucesión que mide la distancia entre $S_n$ y el límite…
Considera la sucesión de sumas parciales $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{3^i}$. Sea $E_n = \frac{1}{2} - S_n$ la sucesión que mide la distancia entre $S_n$ y el límite teórico de la serie infinita. Demuestra que $(E_n)$ es una sucesión estrictamente decreciente y exprésala de forma cerrada en función de $n$.
Estudia el crecimiento o decrecimiento de la sucesión logarítmica $a_n = \ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)$. A continuación, demuestra que la sucesión de las sumas…
Estudia el crecimiento o decrecimiento de la sucesión logarítmica $a_n = \ln\left(\frac{n+1}{n+2}\right)$. A continuación, demuestra que la sucesión de las sumas parciales $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ es estrictamente decreciente y encuentra una expresión algebraica simplificada para $S_n$ aplicando las propiedades de los logaritmos.
Recurrencias: álgebra e inducción
Algunas sucesiones se dan mediante una regla que construye cada término a partir del anterior. Hay dos formas principales de demostrar que decrecen.
Reescribe la diferencia
Para $x_1 = 3$ y $x_{n+1} = \dfrac12\left(x_n + \dfrac{5}{x_n}\right)$, los términos aproximan $\sqrt5$ por arriba. Si sabes que $x_n > \sqrt5$ para todo $n$, puedes demostrar que la sucesión decrece.
Inducción matemática
Cuando la regla es $a_{n+1} = f(a_n)$ y el signo de la diferencia no es obvio, demuestra $a_{n+1} < a_n$ para todo $n$ por inducción:
-
Caso base: verifica que $a2 < a_1$.
-
Paso inductivo: supón que $a_{n+1} < a_n$ para algún $n$ y demuestra que $a_{n+2} < a_{n+1}$, usando la recurrencia.
-
Conclusión: el enunciado es verdadero para todo $n \ge 1$.
En un reactor químico, la concentración $C_n$ de un isótopo radiactivo tras $n$ horas viene dada por la relación de recurrencia $C_1 = 100$ y…
En un reactor químico, la concentración $C_n$ de un isótopo radiactivo tras $n$ horas viene dada por la relación de recurrencia $C_1 = 100$ y $C_{n+1} = 0.5 \cdot C_n + 10$. Demuestra mediante el principio de inducción matemática que $C_{n+1} < C_n$ para todo $n \ge 1$, concluyendo que la secuencia de concentraciones es estrictamente decreciente.
El método babilónico para aproximar el valor de $\sqrt{3}$ genera una sucesión definida por $x_1 = 2$ y la recurrencia…
El método babilónico para aproximar el valor de $\sqrt{3}$ genera una sucesión definida por $x_1 = 2$ y la recurrencia $x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{3}{x_n} \right)$. Sabiendo que todos los términos de la sucesión cumplen que $x_n > \sqrt{3}$, demuestra analíticamente que $x_{n+1} < x_n$ para todo $n \ge 1$, probando así que la sucesión de aproximaciones es estrictamente decreciente.
De vuelta al inicio: el chocolate de Chloe, el carro y la pelota de básquetbol siguen la misma regla. Una pelota que conserva $80\%$ de su altura en cada rebote tiene $h_n = h_0(0.8)^n$. Sus términos son positivos y $\dfrac{h_{n+1}}{h_n} = 0.8 < 1$, así que es estrictamente decreciente. El chocolate encaja en el patrón de la exponencial desplazada, donde la diferencia es $B r^n(r-1) < 0$. Y el valor del carro, que se multiplica cada año por un número entre $0$ y $1$, es otra vez el criterio del cociente.